La mouche du cône

Posté par J-P J-P

Une mouche est posée au point P extérieur de la base d'un cône placé sur une route pour signaler des travaux.

Les dimensions du cône sont disponibles sur le dessin.

La mouche désire se rendre au point diamétralement opposé de la base du cône.

Quelle est la distance minimum que la mouche devra effectuer pour son parcours ? (elle ne peut évidemment pas passer à travers le cone).

La distance sera donnée en cm arrondie au cm le plus proche.

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Bonne chance à tous.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée : 74 cm

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par olive (invité)

La solution me parait trop simple, mais je risque le

Si j'étais une mouche, je longerai la base du cône et je parcourrai ainsi un demi-périmètre de la base c'est-à-dire 80 cm (j'irai de P à Q sur le dessin en suivant le chemin bleu.

Mais, est-ce que je suis une mouche ???
Alors , ou ?

Posté par philoux (invité)

Re,

En développant le cône, on obtient un patron composé :
- d'un disque de diamètre d=51cm
- d'un secteur de disque de rayon D=61 cm

l'angle au centre de ce dernier est tel que a.D=pi.d => a=pi.d/D

la distance parcourue d'un point P à P' diamètralement opposé correspond à un angle de a/2.

En prenant le point Q milieu de PP' sur cette droite on a :

sin(a/4)=(x/2)/D => x=2Dsin(a/4) => x=2Dsin(pi.d/4D)

A.N : x = 2.61.sin(pi.51/4.61) = 74 cm

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par sof (invité)

LA DISTANCE MINIMALE EST ENVIRON 74cm

Posté par infophile infophile

Bonjour

En utilisant un patron de cône et al-kashi, je trouve approximativement 74,47cm soit 74cm la distance la plus courte.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Le but est de trouver L.
On a L² = 61²+61² -2*61²*cos(â)
avec  â = 2*pi * (pi*51/2)*(pi*2*61) = pi*51/122 rd (voir schéma joint)
cos(â) = 0,2547
L² = 2*61² (1-02547) = 5546,7375
L= 74,47 cm arrondi à 74 cm

On suppose bien sûr qu'il est impossible à la mouche de passer sous le cône et de parcourir un diamètre de 51 cm !!!

Posté par masterfab2 masterfab2

notre petite mouche devra parcourir environ 74 cm

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Faut pas rater le coche...

Tout d'abord une question me taraude : Pourquoi la mouche désire-t-elle se rendre au point diamétralement opposé de la base du cône ? Que va-t-elle y faire ?

La mouche ne doit évidemment pas faire le tour du disque de base du cône (parcours trop long). Le plus court chemin est la "ligne droite" et pour visualiser ce chemin il faut déplier le cône. Je n'ai pas le courage aujourd'hui de faire une belle figure (je fais confiance à philoux pour ça!). Sur la section circulaire du cône composant sa face latérale (sur son patron), il faut calculer la longueur d'une corde équivalente à un demi-tour sur le cercle de base...
Bref, je trouve que la distance minimale est de : .

Conclusion: La distance minimale est de cm (environ).

Merci J-P pour cette énigme.

Posté par borneo borneo

ça m'embête de répondre à la va-vite... mais bon, soyons sportif. La mouche va décrire une demi ellipse dont je calcule un des axes, le 2e étant le rayon du cône. Ensuite j'applique une formule de la circonférence de l'ellipse glânée sur le net... faisons confiance.
Bref, la mouche parcourt 76 cm en arrondissant.
Soit moins qu'en restant au niveau du sol. Elle a bien fait de grimper un peu... jusqu'au point le plus proche du centre (sa projection sur la paroi du cône)

réponse 76 cm

Posté par ericek (invité)

.

Posté par paulo paulo

bonsoir,


j'ai trouvé 76,487 cm  que je me propose d'arrondir à   77 cm

j'ai considéré que la plus courte distance etait donné par la longueur de la demi ellipse tracee sur le cone par l'intersection du plan passant par P et le centre du cercle de base du cone . ce plan pour avoir la plus courte distance doit etre perpendiculaire a l'arete du cone.


voila je suis un peu inquiet sur la valeur de l'arrondi : 77 ou 76  cm


merci pour cette enigme
et a plus tard

Paulo

Posté par piepalm piepalm

Un cone est une surface développable. Lorsqu'on le développe, le point Q opposé à P sur la base appartient au cercle de centre le sommet O du cone de rayon 61 cm, la longueur de l'arc PQ étant 51pi/2=80,11 cm, soit un angle a=51pi/122=1,313 rd
La distance PQ en ligne droite est 2*61 sin(a/2)=74,47 arrondi à 74 cm

Posté par levrainico (invité)

bonsoir,
j'utilise le patron du cone (je le déplie), ce qui me donne un "camembert" de rayon 61 et de longueur d'arc 51*PI
pour aller en P', le chemin le plus court pour la mouche serait une ligne droite (une corde) de longeur d'arc l=51*PI/2

je calcule l'angle corresondant à une telle longeur d'arc avec R=61cm
l=R*
-> =l/R = 51*PI/(2*61) rad
avec le thoereme d'al Kashi, je calcule la corde C
C²=61²+61²-2*61*61*cos()
C²=2*61²*(1-cos())

C74cm

la mouche devra effectuer pour son parcours 74cm environ

Posté par Avangogo Avangogo

environ 73 cm

Posté par naoufal2000 (invité)

la plus petite distance est 80.11 cm

Posté par jugo jugo

Sur mon dessin, j'ai mis le cône à plat.
Le trajet le plus court d'un point à un autre étant la ligne droite,
on cherche alors à déterminer la valeur de d.

Valeur de l'angle a : a = 51.pi/122

( on vérifie pour la suite que a < pi/2 )

Alors, en prenant sur mon dessin les projections horizontale et verticale de d, on a :
d² = ( 61 - 61.cos(a) )² + ( 61.sin(a) )²
On en déduit d = 74,476 cm environ.

Réponse : 74 cm

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour,
le truc connu (des anciens bien sûr) est de déplier le cône sur le plan et de travailler sur ce plan.
On trouve sauf erreur que la distance est égale à (angle en radians):
2x61xsin(51pi / 4x61) = 74.476cm environ d'où après arrondi
réponse 74 cm

Posté par caylus caylus

Bonjour,

En utilisant le dévoppement du cône:
74 cm.  (74,4764225991...)

Posté par jacko78 (invité)

Bon ben il y a deux etoiles donc je sens venir le poisson mais je trouve que le plus court chemin est de rester sur la base, je dirais donc que ce dernier vaut le demi perimetre, soit 80 centimetre donc il doit y avoir une feinte...Pourtant la representation de la fonction du parcours en fonction de la cote empruntée est quasi affine donc ca semblerai logique, sauf si la mouche traverse le sol.....

A bientot

Posté par dolma (invité)

évidemment, le plus court chemin ne sera pas de passer par le sommet (idée intuitive)

En effet, ce chemin est de 61 cm * 2 = 122 cm

Reponse :

Le plus court chemin est de faire le tour de la base du cercle (en réalité, seulement un demi-tour)

Ce chemin mesure :

(2r)/2  = r = *51/2 = 25.5* 80.11

Donc, le chemin le plus court est de 80 cm  (arrondi au centimetre le plus proche)

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonsoir,

Pour trouver la solution, il faut déplier le cône et l'étaler. Si Q est le point d'arrivée de la mouche, la plus courte distance PQ est un segment de droite qui mesure 74.4 cm. Arrondi, cela fait 74 cm.

Une fois le cône remis en forme, la trajectoire PQ est un arc de cônique. Qui a dit que le plus court chemin entre 2 points est une ligne droite?

@+

Posté par ouille (invité)

donc en fait on sait que
périmètre cercle = (2*r)
donc on applique
cela donne
2*(D/2) = 160.22
On divise cela par 2 car la on a le périmètre et on veut un demi cercle car elle effectue un demi tour pour rejoindre le point final donc 160.22/2=80.11

La mouche doit faire 80cm pour rejoindre l'autre coté au minimum.

Posté par mahieddine (invité)

bonjour
la distance minimum que la mouche devra effectuer pour son parcours est 160 cm
c'est a dire le demi perimetre

Posté par doc_78 doc_78

Bonjour,
Je pense que la distance la plus courte est celle qui consiste à contourner le cône par sa base, je propose donc 80,11 cm.
Et voili voila, merci pour l'énigme.

Posté par franz franz

En développant "à plat" le cône, la mouche part de A pour aller à B.

L'angle

Le point B vérifiant , la distance minimale vaut donc

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Posté par philoux (invité)

Bonjour manpower

...Je n'ai pas le courage aujourd'hui de faire une belle figure (je fais confiance à philoux pour ça!)...

ben non : pas plus courageux que toi...

les figures de Nofutur2, yugo et franz me plaisent bien, mais j'y aurais rajouté le cercle de base pour obtenir le patron complet.

> question à piepalm :
...Un cone est une surface développable...

Pourrait-on envisager un pb similaire avec une surface non développable ?
qu'est-ce que ce serait ?

Philoux

Posté par piepalm piepalm

Si mes souvenirs sont bons (c'est très loin...) on appelle les courbes de plus court chemin des géodésiques, et elles ont la propriété qu'en chaque point, le plan osculateur à  la courbe est normal à la surface, ce qui donne les équa diff permettant de calculer son équation...

Posté par philoux (invité)

...le plan osculateur...

tu peux "vulgariser" stp

merci

philoux

Posté par piepalm piepalm

Le plan osculateur d'une courbe gauche (désolé, mais ça s'appelle comme ça) en un point M0 est le plan formé par la tangente et la normale à la courbe: c'est la limite du plan M0 M M' (trois points de la courbe) quand M et M' tendent vers M0... On peut également (je parle sur la base de vieux souvenirs) définir une sphère osculatrice dont le centre est sur la normale et le rayon égal au rayon de courbure...

Posté par levrainico (invité)

Oh,
ca a fait du mal à la tête du classement ces deux dernieres enigmes...
Sof et Jugo, ne vous en faites pas trop, Nofutur2 a prévu de se planter pour toutes les prochaines enigmes..
Merci Nofutur2, c'est vraiment sympa

Posté par paulo paulo

bonjour,

la formule du perimetre de l'ellipse est vraiment tres approche.


pour memoire c'est:

ou a et b sont les axes de l'ellipse

voila, un poisson de gagne

a plus tard

Paulo

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Tu ne crois pas si bien dire levrainico,... !
Si les énigmes continuent à être du type "géométrico-calculatoires" comme les quelques dernières, je ne pas tarder à faire "l'erreur qui tue" comme je l'ai déjà fait plusieurs fois et comme l'ont fait d'autres valeureux concurrents (n'est ce pas manpower ???,).
Et puis ce serait sympa que vous vous plantiez aussi tous les trois.. par solidarité

Good Luck

Posté par borneo borneo

Aaaaargh !!! Moi aussi, j'ai calculé la demi ellipse avec la formule de Paulo. La bonne réponse était bien plus simple.... Too bad

ps Sof est en 3e....

Posté par borneo borneo

ps 2 Bravo Kevin... à 13h, ils t'avaient mis un poisson pour ta bonne réponse. Tu as réclamé ?

Posté par levrainico (invité)

posté par : Nofutur2
ce serait sympa que vous vous plantiez aussi tous les trois.. par solidarité

on va y reflechir... mais c'est vrai qu'aucun de nous n'est à l'abrit d'une erreur.
Nouvelle enigme: Calculer la probabilité que les 4 premiers se plantent à la prochaine énigme.

Posté par jugo jugo

Je pense qu'elle est proche de 0, parce que je vois mal le champion en titre tomber sur une énigme 2 étoiles.

En ce qui me concerne, ça ne devrait pas tarder.
J'ai écrit des énormités sur la 117 de puisea qui sont passées inaperçues vu que le résultat était bon, et ça finira bien par coincer ...

Ceci dit, trompez vous quand vous voulez. Vu mon temps de réponse, je n'ai que ça pour espérer ne serait-ce qu'un podium ...

Posté par conquerant (invité)

Ma question va vous paraître sûrement idiote, mais pourquoi le chemin le plus court ne serait pas la moitié du diamètre : 25,5 cm, longueure plus courte que 74 cm (et nettement moins compliquée)?
La mouche ne peut pas marcher?

Posté par sof (invité)

quant à moi je e suis pas sur d'avoir un smiley dans la 118ème de puisea est ce le cas pour vous aussi jugo et livrainico

Posté par J-P J-P

Attention de ne pas discuter des énigmes en cours.

Posté par borneo borneo

Conquerant : c'est une mouche, pas un ver de terre (ça fait longtemps que j'attends de pouvoir caser mon petit smiley trop mignon...)

Posté par zackary0 (invité)

Pleins ont confondus élipse et cercle ^_^

Posté par borneo borneo

Confondu, pas forcément. Moi, j'ai pris le cône de profil, et j'ai cherché le point le plus proche du centre de la base. Ce qui revenait à faire monter la mouche sur le cône et à raccourcir son trajet par rapport au cercle de la base. Donc à décrire une demi ellipse, dont le grand axe était le diamètre. Je pense que Paulo a calculé comme moi, avec une formule assez compliquée.
D'ailleurs, je ne suis pas convaincue... je vais tester la chose avec un cône DDE et un élastique

Posté par jams (invité)

Je pense qu'il ne s'agit pas d'une demi-ellipse mais d'une portion d'ellipse c'est pourquoi ceux qui on essayé cette méthode se sont trompé !

Posté par levrainico (invité)

MMMmmm   ellipse, cercle ....
dans tous les cas, la mouche se promène dans un plan, vous etes d'accord?
si on appelle le demi-angle d'ouverture du cone, et l'angle d'inclinaison entre le plan et l'axe du cone alors l'intersection d'un cone avec un plan est soit:

une ellipse Si <
une parabole Si =
une hyperbole Si >

je me rends compte que mon message ne vous avance pas trop dans le problème, mais on sait que ca ne sera pas un cercle
reste à savoir si < ou non

Posté par piepalm piepalm

Attention, la trajectoire de la mouche n'est pas dans un plan! la courbe décrite n'est donc pas une conique...
En effet, lorsque la mouche parcourt la géodésique, sa vitesse est dans le plan tangent, et son accélération est normale au cône: le plan formé par les vecteurs vitesse et accélération (tiens, voilà le plan osculateur!) est donc en tout point normal au cône, donc à la génératrice: ce ne peut donc être un plan fixe...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Pour ceux que les "géodésiques" intéressent, voici un site pas mal et assez complet (voir en particulier les géodésiques des cônes de révolution qu'essaye de suivre tant bien que mal la pauvre mouche à J-P)... Bonne lecture.

Voir ici -->