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Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta

Posté par
boisdevincennes 12-11-12 à 00:36

Voici un exercice très difficile et je n'ai pu faire que le début. MERCI DE M'AIDER

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j), on considère la droite DELTA d'équation cartésienne: 3x+4y-6=0
1) Soit M(x,y) appartient à P, déterminer les coordonnées (x', y') de l'image M' de M par la symétrie orthogonale S d'axe delta.
2) Déterminer une équation cartésienne de l'image par la symétrie orthogonale S d'axe delta de la droite d'équation cartésienne x-2y+2=0

1)Avec les formules (Merci de corriger)
On a 3x+4y=6
a=3,b=4,c=6
n=a²+b²=25
cm=3xm+4ym (cm=aXM+bYM)
ALORS:
XM'=XM+6(6-3XM-4Ym)/25
YM'=YM+8(6-3XM-4YM)/25

XM'=XM+(36-18XM-24Ym)/25
YM'=YM+(48-24XM-32YM)/25

2) La je n'y arrive pas.

Posté par
pythamedere : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 09:54

Les méthodes de travail diffèrent selon le niveau. En première, on n'a pas les mêmes outils qu'en Terminale, a fortiori pas les mêmes outils qu'en fac. Pour répondre, on a besoin de savoir dans quelle classe tu es ! Pourquoi as-tu posté sur "autre" ?

Posté par
boisdevincennesre : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 12:46

vieux chomeur pas scolarisé, je n'ai trouvé aucune catégorie.
un expert d'un autre forum m'a donné une solution mais je ne la comprends pas:

Soit D la droite d'équation x-2y+2=0, D' sa symétrique. M(x,y) est sur D' si et seulement si M'(x',y') est sur D. Donc M(x,y) est sur D' si et seulement si x'+2y'+2=0. En remplaçant x' et y' par leur expression en fonction de x et y(qu'on connaît) on obtient : M(x,y) est sur D' si et seulement si ... et, comme on a une équation en x et y, c'est l'équation de D' (définition de l'équation d'une droite).
Mon calcul me donne (11/5)x-(2/5)y-2/5=0
Soit en multipliant les deux membres par 5 : 11x-2y-2 = 0

voila ce que je lui ai répondu:
Mais pourriez vous détailler vos calculs car j'ai du mal à tout comprendre (n'oubliez pas que je n'ai pas de cours pour me guider)
il y a 2 trucs ou j'ai du mal: M(x,y) est sur D' si et seulement si M'(x',y') est sur D
pourquoi M(x,y) est sur D' et non pas M'?
il faut retenir qu'on change le signe de la constante, bon soit,
et apres " Mon calcul me donne (11/5)x-(2/5)y-2/5=0" il est ou?

Posté par
boisdevincennesre : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 12:47

ci dessus la réponse du 2, le 1 est juste.

Posté par
pythamedere : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 14:25

Citation :
XM'=XM+6(6-3XM-4Ym)/25
YM'=YM+8(6-3XM-4YM)/25


Je suis d'accord !

Ces formules donnent xM' et yM' en fonction de xM et de yM. S'il ne s'agissait pas d'une symétrie, il faudrait "retourner" les formules pour trouver xM et yM en fonction de xM' et yM', c'est à dire résoudre le système linéaire d'inconnues xM et yM :

x_{M'}=x_M+\frac{6(6-3x_M-4y_M)}{25}
y_{M'}=y_M+\frac{8(6-3x_M-4y_M)}{25}

Mais comme il s'agit d'une symétrie, je veux dire puisque le symétrique du symétrique d'un point est le point lui même, il est inutile de faire ce travail car les formules donnant xM et yM en fonction de xM' et yM' sont forcément exactement les mêmes. Donc :

x_{M}=x_{M'}+\frac{6(6-3x_{M'}-4y_{M'})}{25}\,\,\,\,\,\,\,[1]
y_{M}=y_{M'}+\frac{8(6-3x_{M'}-4y_{M'})}{25}\,\,\,\,\,\,\,[2]

Une condition nécessaire et suffisante pour que M(x_M,y_M) appartienne à la droite d'équation x-2y+2=0 est que ses coordonnées x_M et y_M vérifient effectivement la relation x_M-2y_M+2=0 et en remplaçant les deux variables grâce à [1] et [2], une condition nécessaire et suffisante pour que M(x_M,y_M) appartienne à la droite d'équation x-2y+2=0 est que les coordonnées de son symétrique M'(x_{M'},y_{M'}) vérifient l'équation :

x_{M'}+\frac{6(6-3x_{M'}-4y_{M'})}{25}-2(y_{M'}+\frac{8(6-3x_{M'}-4y_{M'})}{25})+2=0

Il ne reste qu'à simplifier un peu. Je multiplie tout par 25 :

25 x_{M'}+6(6-3x_{M'}-4y_{M'})-50 y_{M'}-16(6-3x_{M'}-4y_{M'})+50=0

Je développe :

25 x_{M'}+36-18x_{M'}-24y_{M'}-50 y_{M'}-96+48x_{M'}+64y_{M'}+50=0

(25-18+48)x_{M'}+(-24-50+64)y_{M'}+(36-96+50)=0

55x_{M'}+-10y_{M'}-10=0

Bon, il est possible que je me sois planté, car je ne trouve pas la même chose que ce que l'on t'a déjà donné, mais je n'ai guère plus de temps, et j'aimerais que tu essayes de vérifier toi aussi. Je n'exclus absolument pas une erreur de calcul car j'ai tapé ça en LaTex directement. En tous cas, j'espère que tu as compris le principe.

Citation :
M(x,y) est sur D' si et seulement si M'(x',y') est sur D


Il a joué sur la symétrie, comme moi, mais sans vraiment l'expliquer. Il aurait pu dire :
Citation :
M(x,y) est sur D si et seulement si M'(x',y') est sur D'
, mais ce qu'il dit est également vrai et cela lui permet de ne pas "résoudre" le système mentionné ci-dessus.

Les deux approches sont valables ; simplement, il est clair que l'un de nous deux (au moins) s'est trompé puisque l'on ne trouve pas la même équation. Essaie de tracer les trois droites sur un graphique et vois si l'un de nous deux a raison.

Posté par
boisdevincennesre : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 14:49

LE SPECIALISTE de l'autre forum A EFFECTUE UN CHANGEMENT DE VARIABLE:
x'+2y'+2=0 ET NON PAS x'-2y'+2=0 (j'ai pas compris pourquoi)
ALORS ça donne avec le changement:
25 xM+6(6-3xM-4yM)  +50yM+16(6-3xM-4yM)   +50=0
= 25xM+36-18xM-24yM +50yM+96-48xM-64yM +50=0
= -41Xm-38ym+182=0
on est loin de (11/5)x-(2/5)y-2/5=0
J'ai soumis ce résultat sur l'autre forum. On va voir. Mais c'est faux aussi

Posté par
boisdevincennesre : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 14:51

(11/5)x-(2/5)y-2/5=0 est la bonne solution j'ai vérifié, donc on a tous les 2 faux

Posté par
pythamedere : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 17:31

Finalement, j'avais dit 55x_{M'}-10y_{M'}-10=0 et j'avais raison, moi aussi !

Au premier coup d'oeil, j'ai pensé que mon équation était différente de l'équation (11/5)x-(2/5)y-2/5=0, mais j'avais tort. Au deuxième coup d'oeil :

55x_{M'}-10y_{M'}-10=0

\iff 11x_{M'}-2y_{M'}-2=0

ou, si l'on aime les fractions :

\iff (\frac{11}{5})\,x_{M'}-(\frac{2}{5})y_{M'}-(\frac{2}{5})=0

Ce qui montre que M'(x_{M'},y_{M'}) appartient bien à la droite d'équation (\frac{11}{5})\,x-(\frac{2}{5})y-(\frac{2}{5})=0

Je suis donc d'accord !

Posté par
boisdevincennesre : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 17:32

En fait vous aviez raison, simplement on m'a fait remarqué que vous n'avez pas simplifié votre équation. Le corrigé ici: http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-college-lycee/569227-symetrie-dune-un-axe-delta-exercice-difficile.html#post4254368

Posté par
boisdevincennesre : Exercice difficile Symétrie d'une droite par Delta 12-11-12 à 17:33

je venais de répondre sans avoir vu votre réponse


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