J'ai deux exercices ou je comprend vraiment rien alors si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très gentil.
Voici mes exercices :
Exercice 1 :
Soit f:[0;1][0;1] une application croissante et soit A={x[0;1] tels que xf(x)}
Soit a=sup(A)
a) Montrer que A est une partie non vide et majorée de .
b) Montrer que l'on a a[0;1].
c) Montrer que f(a) est un majorant de A. En déduire aA.
d) On Suppose a=1. Montrer que l'on a f(1)=1.
e) On suppose a[0;1[. Montrer que le nombre f(a) est un minorant de [a;1[.
En déduireque l'on a f(a)=a.
Exercice 2 :
Soit f: une fonction continue telle que f(0)=0. On suppose qu'il existe un nombre réel b>0 tel que f(b)0. Notons A l'ensemble des nombres réels x tels que xb et f(x)=0.
a) Montrer que A est un ensemble non vide et majoré.
Notons a la borne supérieure de A.
b) Montrer que l'on a f(a)=0
c) Montrer que l'on a a<b et que si x]a;b[, alors f(x)0.
D'avance merci
Bonjour draluom;
Exercice 1:
a)
(*) on a donc et par suite .
(*) on a donc en particulier est majorée (par par exemple)
b) En général et par définition de la borne supérieure d'une partie non vide majorée de ,tout voisinage de rencontre donc en particulier la borne supérieure de est dans l'adhérence de (plus petit fermé contenant ) et comme est un fermé qui contient on a que .
c)
vu que et que est croissante sur on a que et donc que est donc un majorant de et comme est le plus petit des majorants de (borne sup) alors c'est à dire que .
d)
Si alors d'aprés on a et vu que arrive dans on a aussi donc .
e)
Supposons que alors vu que l'intervalle ne rencontre pas c'est à dire que et comme est croissante on a aussi et donc que est un minorant de et par conséquent plus petit que le plus grand des minorants de qu'est c'est à dire que
On conclut alors que .
Remarque:
Cet exercice est une démonstration du théorème suivant:
Si est croissante alors l'équation admet au moins une solution.
Sauf erreurs bien entendu
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