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Calcul d'arête dans une pyramide


autreCalcul d'arête dans une pyramide

#msg4267818#msg4267818 Posté le 18-09-12 à 20:45
Posté par Profilpierre42 pierre42

Bonjour,

Je cherche à calculer la longueur de la 4e arête d'une pyramide à base rectangulaire, connaissant la longueur des 3 autres.
J'ai essayé avec le théorème de Thalès mais ça ne me paraît pas possible.
Auriez-vous une idée d'une méthode appropriée ?

Bien cordialement,
édit Océane : forum modifié
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4267942#msg4267942 Posté le 18-09-12 à 21:23
Posté par Profilverdurin verdurin

Bonsoir,
Pythagore devrait t'aider.
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re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268161#msg4268161 Posté le 18-09-12 à 22:53
Posté par Profilpierre42 pierre42

je n'ai un angle droit que dans la base qui est un rectangle, je ne vois pas comment je pourrais l'utiliser pour le calcul des arêtes ?
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268218#msg4268218 Posté le 18-09-12 à 23:37
Posté par Profilverdurin verdurin

En fait ton problème n'est pas bien défini.
Est ce que tu connais les côtés du rectangles ?
De façon générale, il faut utiliser la projection orthogonale du sommet de la pyramide sur la base.
Pyramide#msg4268245#msg4268245 Posté le 19-09-12 à 00:18
Posté par Profilrogerd rogerd

Bonsoir

Il s'agit bien d'une pyramide oblique?
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268251#msg4268251 Posté le 19-09-12 à 00:21
Posté par Profilpierre42 pierre42

oui elle est oblique
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268289#msg4268289 Posté le 19-09-12 à 02:57
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Soit P le pied de la hauteur dans la base rectangulaire ABCD.
Il est facile de démontrer que PA²+PC² = PB²+PD².
En ajoutant à chacun de ses termes le carré de la hauteur, on trouve que la somme des carrés de deux arêtes opposées est égale à la somme des carrés des deux autres arêtes.
Trois solutions selon l'arête opposée à l'arête inconnue.
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268291#msg4268291 Posté le 19-09-12 à 03:25
Posté par Profilmathafou mathafou

Bonsoir,

à défaut de calcul, une construction géométrique de la 4ème arète SD = d, d'une pyramide à base rectangulaire de dimensions u et v (qui doivent bien entendu être connues, sinon le pb est insoluble = indéterminé), et connaissant les 3 arètes SA = a, SB = b, SC = c
Calcul d'arête dans une pyramide

Cette construction construit le patron (en vert) et la projection orthogonale (en rouge) sur la base.
Le patron donne les faces en vraie grandeur, donc la mesure en vraie grandeur de l'arête inconnue d.

La pyramide n'est réelle que si les triangles "en projection" sont plus petits que les triangles en vraie grandeur (d'où les "points de test" S'K etc)
La construction n'est pas détaillée, mais assez intuitive et évidente.

On devrait pouvoir transformer cette construction en calcul ...
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268292#msg4268292 Posté le 19-09-12 à 03:29
Posté par Profilmathafou mathafou

Bien vu, plumemeteore

et cela montre que même si on ne sait pas construire la pyramide, cette 4ème arête est calculable sans connaitre les dimensions u et v !
(qui sont bien indéterminées, mais on ne les demande pas de toute façon ...)
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268339#msg4268339 Posté le 19-09-12 à 08:51
Posté par Profildpi dpi

Bonjour

Comme mathafou je te conseille un "patron"
tournant
Soit le rectangle ABCD et le sommet S

tu connais AB =CD et BC=DA
et aussi  AS BS et CS

donc trace ASB et SBC  un cercle de centre C et de rayon CD
et un cercle de centre S et de rayon AD.
le point D sera à l'intersection de ces deux cercles et donc
tu auras facilement la distance DS qui est  le 4 ème coté
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268347#msg4268347 Posté le 19-09-12 à 09:06
Posté par Profildpi dpi

>pierre 42
Excuses
Le deuxième cercle est de centre A (rayon AD) et non S
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268379#msg4268379 Posté le 19-09-12 à 10:10
Posté par Profilmathafou mathafou

Bonjour dpi,

Citation :
tu connais AB =CD et BC=DA
ils ne sont pas dans l'enoncé !!
donc non, on ne connait pas
C'est en cela que réside la beauté de la solution de plummeteore : on n'a pas besoin de connaitre la base pour calculer la 4ème arète !!
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268497#msg4268497 Posté le 19-09-12 à 12:05
Posté par Profildpi dpi

Tout à fait
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268591#msg4268591 Posté le 19-09-12 à 13:15
Posté par Profilfontaine6140 fontaine6140

Bonjour,

Pour en connaître plus sur le théorème énoncé par plumemeteore,
voir le théorème du drapeau britannique
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4268642#msg4268642 Posté le 19-09-12 à 13:42
Posté par Profilmathafou mathafou

ce théorème faisait l'objet d'un DM très récent sur
re : Calcul d'arête dans une pyramide#msg4270880#msg4270880 Posté le 19-09-12 à 22:13
Posté par Profilpierre42 pierre42

merci beaucoup, effectivement avec le théorème du Drapeau Britannique ça devient enfantin,
on rajoute les hauteurs au carré,

et la solution est alors d² = b² + c² - a²

merci à tous,

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