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Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
09-05-12 à 10:21

Bonjour à tous,

La base internationale de recherche en Antarctique connaît un sérieux problème : son réservoir de carburant a été victime d'une grosse fuite.
Elle a été colmatée mais une énorme tempête de neige fait maintenant rage et la base ne dispose plus d'assez de carburant pour fournir l'électricité et le chauffage à ses occupants.
Il faut impérativement lui fournir au moins 3000 litres de carburant dans un délai strictement inférieur à 5 heures.

La base principale décide donc d'envoyer en urgence 2 camions ravitailleurs équipés chacun d'un GPS et pouvant emporter chacun 5000 litres de carburant.
Le premier peut effectuer le trajet en 5 heures et consomme 300 litres de carburant par heure lorsqu'il roule, alors que le second ne met que 4 heures mais consomme 500 litres de carburant par heure (quelle que soit sa vitesse).
Attention : il n'y a pas de réservoir séparé. Le carburant nécessaire pour alimenter le moteur est pris directement dans la cuve et ne pourra donc pas être livré.
Les conditions sont identiques pour le retour, les deux camions devant impérativement revenir à leur point de départ à l'issue de la mission.

Lorsque les camions sont à l'arrêt, ils consomment malgré tout 100 litres par heure (pour maintenir leur moteur et leurs occupants au chaud).
Pendant un arrêt, on peut transférer du carburant d'un camion à l'autre.
On suppose que le transfert de carburant entre camions et vers la base est suffisamment rapide pour qu'on puisse négliger le temps passé et la consommation de carburant pendant ces opérations.

Mais, comble de malchance, l'un des 2 GPS tombe en panne peu avant le départ et on n'a pas le temps d'attendre d'en recevoir un autre. Les équipages décident donc de partir quand même mais en sachant qu'un camion sans GPS ne peut pas rouler seul dans la tempête (le GPS peut être déplacé d'un camion à l'autre au cours d'un arrêt).

Question : Combien de litres de carburant la base peut-elle recevoir au maximum et en combien de temps ?
Donnez les réponses arrondies respectivement au litre et à la minute la plus proche.

Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 11:55

gagnéJe propose une quantite* maximale de 3333 litres (arrondi, bien sur), en un temps de 275 minutes (temps qui me semble exact)!
Merci pour cette joute, godefroy!

Posté par
Tof
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 12:11

gagnéBonjour,

Je pense que la base va recevoir 3333 litres au bout de 4h35min.
J'espère juste qu'il s'agit bien du maximum...

Merci pour l'énigme,

Tof

Posté par
totti1000
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 12:29

gagnéSalut Godefroy,
Je propose une livraison de 3333 litres en 275 minutes.

Merci pour l'énigme.

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 12:49

gagnéMaintenant, essayons d'expliciter ma demarche.
Ne perdez pas votre temps a* le lire si vous avez quelque chose a* faire, ca n'en vaut pas la peine. Surtout si j'ai eu un poisson...
Tout d'abord, il y a une possibilite* evidente de livraison: le camion le plus rapide (appelons-le n2) s'en va tout seul comme un grand! Il met 8h (aller-retour), consomme 4000 litres et en livre 1000. A ce niveau, on n'est sur de rien, mais on se dit qu'il doit bien y avoir une possibilite* permettant de sauver la base...
On envisage donc le cas ou* n1 accompagne n2. Ici, il faut preciser que j'ai du considerer les vitesses moyennes. Pour cela, il suffit de poser d la distance entre les 2 bases, et on trouve V1=(d/5) km/h et V2=(d/4) km/h. Bien sur, on ignore d, mais on n'en a pas besoin pour trouver la livraison maximum (si j'obtiens un smiley...).
Ils se deplacent ensemble et, comme toujours, a la vitesse du plus lent. Le truc c'est qu'apres une distance x (et donc un temps tx=x/V1), le plus rapide continue en solitaire, le plus lent attend sur place que celui la* aille livrer et revienne, apres quoi ils rentrent ensemble. Moyennant la vitesse de deplacement V2 de "la fusee", on peut trouver le temps (minimal) qu'il met pour atteindre la base(ty=(d-x)/V2). De plus, on trouve le lien (tres utile) entre les deux temps: ty=4(1-tx/5). Je rappelle que ces temps sont encore en heures...
On sait que n1 a consomme* 300tx litres pour parcourir x km (il lui en reste donc 5000-300tx), tandis que n2, 500tx (reste 5000-500tx). On sait qu'ils auront besoin de ces memes quantites de carburant pour rentrer au retour de n2. On sait que n1 doit consommer 200ty litres en attendant que n2 revienne, et on sait enfin que n2 consommera 1000ty litres entre l'instant ou* il quitte n1 et celui ou* il le retrouve pour rentrer.
Voici ce que nous allons faire: apres les x km parcourus ensemble, n1 transferera autant de carburant qu'il le peut a n2. Il peut, en theorie, lui donner jusqu'a* 5000-1100tx-200ty (on prend les 5000-300tx qu'il contient, on reserve les quantites necessaires et suffisantes pour attendre sur place et pour le retour des deux camions, et ca le fait). Toutefois, si le reservoir de n2 se remplit, on ne peut pas faire plus!
On peut alors distinguer deux cas (par prudence, dirons nous, parce que ca ne s'est pas avere* indispensable).
Cas 1: Le reservoir de n2 ne peut pas prendre autant de carburant (ce qui veut dire que 5000-1100tx-200ty>500tx). On en deduira que tx<35/12. Dans ce cas, on remplit juste n2, et il va livrer une quantite* de carburant qu'on peut calculer en fonction de ty (5000-1000ty), donc de tx. Il ne reste plus qu'a trouver le maximum de cette quantite*, et a trouver le tx (et le ty) correspondant!
Cas 2: Le reservoir peut prendre ce carburant. C'est l'inverse, et on a plutot tx>35/12. On peut encore calculer la quantite* de carburant que n2 aura apres l'operation, ainsi que la quantite* maximale qu'il pourra livrer (on enleve 1000ty a* ce qu'il a). On exprime le tout en fonction de tx, et on "maximise" cette expression.
Les deux cas, je le crois, donne la meme reponse, et c'est d'ailleurs pourquoi je trouvais inutile de scinder. On comprend bien que la livraison est maximale quand n2 est le plus plein possible (apres la transaction de n1) et que le temps ty est minimal (ce qui correspond a* un tx maximal). Il suffit donc de chercher pour quel tx la quantite* consommee au prealable par n2 (500tx) est exactement comblee par la quantite* que peut lui fournir n1 (5000-1100tx-200ty)...
Long cheminement, longues et ennuyeuses explications. Bref, sauf erreur de calcul, cette equation permet de trouver tx=275min et de deduire une livraison de 10000/3 litres.
Croisons les doigts pour eviter le poisson (dire que c'est mon signe astrologique et mon aliment prefere*)!

Posté par
LeDino
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 14:01

gagnéBonjour,

J'aime beaucoup cette énigme ...
Sauf erreur, la livraison maximale est de 3333 litres, réalisée dans le temps de 4h35min.

Explication :
1er temps :
A et B roulent ensemble pendant une durée T1.
B doit se ralentir à la vitesse de A (VA).
Ils parcourent une distance relative qui se déduit de VA et de T1.
Pendant ce temps ils consomment CA.T1 et CB.T1 (CA et CB consommations horaires).
Au terme de T1, A transfert du carburant pour saturer B à 5000 litres.

2ème temps :
B roule seul pendant une durée T2 (avec le GPS).
A attend sur place.
T2 se déduit de la distance relative restant à parcourir et de la vitesse de B (VB).
Pendant ce temps ils consomment CT.T2 et CB.T2 (CT : consommation d'attente).
B livre alors tout son carburant sauf sa consommation de retour sur le trajet 2 (CB.T2).

3ème temps :
B roule seul pendant T3 = T2 pour rejoindre A qui attend toujours sur place.
Pendant ce temps ils consomment CT.T2 et CB.T2 (comme pendant T2).
Au terme de T3, B est à sec.
A lui transfert le nécessaire pour rejoindre l'origine (= la quantité consommée par B sur T1).

4ème temps :
A et B roulent ensemble pendant un temps T4 = T1.
Les consommations sont identiques à l'aller.
On calcule donc simplement la quantité restante dans A, qui doit être positive.

Il reste à chercher T1 tel que la livraison soit maximale en restant dans le délai et en permettant le retour des deux véhicules.
La solution en découle.

Merci pour le voyage ...

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 14:36

perduLes deux camions partent ensemble jusqu'à 21/31 du trajet puis le premier camion transfère une partie de son contenu dans le second camion (plus rapide mais plus gourmand). Au retour, le second camion recharge dans le premier le carburant nécessaire pour le retour et les deux camions reviennent ensemble.

La base peut alors recevoir 3032 litres au maximum en 4h41mn (résultats arrondis au litre et à la minute les plus proches)

Posté par
salmoth
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 14:36

gagnébonjour,

voila ma reponse: la station peut recevoir au maximum 3333 litres de carburant en 4h35min

(sinon la station aurait pu recevoir 3714 litres de carburant en exactement 5heures mais cela ne respecte pas la condition "dans un délai strictement inférieur à 5 heures" !)

merci pour la joute

Posté par
masab
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 14:51

perduBonjour,

La base peut recevoir 2340 litres de carburant au maximum.
Elle les reçoit en 294 minutes.

Et merci pour cette énigme !

Posté par
Kidam
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 15:17

gagnéIl est évident que les deux véhicules doivent partir ensemble puis que le plus rapide des deux doit abandonner le plus lent en cours de route (en ayant refait le plein de son réservoir) pour arriver à temps. La question est à quelle niveau de la route ?

Avec un petit fichier excel, je trouve que les deux véhicules doivent se séparer aux 7/12 du parcours, le plus lent patientant gentiment. Le plus rapide arrivera alors au camp au bout de 4h35 et pourra délivrer un peu plus de 3333 litres de carburant.

Il repart ensuite dans l'autre sens, reprend le second véhicule au passage, en profite pour reprendre un peu de carburant et notre équipée revient saine et sauve au bout de 9h10, sans une goutte dans les réservoirs !

Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique

Posté par
Chatof
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 22:11

gagné3333 litres en 4h35 minutes

Bonjour,
Merci pour cette énigme.
Et sans la panne du GPS, combien peut-on livrer ?

Posté par
rschoon
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 09-05-12 à 23:22

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 3333 litres en 4 h 35 mn

Cordialement.

Posté par
dpi
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 10-05-12 à 08:24

gagnéBonjour,
Plus complexe qu'il n'y parait.

On doit considérer que le camion lent doit servir de
complément de plein pour le plus rapide au retour.

Donc les deux camions profitent du GPS pendant 2h55
puis le camion rapide fini seul en ayant eu soin de
compléter sa cuve et de vider 3333 litres (.333) à la
base en laissant juste ce q'il faut dans sa propre cuve pour prendre son nécéssaire dans le camion lent qui aura consommé son chauffage entre temps .
Nos deux camions reviendront ensemble au point de départ (0 dans leurs cuves)
La base aura patienté 275 minutes (4 h 35)

Posté par
ksad
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 10-05-12 à 15:50

gagnéBonjour,

Au mieux, je pense que la station pourra recevoir 3333 litres (en fait un tiers du carburant total embarqué, soit 10 000 / 3).
La station sera approvisionnée après 4 heures et 35 minutes, et il faudra donc 9 h 10 aux camions pour faire l'aller-retour.

Les camions vogueront de conserve (à la vitesse la plus lente) pendant 7/12 du trajet, soit pendant 2h55.
A ce point, le plus lent transférera un maximum de carburant pour remplir la citerne du plus rapide à ras-bord. Ce dernier mettra encore 1h40 avant d'atteindre sa destination, fournira une quantité de 3333.333... litres, et ne gardera donc que le strict nécessaire pour revenir rejoindre (à sec) son camarade qui l'attend patiemment en se les gelant au volant.

La quantité de carburant restant encore dans la première citerne (la seconde étant vide) sera alors exactement égale à la quantité nécessaire pour rentrer à la base principale.

Merci pour ce beau problème !

Posté par
brubru777
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 10-05-12 à 21:57

gagnéBonjour,

Je trouve que la quantité maximum de carburant est de 3333 litres (10 000 / 3), délivrés en exactement 275 minutes (4h35).

Merci pour l'énigme.

Posté par
farou
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 11-05-12 à 03:05

perduBonjour à tous,

Je propose 3 928 litres de carburant livrés en 4h 44mn

Les 2 camions roulent ensemble pendant 3h 40mn
Le plus lent (L) a consommé 1 100 l  
Le plus rapide (R) a consommé 1 833 l

Ils s'arrêtent. R prend le GPS.
L refait le plein de R qui repart seul avec ses 5 000 l

R va rouler à sa vitesse pendant 1h 4mn avant d'atteindre la base.
Il a consommé 536 l, il se garde encore 536 l pour rejoindre ses copains qui se gèlent à l'attendre au milieu de nulle part, et donne 3 928 l à la base  (5 000 - 1 072)

Soulagement de L qui a tout de même attendu 2h 8mn et consommé 213 l de plus. R arrive et s'arrête en panne sèche juste à côté de L. Comme les choses sont bien faites ! ...  quand elles le sont mathématiquement.
Alors L a consommé : 1 100 l pour venir se peler + 1 833 l et quelques gouttes donnés à R + 213 l pour avoir chaud aux orteils soit 3 146 l
La jauge indique qu'il reste 1 854 l à L

L prend le GPS et plante là R, mais en lui donnant 733 l pour les 7h 20 mn d'attente "Bon courage les gars" jusqu'au retour de L.
Il reste alors 1 121 l dans le réservoir de L. Enfin à peine cela, parce que les jauges ne sont pas très précises ... à force d'arrondir sur des arrondis ...

C'est bien suffisant pour retourner faire le plein de 5 000 l au point de départ, après quoi L va revenir chercher R avec assez de carburant pour rentrer tous les deux.
Ouf !

Posté par
Chatof
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 11-05-12 à 09:52

gagné3333 litres en 4h35 minutes

Et si les GPS fonctionnent :  3710 litres ( 115000/31)   en 4h41
Le véhicule lent part. Le véhicule rapide attend au chaud à la base principale  pendant 41 minutes et part à son tour. Il se rejoignent  à 21/31 du trajet aller. Le lent attend. Le rapide fait le plein, va livrer 3710 litres, revient, prend 1355 litres au lent et chacun rentre à son rythme à la base principale.

Bonjour,
Merci pour cette énigme.
  

Posté par
LeDino
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 11-05-12 à 15:08

gagnéBonjour,

En complément de ma réponse, dont j'ai expliqué la démarche mais pas les équations, voici le détail du calcul.

Je rappelle que A et B roulent ensemble pendant T1 à vitesse VA (du plus lent).
Puis que B roule seul à sa vitesse VB plus rapide pendant un temps T2.
A sert en fait de "réserve" complémentaire pour B, en lui donnant juste de quoi assurer sa mission de livraison et de retour.

La proportion des vitesses et durées donne :  T1/5 + T2/4 = 1

La quantité livrée correspond au plein fait par B après T1, auquel on retranche sa consommation aller et retour sur T2.
Donc :  LIVR = 5000 - 1000.T2
Cette quantité doit être maximale, donc T2 minimal.

Enfin, les deux véhicules doivent rentrer.
Si l'on décide que A donne à B juste le nécessaire pour rentrer à sec (facile à calculer), on n'a plus qu'à s'intéresser à la réserve de A au retour.

Cette réserve vaudra :
RA = 5000 - 2.(CA+CB).T1 - 2.CT.T2

Car :
A part avec 5000, puis consomme 2.CA.T1 (CA=300l/h), puis consomme 2.CT.T2 (CT=100l/h),
Mais A donne aussi à B la quantité CB.T1 à deux reprises :
à l'aller pour remplir la réserve de B au max, puis au retour, pour permettre à B de rentrer.

Pour que T2 soit minimal (donc LIVR maximal), en respectant la contrainte RA positive ou nulle, il faut et suffit que RA soit nulle.

On trouve :
T2 = 5/3      (1h40)
T1 = 175/60   (2h55)
T  = 4h35
LIVR = 1000/3 = 3333 litres.
  

Posté par
mystery_enigma
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 12-05-12 à 12:22

perduJ'appellerai C1 le camions qui effectue le trajet en 5 heures et consomme 300 litres par heures et C2 le camion qui effectue ce même trajet en 4 heures mais qui consomme 500 litres par heures.
Au départ, on donne le GPS à C1.
C1 démarre en premier et C2 le suit en faisant de petites pauses régulières pour ne pas le dépasser de façon à ce qu'il aie attendu une heure en comptant toutes les pauses cumulées.
Arrivé à la base, les deux camions arrivent en même temps. C1 transfert 2000 litres de carburants à la base et C2 800 litres.
Le retour se passe comme l'allée (C1 possède le GPS et C2 le suit en faisant de petites pauses régulières).
Ainsi les deux camions, une fois l'allée-retour effectué, ne possèdent plus une seule goutte de carburant.
Ils auront au total pu transmettre 2800 litres de carburant à la base dans un délai de 5 heures.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 13-05-12 à 18:01

gagnéBonjour Godefroy,

Ma réponse est :  3333 litres en 275' (4H35')

Joli problème, à la solution dans le graphique (temps;contenu des cuves) entièrement symétrique par rapport au point (275';2500 l).
Les camions 1 et 2 naviguent de conserve (vers la base de recherche) pendant 175' ; au point alors atteint, le camion 1 transfère 4375/3 litres pour faire le plein de la cuve du camion 2 qui continue seul ; il arrive à la base de recherche au temps t=275', et peut y laisser 10000/3 litres ; il retourne et rejoint cuve vide (au temps t=375') le camion 1, qui lui transfère à nouveau 4375/3 litres ; ils rentrent ensemble à la base principale, où ils arrivent cuves vides à t=550'.

Si je ne craignais pas que tu me réponde encore une bêtise, je redirais "mais où va-t-il chercher tout ça ?" ... En tous cas, un grand merci à toi.

Posté par
caylus
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 13-05-12 à 23:08

perduBonsoir Godefroy,

sans grande conviction:
Nombre de litres de carburant que la base peut recevoir au maximum: 3667
en 280 min.
Merci pour la joute.

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 14-05-12 à 04:42

gagnéBonjour Godefroy.
La base recevra 3333 litres (10000/3) 4 heures 35 minutes après le départ des camions.

Les deux camions roulent de concert pendant x heures, puis le camion rapide fait le plein en puisant dans le camion lent et va ravitailler la base tout en gardant assez de carburant pour rejoindre l'autre camion. Ensuite, les camions se répartissent le carburant restant à raison de 3/8 pour le lent et 5/8 pour le rapide et retournent à la base principale.

consommation du camion rapide : 500*(2x + 2*(5-x)*0,8) = 500*(0,4x+8) = 200x+4000
consommation du camion lent : 300*2x + 100*2*(5-x)*0,8 = 600x+800-160x = 440x+800
livraison à la base : 5000 - 500*2*(5-x)*0,8 = 5000-4000+800x = 800x+1000
la livraison croît avec x, qui sera donc le plus grand possible, c'est-à-dire que la consommation plus la livraison qui en résultera atteindra 10000 litres
1440x+5800 = 10000
x = 35/12
livraison : 800*35/12 + 1000 = 3333,33 litres
moment de la livraison : 35/12 + (5 - 35/12)*0,8 = 55/12 heures après le départ

Posté par
caylus
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 14-05-12 à 12:56

perduOh râge,oh désespoir,...
Une erreur de calcul s'est glissée:
Nombre de litres de carburant que la base peut recevoir au maximum: 3333
en 275 min.
Et ce sera une truite meunière svp.

Posté par
geo3
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 14-05-12 à 21:17

gagnéBonjour
La base peut recevoir au maximum  $3333  litres après  275  min (4h.58h)
A+

Posté par
sbarre
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 15-05-12 à 09:47

perduBonjour a tous

hypothese de depart, la quantite de carburant livre est plus importante que le temps de livraison, c'est le camion lent qui ira jusqu'a la base, sa vitesse plus faible n'empechant pas d'arriver dans les delais et sa conso plus faible permettant d'economiser (un peu) de carburant.
Suite a cela on arrive a un transfert de carburant apres avoir parcouru 8/11 eme de la distance entre les deux bases (il faut quand meme que la citerne apres transfert ne depasse pas sa contenance maximale...).
Cela entraine un total de 3090.9090... litres de carburant livres en...5 heures!

Merci et a bientot.

Posté par
Albertus
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 29-05-12 à 17:30

perduBonjour,

Les cmions peuvent livrer 3421 litres en 4h36'.

Cordialement

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 30-05-12 à 15:56

Clôture de l'énigme :

Toutes les réponses dans la première semaine, et puis plus rien jusqu'à la dernière minute !
Les autres ont gelé en chemin ?

Posté par
Benwat
re : Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique 30-05-12 à 16:08

J'ai pas gelé, j'ai juste pas voulu prendre de risque.  :-/

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 63:54:50.


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