topologie_problème de Kuratowski

Posté par leia540 (invité)

On considère un sous-ensemble A d'un ensemble topologique X.Combien de sous-ensembles distincts peut-on obtenir à partir de A par application des opérations :"fermé et complémentaire" de toutes les manières possibles, et de n'importe quel nombre de fois?

1/ Commencez avec l'égalité:
            A= X \ adh(X\A)

a)Prouvez que si cette égalité se vérifie, A est ouvert.
b)Si elle se vérifie, A est-il un intervalle de la droite des reels(avec la topologie usuelle)?
c)Se vérifie-t-elle pour n'importe quelle droite réelle?  Pour quels ouverts se vérifie-t-elle?

2/ Nous dirons qu'un sous-ensemble est de la n-ième génération s'il s'obtient comme résultat de l'application à A, n fois au total et dans n'importe quel ordre, des opérations "fermé et complémentaire".Ecrire un tableau avec les 4 premières générations et supprimer les sous-ensmbles qui s'y repètent.

3/ Trouvez des exemples de sous-ensembles de R dans lesquels sont distincts la plus grande quantité possible d'éléments du tableau précédent.

4/ Chercher à savoir si l'auteur à résolut le problème de manière élémentaire et les faits de l'article dans lequel il est résolut.

5/ Obtenir l'article ou au moins expliquer comment on peut l'obtenir.

Voilà, le problème est que j'ai aussi l'algèbre, les probabilités et l'analyse à faire alors si vous pouviez me donnez des pistes qui pourrait m'éviter d'y passer des heures se serait super!
C'est un problème de 2ème année de fac de maths en Espagne (parcequ'en France la topologie ne commence que la 3ème année je crois, non?
J'ai du mal à voir quels sont les ensembles ouverts et tout le reste, j'arrive pas à visualiser du coup les définitions me parlent pas du tout.

Merci d'avance

Hasta luego

Posté par leia540 (invité)

Aidez-moi!!!
Pour la 1 je pense que c'est bon.
Mais j'ai du mal a voir si A est un element de X ou s'il est inclu dans X.
Je pense que c'est inclu. Pour la 2 alors, A serait inclu dans R. Dans ce cas je vois pasce qu'il faut faire, X devient R ou bien X est toujours le meme?
Je suis perdue aidez-moi.

Posté par leia540 (invité)

S'il vous plait aidez moi j'avance pas.
Je comprends pas et sais pas où chercher.

Posté par stokastik stokastik


1/a) Par définition, l'adhérence d'une partie est un fermé, et par définition, le complémentaire d'un fermé est un ouvert.

b) Je ne comprends pas : dans cette question X=R ?
Si A = ]0,1[ union ]2,3[ il me semble que A vérifie l'égalité.

c) Pour n'importe quelle droite réelle ? Hein ??

4/ et 5/ Mais de quel article parles-tu ??