projection

Posté par jll18 (invité)

Bonjour à tous,

Qqn aurait-il une petite idée pour la démonstration de ceci :

Une projection est une transformation linéaire f d'un espace vectoriel V telle que f = f°f

Un tout tout grand merci d'avance....

Posté par biondo (invité)

Salut!

Ca depend.... Comment tu definis une projection?

Parce que dans certains cours, ce que tu as ecrit est la definition meme d'un projecteur.

A+
biondo

Posté par Babou14 (invité)

Il paraît clair que par définition un projecteur est un projecteur, cad une application qui envoie l'espace sur un sev parallèlement à un supplémentaire.

Soit f linéaire tq fof=f

Notons E=Im f et F=Ker f

1) E et F sont en somme directe. En effet soit x dans l'intersection.
Alors x=f(y) pour un certain y, et f(x)=0, i.e. x=f(y)=fof(y)=0. Donc l'intersection est vide

2) La somme de E et F est égale à tout l'espace.

Soit x quelconque, remarquons que x=f(x) + (x-f(x)).

Alors f(x) appartient à E tandis que f(x-f(x))=f(x)-fof(x)=f(x)-f(x)=0 donc x-f(x) appartient à F.

Cela prouve que E et F sont supplémentaires.

Montrons maintenant que f est le projecteur sur E parallèlement à F.

On a vu x=f(x) + (x-f(x)) avec f(x) appartient à E, x-f(x) appartient à F.

Par définition de la projection, f(x) est donc le projeté de x sur E parallèlement à F. CQFD

Posté par jll18 (invité)

un tout grand merci.....