Bonjour Vij,

Un vieux souvenir me dit que la baisse de température est proportionnelle à l'écart de température avec la source froide.
Autrement dit, si T2 est la température initiale (75°) et T1 la source froide (2°) :  


Ce qui s'intègre en :  


Ou si tu préfères travailler en "demies vies :


Avec :
"constante de refroidissement", assimilable à une "vitesse".
"demie vie", qui est le temps constant nécessaire pour diviser l'écart de température par 2.
, comme , dépendent des données physiques du problème.

Tu peux déduire de (et réciproquement) grâce à :

Il est facile de valider expérimentalement cette courbe théorique :
... en observant qu'il y a bien division par 2 de l'écart de température toutes les heures...

Attention : cette loi n'est valable naturellement que si la source froide reste constante à T1.
Celà suppose une capacité d'absorption appropriée du système de réfrigération (voire, un dispositif de ventilation interne)...
Le calcul de cette capacité peut se faire par un bilan de chaleur :
Abaisser la température de tant de degrés de telle masse équivalente d'eau, représente telle quantité de froid (mesurable en Calories ou en Joules).
A comparer avec les spécifications de la chambre réfrigérée...

En particulier, si la température initiale T2 est très élevée et qu'il y a beaucoup de fromages :
... il est possible qu'en début de refroidissement, la température interne de la chambre s'élève et ne reste pas à T1,
ce qui peut légèrement ralentir la courbe de refroidissement.
La courbe théorique sera pleinement valide dès que la puissance instantanée de refroidissement du système sera supérieure ou égale à la quantité instantanée de calories requises pour faire baisser la température à la vitesse .

Il est possible de calculer pour un fixé et pour une sur température donnée (T-T1), la vitesse .
Et donc on peut en déduire la quantité de calories par unité de temps, à extraire de la masse équivalente en eau des fromages.
A comparer avec la puissance du système de réfrigération.
Si la puissance ne couvre pas la situation initiale à (T2-T1), on peut calculer la température T à partir de laquelle l'équilibre de T1 est possible, afin de voir si la courbe théorique doit être adaptée en début de refroidissement...

Le calcul de (ou ) par une méthode théorique me semble très délicat :
Il faudrait poser les équations de la chaleur au sein des fromages, en écrivant les conditions initiales et les conditions aux bords...
Les paramètres influençants sont nombreux : composition matérielle et chaleur massique, volume, forme, influence de la croute, disposition (l'empilement resserré étant bien plus lent à refroidir qu'une disposition sur des rayonnages laissant un vide entre chaque fromage...), conditions éventuelles de ventilation ou de stagnation de l'air...

Pour ma part, j'effectuerai des mesures de à conditions fixées pour valider sa stabilité (ou sa plage de fluctuation).
Puis je ferais varier les conditions pour trouver des lois empiriques entre et ces conditions.

Et surtout : je recouperais avec d'autres sources.
Par exemple, j'ai trouvé un texte qui donne des chiffres intéressants sur le refrodissement des fruits qui recoupent pas mal ton problème :

Pour vérifier si la puissance réfrigérante est suffisante pour assurer l'absoption des calories dès le démarrage (forte température au début) :

Masse équivalente en eau : Me ~ 200 Kg * 65% ~ 130 Kg

En adoptant environ 2,5 heures comme demie vie qui est l'ordre de grandeur requis pour atteindre l'objectif fixé :
Vitesse de refroidissement initiale : dV/dt(0) = -r(T2-T1) = - (T2 - T1).Ln(2)/ ~ -73 * 0,693 / 2,5h ~ -20°/heure
Vitesse de refroidissement initiale ~ -20°/heure

Donc l'absorption calorique est de : 130 * 20 Kcal par heure
Soit environ : 130 * 20 * 4,2 KJ/H ~ 130 * 20 * 4,2 / 3600 KW ~ 3 KW

Il faut donc que le système de réfrigération soit capable de libérer une puissance réfrigérante de l'ordre de 3 KW dès le début du refroidissement.

Attention, ce n'est pas rien ...

    Bonsoir.  La question posée était-elle bien celle-là ?...   Des fromages, à  65% d'eau , des emballages, des cartons, des palettes, ...  est-ce utile de détailler, puisque tu as (avec le " maître "), déterminé les différentes conditions du refroidissement.
    Et comme tu désires utiliser la loi de Newton ,  écris la formule en entier, et tu en déduiras la constante de refroidissement ( r ) :

    T(t)  =  Te  +  [ To - Te ]* exp(- r*t )
Avec   Te  =  2°C  et  To  =  75°C  
Pour  t = 12 heures  et  T(t)  =  4°C ,  on obtient :  r  =  O,3

S'il s'agit d'un simple exercice alors oui on peut déterminer la demie vie cible par simple calcul d'après la forme connue de la courbe de refroidissement.
C'est trivial et les autres données sont totalement superflues.

Mais dans ce cas il n'y a pas matière à en faire un stage ...

La connaissance de la masse en eau de la matière à refroidir est très importante quant à elle,
pour s'assurer que le réfrigérateur dispose d'une capacité de réfrigération suffisante pour garantir la température frode T1.
Sinon, la courbe ne sera pas respectée...

Vij, ce serait bien en effet que tu précises le contexte de ta question.
Simple exercice ? Ou sujet de fond du stage ?

Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses, vous avez mis le paquet et y avez passé beaucoup de temps ! Je ne manquerai pas de vous tenir au courant, et de vous fournir les résultats expérimentaux si ça vous intéresse !
Je pense que le frigo a une capacité de refroidissement suffisante, car les évaporateurs brassent 28 fois par heure le volume du frigo (1000m cubes de mémoire il me semble). Il y a donc circulation de l'air. Mon maître de stage m'a fourni le devis, et il est écrit que la puissance est de 36 000w/h. En réalité, je prends une palette de 198kg, sachant que dans une journée, on rentre 30 palettes, à raison d'une palette toutes les 20 min environ. La température du frigo ne semble pas varier au cours de la journée (il y a un thermomètre dans le frigo, que je consulte chaque fois qu'une palette est placée en refroidissement, mais ce n'est pas un thermomètre enregistreur, c'est un thermomètre ce qu'il y a de plus basique).
De plus, je n'ai pas bien détaillé le produit : on mélange du fromage et de l'eau, qu'on lie par des sels de fonte (comme la moutarde pour lier l'huile et le vinaigre de la vinaigrette). Le mélange se fait par chauffage, puis on met le liquide dans des pots, à raison de 250g de fromage fondu par pot. Il n'y a donc pas de croûte, mais des espaces entre chaque pot car ils ont une forme de cône tronqué (donc une évacuation plus rapide de la chaleur !) Dans un carton on met 12 pots (3 pots de largeur et 4 pots de longueur), le tout sur 66 cartons. Une cheminée est au centre pour évacuer la chaleur plus rapidement que si tout était présenté en un bloc.
En fait j'aimerais en faire un vrai sujet, pour faire prendre un peu de hauteur et d'intérêt à mon rapport. Car après tout, il suffit que je mesure la température au bout de 12h, je vois si c'est cohérent ou pas, et basta, on n'en parle plus. Je trouve plus intéressant de se pencher sur le problème d'un point de vue théorique, et comparer ensuite la théorie à la pratique. C'est pourquoi je ne souhaite pas calculer r à partir des cibles qu'on s'est fixé, car après tout on ne sait pas si les 4°C seront atteints en 12h...
Voulez-vous plus d'infos ?

Bonjour Vij,

J'avais donc bien "capté" l'esprit ...

Première remarque :
"Mon maître de stage m'a fourni le devis, et il est écrit que la puissance est de 36 000w/h"

Vérifie, parce que 36 000 W/h n'est pas une puissance .
On peut supposer que la puissance est plutôt 36 000 W ou encore 36 KW, ce qui est une "belle bête".
C'est la puissance symétrique de 36 chauffages électriques d'appoint d'une puissance de 1 KW chacun.
Il s'agit d'une jolie petite installation industrielle.
C'est confirmé par le volume de la chambre froide : 1000 m³, c'est une pièce de 20m par 20m par 2,5m de hauteur, donc 400 m².

2ème remarque : la puissance est tout juste suffisante...
En effet, la puissance requise pour garantir la courbe cible est calculable.
A t₀ = 0 on place un fromage.
A t₁ = 20mn = dt, on place un 2ème fromage.
A t_n-1 = (n-1)dt, on place le n-ème fromage.

La puissance requise pour le dernier fromage est Pmax ~ 3,3 KW
La puissance requise pour l'avant dernier fromage est Pmax*2^-dt/
En effet, l'avant dernier fromage a refroidi entretemps et la puissance requise est proportionnelle à la surtempérature.
La puissance suit donc la même loi exponentielle décroissante que celle de la surtempérature.
On voit que le pic de puissance requise est atteint en fin de journée, lorsqu'on met le dernier fromage, qu'on éteint la lumière et qu'on rentre à la maison ...
Cette puissance cumulée se calcule facilement car la série est géométrique de raison 2^-dt/.

Au final :  Ppic ~ Pmax * /(dt.Ln2) ~ 10.Pmax ~ 33 KW.

On constate donc que pratiquement toute la puissance réfrigérante est sollicitée en fin de journée.
On est donc "aux limites" du dimensionnement théorique.

NB: Si tu veux le détail des calculs de puissance je peux te les donner, ils ne sont pas bien méchants...
Ce qu'il faut comprendre c'est qu'on a des courbes de puissance exponentielles décroissantes pour chaque fromage, qui se superposent en décalé de 20 minutes.
Ca donne une courbe avec des pics dont l'enveloppe est croissante jusqu'au pic correspondant à l'introduction du dernier fromage.

Obseration de la température de la chambre :
Si tu observes que la température de la chambre ne bouge pas, surtout en fin de journée (où la puissance est le plus sollicitée), celà semble confirmer que l'installation a une capacité suffisante.
Ou que les fromages ont une courbe de refroidissement plus lente que la cible de 12h ( plus élevé)...
Mais attention : tu ne connais pas la température au voisinage des fromages...
Si un thermomètre mural indique 2°, il se peut qu'au voisinage des fromages, la température soit de 3° voire de 4°... Et dans ce cas, la courbe est altérée, surtout pour les fromages qui sont déjà proches de la température cible...

A mon sens :
Il y a plus à creuser sur ces questions que sur la question de l'évaluation d'un 'r' théorique à partir d'un modèle physico mathématique du fromage (et de la ventilation, qui joue un rôle clé).

Pour modéliser tes fromages tu vas galérer à mort et tu ne peux espérer au final une précision qui t'apporte une quelconque information par rapport à celles dont tu disposes déjà.
Les gens de métier ont déjà manifestement "ajusté" leur équipement au moins de manière empirique.
Les lois de décroissance de température sont connues des spécialistes.
Si tu modélises tes fromages et que tu présentes ça à des professionnels, à mon avis tu les fais rigoler... parce que tu n'apporteras rien qui leur soit utile.

A la rigueur, tu peux montrer qu'en changeant les dimensions des fromages tu peux accélérer le refroidissement (et encore : à condition d'augmenter la puissance réfrigérante de la chambre...).

Enfin c'est toi qui vois .
Ton maître de stage, il dit quoi ?

Bonjour LeDino,

En effet, tu avais bien capté "l'esprit" !

Je n'ai pas d'infos de mon maître de stage, c'est moi qui lui ai proposé cette étude théorique pour ne pas me contenter du minimum. Il m'a seulement dit que ça pouvait être intéressant, sans autre indication. Actuellement il est en vacances jusqu'à la fin de mon stage. Je me suis mal débrouillé avec lui, j'ai surtout fait du boulot ouvrier et là je me retrouve à tout devoir faire à la dernière minute... Chose que je déteste par dessus tout. J'aurais du lui en parler bien avant. Mais c'est une autre affaire...

Concernant mon problème en lui-même, j'ai relu tous tes messages, et je pensais utiliser la référence Canadienne que tu m'as fourni, mais mon problème est le suivant : est-ce transposable à mon cas ? Même si l'air est aspiré par les évaporateurs pour être refroidi, il n'est pas pulsé comme dans le tunnel de réfrigération. La température des fromages est 2 fois plus élevée que celle des fruits. Quels sont tes arguments pour dire que la situation décrite par le ministère de l'agriculture de l'Ontario est appliquable à mon cas.

Bon, en admettant que je puisse appliquer, la température cible (4°C) ne serait-elle pas plutôt atteinte entre 4 et 5 ?
puisqu'à 4 , on est à 4,6875°C, à 5 on est à 2,34°C

D'accord avec toi, 36 000w/h n'est pas une puissance, j'ai l'impression que ce serait un abus de langage, et qu'en fait le frigoriste veut dire que 36 000w sont délivrés sur une durée d'une heure (et ce chaque heure, car la machine ne faiblit pas)

Oui, j'aimerais bien s'il te plait les détails des calculs de puissance, bien qu'ils ne soient pas méchants

Quand tu dis qu'il y a plus à creuser sur "ces questions", de quoi parles-tu ? Avec le foisonnement d'idées, j'ai du mal à comprendre de quoi tu parles...

Je ne montrerai pas qu'en changeant les dimensions des fromages on pourrait accélérer le refroidissement, car l'entreprise ne fera jamais un tel changement, mais ça pourrait être intéressant !

De même, je ne modéliserai pas non plus les fromages, par manque d'intérêt comme tu l'as bien souligné.

Quantité de chaleur à extraire pour une palette :
Q = M_eau * (T2 - Tc) = 200 * 65% * (75-4)  (en KCal)
1 KCal = 4,19 KJoules (moyenne entre 0 et 80°).
Donc :  Q ~ 38 600 KJoules

Puissance moyenne pour une palette :
Durée cible = tc = 12 heures
Pmoy = Q/tc ~ 38600/(12*3600) ~ 0.9 KW.

Puissance moyenne pour 30 palettes sur 22h :
Durée de stockage progressif ~ 10h  (30 palettes, 1 toutes les 20 minutes)
Durée cible = tc = 12 heures
Durée totale du cycle complet = 10+12 = 22h
P30moy = Pmoy * 30 * 12 / 22 ~ 15 KW.

La puissance moyenne requise pour le cycle complet semble suffisante (15 KW en moyenne < 36 KW de capacité).
Il reste à s'assurer que la puissance n'a pas un pic qui dépasse trop cette valeur moyenne.

Puissance en début de courbe : P0
La vitesse de refroidissement est donnée par :  dT/dt = -r(T-T1)
Elle est donc maximale en t=0.
Il en va de même pour la puissance.
P0 = P(t=0) = Me*dT/dt = ME.r.(T2-T1) = Pmoy * r * tc ~ 3,2 KW.

La puissance de réfrigération pour une palette est de 0,9 KW en moyenne sur 12 heures...
mais elle est maximale à 3,2 KW en début de refroidissement.

Premier constat :
Si l'on stockait toutes les palettes en même temps, la puissance instantanée requise serait de l'ordre de 100 KW (30*3,2) et le système réfrigérant ne parviendrait pas à maintenir la source froide constante : T1 grimperait et la courbe serait ralentie...

Puissance maximale requise sur l'ensemble du cycle : PTMAX
Quand on stocke une palette, elle est à son maximum de puissance requise.
Et les palettes déjà stockées consomment encore de la puissance.
Donc la puissance requise est maximale au moment où l'on stockera la dernière palette.

Entre deux intervalles dt=20 minutes, chaque palettes voit sa puissance requise se réduire d'un même coefficient multiplicateur 2^-dt/.
On peut donc facilement sommer la puissance des 30 palettes comme somme d'une série géométrique de raison 2^-dt/.

En appliquant les formules d'une série géométrique, et en utilisant un DL pour l'exponentielle (dt/ étant faible), on trouve :

PTMAX = P0.(1 - 2^-30dt/) / (1 - 2^-dt/)

PTMAX ~ P0./(dt.Ln2) ~ 10.P0 ~ 32 KW

Conclusion :
Le pic de puissance est atteint en fin d'après-midi (vers t = 0 + 10 heures), lorsque l'on stocke la dernière palette.
La puissance requise atteint alors quasimment 90% de la puissance nominale du système.

Salut LeDino,

J'ai de nouveau quelques questions à propos du détail de tes calculs :
Tout d'abord, une palette pèse 198kg, il y a 75% d'eau, une palette sort toutes les 18 minutes, ce qui donne 9h de production. Je t'ai donné des valeurs fausses mais approchant la réalité pour refaire les calculs moi-même à partir des formules que tu donnes, et ainsi réellement comprendre ta démarche pour me l'approprier.
Maintenant, je coince toujours à certains endroits :

Puissance en début de courbe :
Je suppose que Me et ME est la même chose, à savoir Meau, n'est-ce pas ?
Comment passes-tu de Me*dT/dt = ME.r.(T2-T1) à Pmoy * r * tc ? tc est bien la durée cible, 12h = 43200s ? Comment arrives-tu à trouver la valeur de 3,2kW ?

Puissance maximale requise sur l'ensemble du cycle : PTMAX
Pourquoi entre deux intervalles dt=20 minutes, chaque palettes voit sa puissance requise se réduire d'un même coefficient multiplicateur 2-dt/τ? Comment l'expliques-tu ?
Je ne vois pas pourquoi on peut sommer la puissance des 30 palettes comme une suite géométrique.
Qu'est-ce qu'un DL ?

Encore merci pour tes explications.

Exusez-moi, je me permets un

Premier point :

Bonjour LeDino, voici le fin mot de l'histoire !

Malheureusement, mon stage s'est fini trop tôt pour que je puisse aller au bout de toutes mes mesures, néanmoins j'ai eu ces quelques résultats.

J'ai pris la température au point le plus long à refroidir dans la palette, qui avait été déterminé bien avant mon arrivée dans l'entreprise pour mon stage. Les sondes ont mesuré la température chaque minute, puis sur ordinateur j'ai mis les valeur sur excel et j'en ai sorti les graphes suivants.

On voit donc que les fromages ne se refroidissent pas à 4°C en 12h (d'une part), mais ce qui est important c'est qu'au bout de 12h on est déjà en dessous de 8°C, et d'un point de vue légal c'est déjà ça. L'entreprise s'est sûrement fixée des objectifs ambitieux pour ne pas être en dehors des normes, mais ça je n'en sais rien car mon maître de stage n'est pas encore rentré de vacances : il va m'appeler très bientôt pour débriefer le stage et je pourrai discuter avec lui de mes résultats et de son objectif, ce qu'il en pensait réellement quant à la possibilité qu'il soit atteignable.

J'ai aussi mesuré l'évolution de la température dans le frigo pour vérifier une des conditions de la loi de Newton, et la température reste effectivement stable... si on fait abstraction des pics, dus à l'ouverture prolongée de la porte par un des employés pour filmer des palettes (on constate par ailleurs qu'il serait plus intéressant de porter un manteau lors de l'opération et de laisser la porte ouverte, mais je l'ai mis dans les propositions d'amélioration). Le frigo est assez puissant pour résumer (confirme les calculs).

J'aurais donc pu mesurer la température à proximité des fromages, qui comme tu l'as dit ne devait pas être à 2°C, mais sûrement à 3 ou4°C...
J'avais calculé théoriquement que les fromages atteindraient 4°C en 15h40 : dans la réalité, on est à 18h pour la palette de la mi-journée, et 14h pour celle de la fin de journée. J'ai tenté d'expliquer ces différences en supposant que la ventilation n'est pas aussi efficace partout, les évaporateurs étant situés au milieu de la pièce. La palette de la mi journée était contre le mur, tandis que celle de la fin de la journée était plus vers le centre, donc plus près des évaporateurs. J'ai aussi dit qu'on pourrait décaler les évapo au dessus de la moitié de la pièce où sont stockés les fromages, mais que le coût et surtout le gain font qu'il ne serait pas intéressant de procéder à ce changement... Surtout si un jour l'entreprise veut augmenter sa production.

J'en ai donc conclu que le modèle de Newton est à revoir, sans le recalculer car il existe visiblement une loi par point dans la pièce, étant donné la ventilation.

Petite question : Es-tu prof de physique, ou professionnel dans un domaine où il faut traiter des énergies ? Je serais curieux de savoir quel métier tu exerces...

Enfin, merci pour toute l'aide que tu m'as fourni, elle m'a été très précieuse, et ça m'a permis d'appliquer ce que j'avais vu en cours il y a quelques années !

Je me permets un up

Voilà, j'ai passé ma soutenance aujourd'hui, mes profs étaient contents et ont dit que mon rapport se lisait facilement, bref c'est positif ! Encore merci LeDino pour tes éclairements !

A bientôt.

Vij

Bonsoir Vij,

Je suis très heureux pour ta soutenance réussie.
J'avais lu ton compte-rendu final et m'apprêtais à y répondre.

En premier lieu, je trouve que tu as très bien exploité les quelques pistes que j'ai lancées et que tu as su te les "approprier" et les bonifier, aussi bien pour ton entreprise que pour ton rapport final et ta soutenance.

Tu as du laisser une synthèse mathématique qui doit donner un meilleur éclairage théorique sur des notions que pratique ton entreprise au quotidien.
C'est toujours profitable pour mieux comprendre les choses, et surtout pour maîtriser ce qui se passe en cas d'évolution observée ou de besoin de changer les choses.

Pour ton école ou ta fac, je devine que ton rapport était intéressant, parce que le sujet l'était et que tu l'as bien mis en valeur.
Tu as manifestement de bonnes qualités rédactionneles et j'ai moi ausi trouvé que tu présentais très bien des sujets pourtant délicats.

Pour ma part, je ne suis pas du tout "du métier". J'ai fait une grande école il y a plus de vingt ans, et je me suis toujours senti "ingénieur" dans l'âme, même si aujourd'hui je fais surtout du management. Résoudre des problèmes j'aime ça ...
Et le tien était intéressant : avec d'un coté cette belle loi physique très mathématique... et en prime, le calcul des puissances comme une série géométrique pour obtenir le bilan énergétique... Je ne pensais pas m'investir autant au départ, mais l'appétit est venu en mangeant ...

Bonne suite pour toi. Tu as du talent, tu feras des trucs sympas !

BonjourVij,

Le sujet que tu as traité pendant ton stage m'intéresse beaucoup. Pourrais tu me dire si tu as réussi a estimer théoriquement l'évolution de la température des aliments en question.
Car cette évolution dépend de la capacité thermique massique du produit, de sa température de départ, de son épaisseur.... Enfin bref je ne sais pas par où commencer...

Merci d'avance.

Salut timnour,

Tout d'abord, ce sujet est vieux de presque 4 ans, alors mes souvenirs ne sont plus aussi précis et ma connaissance scientifique s'est émoussée puisqu'aujourd'hui je travaille dans un milieu où j'ai j'exerce des compétences managériales, organisationnelles et techniques, plus que scientifiques.
Sinon, oui j'ai réussi à estimer théoriquement la température, mais je n'étais pas conforme avec la réalité, car l'aspiration n'est pas homogène en tout point de la pièce, et car l'opérateur laissait la porte ouverte quand il filmait les palettes, ce qui réchauffait la chambre froide.
Si mon souvenir est bon, peu importe l'épaisseur du produit, on raisonne plutôt en terme de masse (que j'avais assimilé à une masse d'eau pour simplifier les calculs).
Relis les posts, ils t'en diront plus, LeDino explique très bien, c'est un excellent pédagogue.
Peux-tu m'en dire plus concernant ta problématique ?