Forum des énigmes mathématiques :
Trouver A

A est le nombre de deux chiffres, le plus petit possible tel que :
B étant le nombre obtenu en inversant les deux chiffres de A, la somme de A² avec (B+2) est un carré parfait.

Que vaut A ?

2 au hasard!!!

A = 37
avec B = 73

A²= 1369

1369 + 73 + 2 = 1444 qui est le carré de 38

réponse A = 37
merci

bonsoir,

A=37

La différence entre A² et le carré parfait (soit A'²) est inférieur à B+2, donc inférieur à 101.
On a donc au maximum A'=A+1 ou A'=A+2 ou A'=A+3,ou A'=A+4 (car 15² - 10² >101).
Soit A = 10a+b
On a A'² = A² = 10b+a+2
(A'²-A²)=(A'-A)*(A'+A) = 10b+a+2

Si A'=A+1
(20a+2b+1)=10b+a+2
19a = 8b + 1 , qui donne a =3 et b =7

Si A'=A+2
2(20a+2b+2)=10b+a+2
39a = 6b - 2  , qui ne donne pas de solutions

Si A'=A+3
3(20a+2b+3)=10b+a+2
59a = 4b - 7  , qui ne donne pas de solutions
Idem pour A' = A+4
Donc la seule solution, (donc la plus petite) pour un nombre de deux chiffres est
A=37
37² +73+2 =38².

NB: 07 marche mais n'est pas à deux chiffres.

Bonsoir,

si 07 est un nombre de 2 chiffres alors c'est la plus petite réponse car 07²=49
49+70+2=121=11²
sinon le plus petit nombre de 2 chiffres répondant à la question est 37
car 37²=1369
1369+73+2=1444=38²

Je pense que 07=7 est un nombre de UN chiffre.
Donc la réponse pour A est 37.

A = 37

car 37² + (73+2) = 1444 = 38²

Et aucun nb < 37 ne vérifie cette relation !

Bonsoir,

J'ai commencé par écrire A=xy donc B=yx.
Soit A=10x+y et B=10y+x, puis j'ai mis en équation A²+(B+2)=(A+k)² (k entier).
J'ai abouti à une équation polynomiale du second degré: k²+2(10x+y)k-(10y+x+2)=0...
...pour finalement m'apercevoir que, en réalité, x=0 (pour minimaliser A mais d'ailleurs il n'y a pas d'autre solution).
L'écriture à deux chiffres (nécessaire) peut perturber !
On déduit alors facilement que y=7.

Conclusion :
Vérification : 7²+70+2=121=11².

Merci pour l'énigme

ce nombre vaut 37

Pour A=37

bonsoir et bon retour,

0 etant un chiffre le plus petit nombre de 2 chiffres est 07


car

les autres possibilites etaient  37  et 49


zero est-il un piege?

merci pour cette enigme

a plus tard

Paulo

La seule solution, avec un nombre de deux chiffres dont le premier est non nul, est 37
En effet 73+2=2*37+1 donc 37^2+73+2=38^2
Par contre, si l'on admet que le premier chiffre peut être nul, 07 satisfait la même équation (7^2+70+2=121)

Bonjour,

Réponse proposée : A=07, le zéro étant un chiffre

si on considère que 0 n'est pas un chiffre signifiant, la réponse est 37
mais je maintiens le 07, tanpis pour le éventuel

Autre raison pour dire que 07 doit être la réponse :
si on enlève les nombres A=00, 01... 09 commençant par 0, on ne peut donc plus créer les nombres B composés de dizaines entières : 10, 20...90 (puisque 0b n'est pas retenu, b0 ne pourra pas l'être) : incohérent.

( _{je sens déjà que le sujet risque d'être polémique : de nouveaux PachaMath en perspective ?
les deux réponses 07 et 37 risquent d'être acceptées...} )

Méthode proposée : dite "de borneo" pour changer de la méthode algébrique : cf. extrait d'excel

Merci pour l'énigme,

Philoux


_{"permutant" aurait peut-être été mieux que "inversant"}

Bonjour,

A=37 (merci Excell)

@+

Je suppose que A a bien 2 chiffres (i.e. son 1er chiffre n'est pas 0)

On a alors au mieux : A=37, B=73 et A²+B+2 = 1444 = 38²

Réponse : A=37

( Si A peut commencer par 0, A=07, B=70, A²+B+2 = 121 = 11² )

Salut,
c est 37
@+

bonjour,

je propose le nombre 37

Le nombre A est 37

37*37=1369
1369+73+2=1444==>1444 = 38

A=37

bonjour,
une petite question?
est ce que 7 est considéré comme un nombre à deux chiffre. on peut l'écrire 07, auquel cas, si A=07 on a B=70     et 07²+70+2=121=11²

je pense que ce n'est quand meme pas ce qu'attends Tom_Pascal

alors la réponse serait A=37
car 37²+73+2=38²
merci

37² + 73 + 2 = 1444 carré de 38

Bonsoir,
A=37 et B=73 A²+B+2=1444 (38²)
et à bientôt !

A = 37

Bonjour

je propose A = 37

BABA

Avec A = 37, B = 73 , la formule nous donne 1444 qui est le carré de 38.

soit A=10a+b (avec a différent de 0)
d'après l'énoncé on a
(10a+b)(10a+b)+10b+a+2=n*n (avec n un entier)
on trouve a=3 ; b=7
donc le plus petit A est 37
A est 37
A=37

37

Challenge terminé.
Merci de votre participation.
La réponse attendue (nombre à deux chiffres) était bien évidemment 37...

"07" (donc, 7) n'est pas un nombre à 2 chiffres.
Nous avons cependant décider d'accorder tout de même le smiley aux participants ayant proposé cette solution

ça évitera de longues et peut-être houleurs discussions sur le fait de devoir préciser ou non "nombre à deux chiffres ne commençant pas par 0 (sic)"

Ouf ! J'ai eu chaud sur ce coup là... merciiii Tom_Pascal
D'ailleurs à force de chercher le plus petit... je n'ai même pas vu 37 !
Ca fera toujours une boulette de moins ce mois-ci... et une houleuse discussion évitée ? (qui oserait s'en prendre à toi T_P?)

Moi aussi, j'ai pris excel, mais j'ai exploité ses possibilités en lui faisant calculer les nombres inversés... je fais deux colonnes, dans la première le chiffre des dizaines de A et dans la seconde le chiffre des unités. A côté, je mets la formule qui donne A c'est à dire = le chiffre des unités + le chiffre des dizaines fois 10. Pour B, le calcul est inversé. Puis on tire vers le bas et ça se fait tout seul

On fait le calcul et on termine par le test logique avec la formule SI qui nous écrit "Yessssss" dans la case du carré parfait.

ps pour ceux qui n'ont pas excel, tout de même assez cher quand on ne peut pas le copier au bureau (pas bien ) il y a open office, gratuit, qu'on peut télécharger, et qui marche tout aussi bien. Qui fait aussi les racines des polynômes bien mieux qu'une calculatrice...

Je me suis vite fais un petit programme qui teste les combinaisons possibles. Le Qbasic  c'est peut-etre ancien, mais c'est très utile.

j'ai essayé avec exel, et bref coomment qu'on pour appliqquer pour une colonne ?

genre pour un resultat on peut faire = SOMME(A1;B1) et c'est tout


mais pour toute la colonne ? sachant que le 1 de A et B changera a chaque fois ...

Pour trouver B à partir de A avec Excel, j'ai appliqué la formule suivante :
=MOD(A1;10)*10+ARRONDI.INF(A1/10;0)
qui ne marche que pour les nombres à 2 chiffres ..mais qu'on peut appliquer à 3 ou plus..

Merci pour la formule, Nofutur2. Moi, c'était plus du bidouillage. Méthode Borneo, quoi !

A ton service Bornéo,... si on peut se refiler des tuyaux , c'est plutôt sympa non??
Je suis loin d'être un pro d'Excel, je découvre, mais je trouve que l'aide en ligne est assez performante.

Magnifique formule... que je stocke pour l'utiliser ultérieurement, car je ne suis pas sûre de savoir la retrouver. Merci

= 37, B = 73 , la formule nous donne 1444 qui est le carré de 38.

Philoux

Et en plus c'est un mauvais "copier-coller" de la réponse de Razibuszouzou...ou alors une sacrée coincidence...

a est le double de b=37

Yessss!