Carré magique

Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali

Bonjour tout le monde;
On colore un carré (plein) de coté de deux couleurs différentes ( la répartition de ces deux couleurs étant absolument quelconque ) et pour tout réel positif on considére l'énoncé suivant:
: Il existe au moins deux points du carré distants de a et de couleurs distinctes.

Pour qu'elles valeurs de , est il vrai ?

Posté par darwyn (invité)

Belle question...
Je suppose que l'aire de la partie coloriée avec la couleur 1 est égale à celle coloriée avec la deuxième couleur ?

Posté par darwyn (invité)

En faisant la supposition dont j'ai parlé, on peut résoudre ça comme suit :
On prends un point M de couleur 1. Ce qu'on voudrait c'est la valeur de la distance maximale possible entre M et un point de l'autre couleur.
Tout dépends de l'emplacement du point, mais la méthode consiste à faire un cercle de centre M autour du point et de colorier ce cercle de la couleur de M.
Dans ce cas, on remarque que la distance est forcément supérieure ou égale à la distance que l'on trouve lorsque M est au centre du carré.
Dans ce cas, on sait que R^2 est l'aire du carré. Donc l'aire coloriée avec la couleur 1 est égale à (R^2)/2. Notre cercle, de rayon r, vérifie donc pi*r^2=R^2/2.
D'où r=R/rac(2*pi)
C'est la limite de la valeur de a maximale pour laquelle on a forcément Pa.
Ensuite, on peut remarquer que Pa est vrai pour tout e>0 tel que e<r.
Donc, Pa est vrai pour tout a dans ]0;R/rac(2*pi)[.
Voili voilà !
C'est peut-être pas super bien expliqué, mais ca marche bien..

Posté par darwyn (invité)

D'ailleurs le résultat est vrai plus généralement quand on colorie n'importe quelle surface. A la condition bien entendu que la surface soit connexe par arcs (je ne rapelle plus exactement la définition, mais celle-là convient je crois : S est connexe par arcs si pour tout a,b de S on a [a,b]S).

Posté par darwyn (invité)

Pardon :
[a,b]

Posté par darwyn (invité)

Oh!! je le fais exprès on dirait :
[a,b]S

Posté par piepalm piepalm

Je pense qu'il n'y a pas d'hypothèse a priori sur la répartition des surfaces coloriées, et qu'il n'y a pas lieu de supposer qu'elles sont égales
si a>Rrac(2)/2 on peut aisément trouver un contre exemple: un disque de centre le centre du carré et de rayon inférieur à a-Rrac(2)/2 d'une couleur le reste du carré de l'autre
Si a<=Rrac(2)/2, partons d'un coin du carré. Si les autres sommets du carrés ne sont pas de la même couleur, le problème est résolu, puisqu'il existe au moins une ligne brisée  dont chaque élément a pour longueur a et qui joint le premier sommet à chacun des autres: si les couleurs des extrémités de la ligne brisée sont différentes, il y aura au moins un élément de la ligne brisée dont les extrémités seront de couleurs différentes
Si tous les sommets du carré sont de même couleur, il existe un point du carré de couleur différente, et l'un des quatre sommets du carré est à une distance supérieure à Rrac(2)/2 de ce point: il existe donc une ligne brisée dont chaque élément a pour longueur a qui joint ce point à l'un des sommets
Pour assurer l'existence des lignes brisées évoquées ci-dessus, il suffit de remarquer  que les angles obtenus sont obtus...