Montrer que...

Posté par Ergamen (invité)

Bonjour à tous !

Soient E un espace vectoriel sur lk et p : E -> E une application linéaire telle
que p ° p = p et q = idE − p. Montrer que
1) q ° q = q
2) Ker p Ker q = {0}
3) Ker p = Im q et Ker q = Im p

Als pour le 1) je suis parti de q ° q :
q ° q = (idE-p) ° (idE-p)
      = idE ° idE - idE ° p  - p ° idE + p ° p
      = idE - 2p + p
      = idE - p
      = q

Par ctre pr le 2) j'ai essayé de partir de la def de Ker :
Ker p = {x E, p(x) = 0}
et Ker q = {x E, q(x) = 0}
mais la je ne vois pas trop comment partir...

Et pour le 3) je ne vois même pas par ou partir, si vous pouviez m'aider, me donner des pistes ce seré sympa


Merci a tous

Posté par biondo (invité)

Salut!

l'algebre lineaire.... c'est beau.

2/

Pas de mystere. Soit x un element de Ker p inter Ker q.
Alors p(x) = 0
q(x) = 0

Mais q = Id -p. Donc .... a toi de finir.



3/ on montre les doubles inclusions...

Reposte si probleme.

A+
biondo

Posté par aicko (invité)

bonsoir
2) d'abord kerpkerq est un E.V en tant qu'intersection finie d'E.V

soit x element de kerpkerq
alors
p(x)=0 et q(x)=x-p(x)=0 d'ou x=p(x)=0
donc kerpkerq  inclu {0}
et comme kerpkerq est un E.V alors {0} inclus dans kerpkerq

conclusion :kerpkerq ={0}

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Bonsoir Ergamen;
2)si tu as c'est à dire que donc .
3)si alors donc et inversement si alors donc et donc d'où on en déduit que le mm raisonnement donne que .
Sauf erreurs...