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developpement limite ( fonction d'une seule variable)


licencedeveloppement limite ( fonction d'une seule variable)

#msg4220712#msg4220712 Posté le 07-07-12 à 20:19
Posté par Profilkonetima konetima

SALUT A TOUS, AIDER MOI SVP. ON ME DEMANDE D'ETUDIER LA BRANCHE INFINIE POUR XTENDANT VERS -L'INFINI DE LA COURBE DE L'EQUATION:
Y=RACINE Nième DE 3 DE(X AU CUBE+X AU CARRE+1)-RACINE Nième DE 2 DE (X AU CARRE-X-1). JE NE SAIS PAS SIL FAUT FAIRE UN DEVELOPPEMENT LIMITE AVANT DE CALCULER LA LIMITE ET SI OUI COMMENT FAIRE?
Y=3((X)3+X²+1) - ²(X²-X-1)
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220713#msg4220713 Posté le 07-07-12 à 20:33
Posté par Profilalkan alkan

Bonjour,
il faut avoir envie de te lire... tu peux pas faire un effort ??
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re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220716#msg4220716 Posté le 07-07-12 à 20:51
Posté par Profilkonetima konetima

vous avez raison, excusez donc. mais comprenez moi car je suis nouveau a faire ce genre de chose alors je ne sais pas comment ça marche.
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220725#msg4220725 Posté le 07-07-12 à 21:20
Posté par ProfilAlexique Alexique

ben déjà évite d'écrire en MAJUSCULES ! Ca donne l'impression que tu cries ou que tu hurles (enfin c'est une convention typographique que j'interprète de cette manière...).
Ensuite, pour "racine troisième ", on dit "racine cubique" et pour "racine deuxième" "racine carrée".
Ce sont les deux seules racines nième qui ont une appellation propre. La fonction racine nième, elle, est la fonction

\R_+ \rightarrow \R_+
 \\  x \mapsto x^{\frac 1n}= e^{\frac {ln(x)}n}

Enfin, un développement limité te permettra de calculer la limite puisque tu vois bien que là tu as une forme indéterminée. Pour le reste ton cours doit te donner la méthode...
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220726#msg4220726 Posté le 07-07-12 à 21:27
Posté par Profilkonetima konetima

merci votre réponse ma vraiment aidé.je voix maintenant
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220727#msg4220727 Posté le 07-07-12 à 21:29
Posté par ProfilAlexique Alexique

et juste pour préciser on a la convention \sqrt[n]{0}=0 puisque \lim_{x \to 0} e^{\frac {ln(x)}n}=0
la fonction racine nième est donc celle que j'ai définie ci-dessus mais sur \R_+^* seulement.
Bon on va pas s'étendre là-dessus. Je te laisse reprendre...
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220728#msg4220728 Posté le 07-07-12 à 21:30
Posté par Profilkonetima konetima

je comprend maintenant. merci encore
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220732#msg4220732 Posté le 07-07-12 à 23:19
Posté par ProfilAlexique Alexique

une autre règle du forum : quand on ouvre un topic on montre ce qu'on a fait, on pose des questions...
mais on évite de laisser le topic à l'abandon tant que le problème n'est pas résolu !
Donc j'accepterai tes remerciements quand tu auras compris et résolu ton problème !
On conjecture en - une asymptote oblique d'équation y=2x.
Essaye de trouver par le calcul que f(x)\underset{x\to-\infty}{=} 2x - \frac 5{2x}+ o(\frac 1x)

developpement limite ( fonction d'une seule variable)
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220737#msg4220737 Posté le 08-07-12 à 00:35
Posté par Profilkonetima konetima

lorsque j'ai lu vos message j'ai pu transformé la fonction en procédant par un développement limité de la fonction.
ensuite j'ai calculé la limite de la fonction que j'ai trouvé en moins infini et j'ai trouvé 1.
j'ai donc conclure que l'équation y admettait une branche infinie.
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220750#msg4220750 Posté le 08-07-12 à 08:58
Posté par Profilalb12 alb12

Sous toutes réserves il me semble que l'asymptote a pour équation y=2x-1/6.
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220772#msg4220772 Posté le 08-07-12 à 11:37
Posté par ProfilAlexique Alexique

wolfram confirme les dires d'alb donc je me suis à peine planter dans mes calculs...
Il faut trouver que \large  f(x) \underset{x \to -\infty}{=} 2x-\frac 16-\frac {53}{72x}+ o(\frac 1x)
la limite n'est pas 1 du tout !
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220782#msg4220782 Posté le 08-07-12 à 12:08
Posté par Profilkonetima konetima

la limite donne en - = -. par consequent on a une asymptote oblique.
   merci a tous
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220794#msg4220794 Posté le 08-07-12 à 13:01
Posté par Profilalkan alkan

non, ça n'a rien à voir, il faut que \lim_{x\to -\infty}[f(x)-()2x-\frac{1}{6}]=0 pour avoir une asymptote oblique, ce qui me semble bien être le cas ici !!
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220795#msg4220795 Posté le 08-07-12 à 13:01
Posté par ProfilAlexique Alexique

NON ! La limite en -est - donc on peut avoir une branche parabolique, une branche infinie, une asymptope oblique... On en sait rien à priori ! C'est bien le calcul du développement limité de f à l'ordre 2 ou 3 (à toi devoir) qui te donne
1) l'équation de l'asymptote (ici y=2x -1/6)
2) la position de cette asymptote par rapport à ta courbe (ici -53/72x > 0 au voisinage de - donc ta courbe est au-dessus de son asymptote...)

Mais il faut que tu fasses les calculs par toi-même, calculs que je n'ai pas détaillés ici !
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220960#msg4220960 Posté le 08-07-12 à 20:06
Posté par Profilkonetima konetima

lorsque je fais mes calcul, si je ne me trompe pas bien sur, il me semble que Alexique s'est trompé dans les calculs. car ne utilisant le développement limité, si je ne me trompe aussi on trouve :
f(x)= 1 + (-1/6)X + 13/12X + 5/6X + 0(X²)
la limite de cette fonction lorsque x- est + il y a donc possibilité qu'il ait une branche parabolique, une asymptote ou une branche infinie. mais pour determiner les branche infinie, j'ai donc calculé la limite lorsque x- de f(x)/x. ce qui n'est pas égale a . j'ai donc dis qu'il n'y a pas de branche infinie. or dans l'exercie en question on me demande d'étudier la branche infinie. qu'en dites-vous?
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220961#msg4220961 Posté le 08-07-12 à 20:18
Posté par ProfilAlexique Alexique

J'en dis que si tu sais que ce qu'est wolfram (à savoir un logiciel de calcul formel en ligne), le dernier résultat que j'ai donné est correcte puisque je l'ai obtenu avec wolfram donc le tien est faux d'une part, et d'autre part,
si f(x)/x tend vers un réel mettons a, et que f(x) - ax tend vers un reel mettons b, alors y=ax+b est asymptote oblique à la courbe en - (cf post d'alkan : \lim_{x\to -\infty} f(x)-(ax+b)=0).
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220980#msg4220980 Posté le 08-07-12 à 22:06
Posté par ProfilAlexique Alexique

bon essayons :
\Large \frac {f(x)}{x} = \frac {\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt{x²-x-1}}{x} = \sqrt[3]{1+\frac 1x + \frac 1{x^2}}-\sqrt{\frac {x^2-x-1}{|x|}} = \sqrt[3]{1+\frac 1x + \frac 1{x^2}}-\frac{|x|}{x}\sqrt{1-\frac 1x -\frac 1{x^2}} \underset{x<0}{=} \sqrt[3]{1+\frac 1x + \frac 1{x^2}}+\sqrt{1-\frac 1x -\frac 1{x^2}} \xrightarrow[x\to -\infty]{} 2
et pour l'ordonnée à l'origine le b c'est casse-pieds (essaye de trouver la limite de f(x)-2x) et pour la position de l'asymptote par rapport à la courbe, j'en parle même pas ! Donc DL ! Toujours pour x<0
\large f(x)= \sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt{x²-x-1}}=x\sqrt[3]{1+\frac 1x + \frac 1{x^2}}+x\sqrt{1-\frac 1x -\frac 1{x^2}} \underset{x\to -\infty}{=} x(1+\frac 1{3x}+\frac 1{3x^2} - \frac 1{9x^2}+o(\frac 1{x^2}}))+x(1-\frac 1{2x}-\frac 1{2x^2} -\frac 1{8x^2}+o(\frac 1{x^2}})) d'où le résultat
en utilisant : \sqrt{1+u} \underset{u\to 0}{=} 1 + \frac u2 - \frac {u^2}8+o(\frac 1{u^2})   et  \sqrt[3]{1+u} \underset{u \to 0}{=}1+\frac u3 - \frac {u^2}9 +o(\frac 1{u^2}) et en tronquant au fur à mesure des calculs...
Mais ça il faut que tu saches le faire toi-même !!
Donc \large  f(x) \underset{x \to -\infty}{=} 2x-\frac 16-\frac {53}{72x}+ o(\frac 1x). Mon message de 11h37 te donne le reste.
Je préférerais que tu me dises que tu comprends tout ça et que tu m'insultes plutôt que tu ne comprennes rien du tout et que tu me remercies...
Si il y a des maladresses, il faut me les signaler...
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220984#msg4220984 Posté le 08-07-12 à 22:22
Posté par Profilalb12 alb12

J'en dis que tu es un tantinet têtu.
Tu dois démontrer que la droite d'équation y=2x-1/6 est une asymptote au voisinage de -inf. Si tu n'es pas convaincu voici les résultats avec un autre logiciel.
1/ Méthode 1 qui paraît la plus adaptée
g(x):=-(-x^3-x^2-1)^(1/3)-sqrt(x^2-x-1)
somme(simplifier(op(series(g(x),x=-inf,2))))
latex(ans())
et on obtient: 2\cdot x+\frac{1}{-6}+\frac{-53}{72\cdot x}+\frac{\mathrm{order\_size}\left(-\mathrm{inv}\left(x\right)\right)}{x^{2}}
2/ Méthode 2
limite(g(x)/x,x,-inf) renvoie 2
limite(g(x)-2x,x,-inf) renvoie -1/6
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220988#msg4220988 Posté le 08-07-12 à 22:43
Posté par Profilkonetima konetima

voici la formule que j'ai utilisé pour faire le développement limité: (1+z)=(z-n+1)zn/nfactoriel  +0(zn).  en l'appliquant a cette fonction je ne comprend comment vous aboutissez a votre resultat. je sais que ça peut vous faire mal mais c'est la vérité.
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220990#msg4220990 Posté le 08-07-12 à 22:50
Posté par Profilkonetima konetima

vous faites ces démonstrations avec des logiciels, mais je le fais avec le bic alors peut etre que la formule que j'utilise est différentes des vôtres. j'utilise ce que j'ai appris à l'école.
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220991#msg4220991 Posté le 08-07-12 à 22:54
Posté par Profilkonetima konetima

Alexique, voudrais savoir pourquoi vous avez choisir lors de vos demonstration x0
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4220992#msg4220992 Posté le 08-07-12 à 22:55
Posté par Profilkonetima konetima

x0
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4221005#msg4221005 Posté le 08-07-12 à 23:46
Posté par ProfilAlexique Alexique

x est censé tendre vers - donc on peut déjà le supposer négatif !  J'en avais besoin à cause de cette histoire de valeur absolue car  \forall x \in \R  \sqrt[3]{x^3}= (\sqrt[3]{x})^3=x  mais  \sqrt{x^2}=|x|. Ici la fonction racine cubique est définie sur R tout entier. Sur R+ c'est e^{\frac {ln(x)}{3} et sur R- son opposé car c'est une fonction impaire (fonction racine nième est définie sur R si n impaire, sur R+ seulement sinon...).

Quant à ta formule, elle me parait très bizarre si ce n'est fausse.
Par contre, ton cours dit peut-être ceci : (1+u)^\alpha \underset{u \to 0}{=} 1+\alpha u + \frac {\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}u^3 + ... +\frac{\alpha(...)(\alpha-n+1)}{n!}u^n + o(u^n)
ce que j'ai employé avec \alpha = \frac 12  et  \alpha = \frac 13 et n=3.

Enfin, tu es effectivement très têtu ! J'ai fait les calculs à la main, je les ai rédigés en Latex, j'ai appris à faire ça cette année et n'importe quel étudiant en L1 doit savoir faire ça rapidement sans erreur. Les logiciels donnent des résultats justes et aident à voir ses propres erreurs, c'est pourquoi à moins d'être stupide, tu ne peux pas sérieusement penser que ton résultat est correct ! La méthode QUAND ELLE EST BIEN APPLIQUEE mène toujours à un bon résultat (la machine sans exception, l'homme avec quelques unes...).

Enfin, la vérité ne m'a jamais fait mal (c'est certainement pour la rechercher de la vérité à l'état pur que j'ai choisi d'étudier les mathématiques de même que bon nombre de personnes sur ce forum je pense) et sans aucun orgueil ou mépris de ma part, je sais reconnaitre quand j'ai raison ou tort (je me suis moi-même trompé dans ce topic et j'ai immédiatement reconnu mes torts !). Il serait judicieux que tu en fasses de même puisqu'on "apprend de ses erreurs".

Si d'autres personnes ont plus de patience et de pédagogie que moi, qu'elles n'hésitent pas à entrer dans le débat et à prendre ma place !
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4221017#msg4221017 Posté le 09-07-12 à 08:33
Posté par Profilkonetima konetima

ho mon Dieu,c'est comme si j'était voilé. je viens juste de m'apercevoir que je me trompais au moment même où je devrais remplacer la fonction posée. en tout cas merci beaucoup tu  ma permis de voir clair
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4221018#msg4221018 Posté le 09-07-12 à 09:01
Posté par Profilalb12 alb12

Révélation tardive ! mais mieux vaut tard que jamais
Cala dit tu devrais corriger ta formule pour développer (1+x)^a
re : developpement limite ( fonction d'une seule variable)#msg4221020#msg4221020 Posté le 09-07-12 à 09:10
Posté par ProfilAlexique Alexique

De rien ! J'espère que tout est très clair cette fois enfin !

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