Challenge n°120
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Challenge n°120
Posté le 22-10-05 à 22:52
Posté par 
puisea puisea 
Bonsoir, nouvelle énigme :
Borneo trace un cercle de rayon 1 et de centre O, elle place sur le cercle deux points : A et B. On nomme ainsi l'angle BOA comme étant l'angle
.
Elle effectue ensuite les homothéties de centre O et de rapport 2 sur A et B, obtenant ainsi A' et B'.
Borneo place ensuite le point O' image de O, par une symétrie axiale d'axe A'B'.
Ensuite, elle trace la droite d1, parallèle à O'B' passant par A'.
Puis enfin la droite d2, parallèle à A'B' passant par O'.
On note D, le point d'intersection de d1 et d2.
Quelle valeur de faut-il prendre pour que l'aire du quadrilatère A'B'O'D soit maximale ?
Bonne chance à tous.
puisea puisea Bonsoir, nouvelle énigme :
Borneo trace un cercle de rayon 1 et de centre O, elle place sur le cercle deux points : A et B. On nomme ainsi l'angle BOA comme étant l'angle
.Elle effectue ensuite les homothéties de centre O et de rapport 2 sur A et B, obtenant ainsi A' et B'.
Borneo place ensuite le point O' image de O, par une symétrie axiale d'axe A'B'.
Ensuite, elle trace la droite d1, parallèle à O'B' passant par A'.
Puis enfin la droite d2, parallèle à A'B' passant par O'.
On note D, le point d'intersection de d1 et d2.
Quelle valeur de
faut-il prendre pour que l'aire du quadrilatère A'B'O'D soit maximale ?Bonne chance à tous.
re : Challenge n°120 Posté le 22-10-05 à 23:44
Posté le 22-10-05 à 23:44Posté par Nofutur2 Nofutur2
On remarque que l'aire de A'B'O'D est égale à 4 fois l'aire du triangle A'HO'.
Ce triangle a pour aire =1/2*(2cos/2)*(2sin /2) = sin
La surface totale est donc de 4*sin
Cette surface est maximale (S =4) pour = 90°
Nofutur2 Nofutur2On remarque que l'aire de A'B'O'D est égale à 4 fois l'aire du triangle A'HO'.Ce triangle a pour aire =1/2*(2cos
/2)*(2sin /2) = sinLa surface totale est donc de 4*sin
Cette surface est maximale (S =4) pour
= 90°re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 00:00
Posté le 23-10-05 à 00:00Posté par borneo borneo
Merci pour l'énigme 
pourvu que je ne me trompe pas...
Après avoir cherché sur le net ce qu'est une homothétie (merci google) je trouve que l'aire A'B'O'D = aire A'O B'O' qui est maximale quand c'est un carré. C'est à dire quand= 90 degrés
Quand= 180 ou 0 l'aire est d'ailleurs nulle.
Réponse l'aire du quadrilatère A'B'O'D est maximale avec=90 degrés
borneo borneoMerci pour l'énigme pourvu que je ne me trompe pas...Après avoir cherché sur le net ce qu'est une homothétie (merci google) je trouve que l'aire A'B'O'D = aire A'O B'O' qui est maximale quand c'est un carré. C'est à dire quand
= 90 degrésQuand
= 180 ou 0 l'aire est d'ailleurs nulle.Réponse l'aire du quadrilatère A'B'O'D est maximale avec
=90 degrésre : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 00:03
Posté le 23-10-05 à 00:03Posté par piepalm piepalm
Le quadrilatère A'B'O'D est un parallèlogramme où O'B'=A'D=2 , O'A'=2, l'angle B'O'A'=alpha et l'aire de A'B'O'D=O'A'*O'B'sin(alpha) sera maximale pour alpha=pi/2 ou 90°
piepalm piepalmLe quadrilatère A'B'O'D est un parallèlogramme où O'B'=A'D=2 , O'A'=2, l'angle B'O'A'=alpha et l'aire de A'B'O'D=O'A'*O'B'sin(alpha) sera maximale pour alpha=pi/2 ou 90°re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 00:06
Posté le 23-10-05 à 00:06Posté par rene38 rene38
Soit {H}=(OO')
(AB)
Par des considérations de symétrie, on a :
Aire de A'B'O'D = 2
Aire de A'B'O'
= 2 Aire de A'B'O
= 2 2² Aire de ABO (homothétie)
= 2 4 (1/2) AB OH
= 8 AH OH
= 4 2 sin(/2) cos(/2)
= 4 sin()
L'aire de A'B'O'D est maximale lorsque sin() est maximal donc
L'aire de A'B'O'D est maximale lorsque = 
/2
rene38 rene38Soit {H}=(OO')(AB)Par des considérations de symétrie, on a :
Aire de A'B'O'D = 2
Aire de A'B'O'= 2
Aire de A'B'O= 2
2² Aire de ABO (homothétie)= 2
4 (1/2) AB OH= 8
AH OH= 4
2 sin(/2) cos(/2)= 4
sin()L'aire de A'B'O'D est maximale lorsque sin(
) est maximal doncL'aire de A'B'O'D est maximale lorsque
= /2re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 00:53
Posté le 23-10-05 à 00:53Posté par jams (invité)
J'ai trouvé que l'aire vaut A= 4sin
donc il faut prendre=/2
Mais je ne comprend toujours pas à quoi sert l'homothétie!
J'ai trouvé que l'aire vaut A= 4sindonc il faut prendre
=/2Mais je ne comprend toujours pas à quoi sert l'homothétie!
re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 02:09
Posté le 23-10-05 à 02:09Posté par manpower manpower
Bonsoir,
Humm... un cercle de rayon 1...
Tout d'abord, A'B'O'D est un parallélogramme (côtés opposés parallèles par construction).
Son aire vaut le produit de la base par la hauteur mais quelquesoit la valeur de
le côté [A'D] est fixe.
En effet, avec I le milieu de [OO'], d'après le théorème de Thalès (ou même celui des milieux), dans OO'D avec (A'B')//d2, on peut affirmer que A' est le milieu de [OD]. Or OA'=2OA=2 (par homothétie), donc A'D=2.
Reste donc pour maximiser l'aire à maximiser la hauteur relative à cette base.
La hauteur relative à cette base est h=d(B',d1). Puisque B décrit le cercle trigonométrique, B' décrit le cercle de centre O et de rayon 2.
Ainsi h=2sin (en considérant (OA) comme l'axe des abscisses). Cette hauteur est maximale pour sin=1 donc pour ![\rm \alpha=\frac{\pi}{2} [\pi]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm \alpha=\frac{\pi}{2} [\pi])
.
Conclusion: Les valeurs de sont ![3$ \red \rm \alpha=\frac{\pi}{2} [\pi]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \red \rm \alpha=\frac{\pi}{2} [\pi])
ou encore ![3$ \red \rm \alpha=90^o [180^o]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \red \rm \alpha=90^o [180^o])
(et l'aire maximale vaut alors 4)
Merci pour l'énigme. Bonne nuit...
manpower manpowerBonsoir,Humm... un cercle de rayon 1...
Tout d'abord, A'B'O'D est un parallélogramme (côtés opposés parallèles par construction).
Son aire vaut le produit de la base par la hauteur mais quelquesoit la valeur de
En effet, avec I le milieu de [OO'], d'après le théorème de Thalès (ou même celui des milieux), dans OO'D avec (A'B')//d2, on peut affirmer que A' est le milieu de [OD]. Or OA'=2OA=2 (par homothétie), donc A'D=2.
Reste donc pour maximiser l'aire à maximiser la hauteur relative à cette base.
La hauteur relative à cette base est h=d(B',d1). Puisque B décrit le cercle trigonométrique, B' décrit le cercle de centre O et de rayon 2.
Ainsi h=2sin
Conclusion: Les valeurs de
Merci pour l'énigme. Bonne nuit...
re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 07:50
Posté le 23-10-05 à 07:50Posté par olive (invité)
comment ramasser un
s'en s'en rendre compte : répondre trop vite et ne pas relire.
La bonne réponse est 90° et non 45
Pour y arriver : utiliser le freeware "DECLIC" (c'est comme Cabri mais en version gratuite), tracer la figure comme A'B'O'D est un parallélogramme, on observe que la base A'D est toujours la même suivantl'angle alpha, il suffit de maximiser la hauteur du parallélogramme.
Dans Déclic, tracer une hauteur AH, déterminer le lieu de H en fonction de B. On observe directement que l'angle AOB doit valoir 90° pour ôbtenir une aire maximale.
Evidemment, la méthode ci-dessus n'est pas une démonstration mathématique mais bon, on va pas chicaner (il y en a bien qui utilise Exell pour d'autres problèmes.
Et encore un pour avoir répondu trop vite. C'est le quatrième ce mois-ci
comment ramasser un
s'en s'en rendre compte : répondre trop vite et ne pas relire.La bonne réponse est 90° et non 45
Pour y arriver : utiliser le freeware "DECLIC" (c'est comme Cabri mais en version gratuite), tracer la figure comme A'B'O'D est un parallélogramme, on observe que la base A'D est toujours la même suivantl'angle alpha, il suffit de maximiser la hauteur du parallélogramme.
Dans Déclic, tracer une hauteur AH, déterminer le lieu de H en fonction de B. On observe directement que l'angle AOB doit valoir 90° pour ôbtenir une aire maximale.
Evidemment, la méthode ci-dessus n'est pas une démonstration mathématique mais bon, on va pas chicaner (il y en a bien qui utilise Exell pour d'autres problèmes.
Et encore un
pour avoir répondu trop vite. C'est le quatrième ce mois-cire : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 10:27
Posté le 23-10-05 à 10:27Posté par jacques1313 jacques1313
A'B'O'D est un parallélogramme qui a la même aire que le losange OA'O'B, en effet elle vaut 
.
Mais cette aire est également égale à :\|)
.
Le maximum est donc atteint quand le sinus vaut 1, c'est à dire si
=±90°.
jacques1313 jacques1313A'B'O'D est un parallélogramme qui a la même aire que le losange OA'O'B, en effet elle vaut Mais cette aire est également égale à :
Le maximum est donc atteint quand le sinus vaut 1, c'est à dire si
re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 11:18
Posté le 23-10-05 à 11:18Posté par jugo jugo
A'B'O'D est un parallélogramme.
Il a la même aire que le losange OA'O'B' de côté 2.
Le problème revient donc à trouver α pour que l'aire de ce losange soit maximale,
ce qui donne α=90° et une aire de 4.
Par le calcul :
J'ai noté C l'intersection de OO' et A'B' (voir mon dessin)
L'aire du parallélogramme A'B'O'D vaut S = CO'.A'B'
CO' = OC = OA' cos(α/2) = 2 cos(α/2)
A'B' = 2 CA' = 2 OA' sin(α/2) = 4 sin(α/2)
Sonc S = 4 . 2 sin(α/2) cos(α/2) = 4 sin α
S est donc maximale quand sin α = 1 donc quand α=90°
Réponse : α=90°
jugo jugoA'B'O'D est un parallélogramme.Il a la même aire que le losange OA'O'B' de côté 2.
Le problème revient donc à trouver α pour que l'aire de ce losange soit maximale,
ce qui donne α=90° et une aire de 4.
Par le calcul :
J'ai noté C l'intersection de OO' et A'B' (voir mon dessin)
L'aire du parallélogramme A'B'O'D vaut S = CO'.A'B'
CO' = OC = OA' cos(α/2) = 2 cos(α/2)
A'B' = 2 CA' = 2 OA' sin(α/2) = 4 sin(α/2)
Sonc S = 4 . 2 sin(α/2) cos(α/2) = 4 sin α
S est donc maximale quand sin α = 1 donc quand α=90°
Réponse : α=90°
re : Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 11:46
Posté le 23-10-05 à 11:46Posté par philoux (invité)
Bonjour,
Réponse proposée : alpha = 90°
Méthode proposée :
En positionnant A arbitrairement en (1, 0) => B(cosx, sinx) puis A'(2, 0) et B'(2cosx, 2sinx)
O'(a,b) est tel que OO' ortho A'B' et (a-2)²+b²=4 => O'(2(1+cosx), 2sinx)
OO' // OA' // OA
Par ailleurs O'D // A'B' => le quadrilatère est un parallélogramme de base A'D=O'B'=2 constante
et pour hauteur h = ordonnée de B' = 2sinx
la surface vaut base*hauteur => S = 4sinx qui atteint son maximum pour sinx= 1
x= 90°
Merci pour l'énigme qui a du plaire à borneo pour lui faire réviser sa trigo
:
excel, ici, n'aura pas été efficace, à moins de lui faire rechercher le max de sinx...
Philoux
Bonjour,Réponse proposée : alpha = 90°
Méthode proposée :
En positionnant A arbitrairement en (1, 0) => B(cosx, sinx) puis A'(2, 0) et B'(2cosx, 2sinx)
O'(a,b) est tel que OO' ortho A'B' et (a-2)²+b²=4 => O'(2(1+cosx), 2sinx)
OO' // OA' // OA
Par ailleurs O'D // A'B' => le quadrilatère est un parallélogramme de base A'D=O'B'=2 constante
et pour hauteur h = ordonnée de B' = 2sinx
la surface vaut base*hauteur => S = 4sinx qui atteint son maximum pour sinx= 1
x= 90°
Merci pour l'énigme qui a du plaire à borneo pour lui faire réviser sa trigo
: excel, ici, n'aura pas été efficace, à moins de lui faire rechercher le max de sinx...
Philoux
re: Challenge n°120 Posté le 23-10-05 à 16:02
Posté le 23-10-05 à 16:02Posté par levrainico (invité)
bonjour,
A'B'O'D est un joli parrallèlogramme.
ainsi, les aires des triangles A'O'D et A'O'B' sont égales.
avoir l'aire maxi de A'B'O'D reviens alors à avoir l'aire maxi de A'O'B'.
O' est le symétrique de O par rapport à (A'B'), ainsi avoir l'aire maxi de A'O'B' revient à avoir l'aire maxi de A'OB', ce qui revient à avoir l'aire maxi de AOB.
le problème est donc reformulé comme:
Quelle valeur de faut-il prendre pour que l'aire du triangle AOB soit maximale?
la réponse sera donc=90° car AOB est isocèle en O
merci
bonjour,A'B'O'D est un joli parrallèlogramme.
ainsi, les aires des triangles A'O'D et A'O'B' sont égales.
avoir l'aire maxi de A'B'O'D reviens alors à avoir l'aire maxi de A'O'B'.
O' est le symétrique de O par rapport à (A'B'), ainsi avoir l'aire maxi de A'O'B' revient à avoir l'aire maxi de A'OB', ce qui revient à avoir l'aire maxi de AOB.
le problème est donc reformulé comme:
Quelle valeur de
faut-il prendre pour que l'aire du triangle AOB soit maximale?la réponse sera donc
=90° car AOB est isocèle en Omerci
Réponse proposée : 90° Posté le 24-10-05 à 19:00
Posté le 24-10-05 à 19:00Posté par Oxygen_o2 (invité)
D'après mes calculs,
l'aire du quadrilatère A'B'O'D est maximale lors que = 1/2rad soit 90°
Merci pour l'énigme...
D'après mes calculs, l'aire du quadrilatère A'B'O'D est maximale lors que
= 1/2rad soit 90°Merci pour l'énigme...
re : Challenge n°120 Posté le 25-10-05 à 11:15
Posté le 25-10-05 à 11:15Posté par astroximinus (invité)
Bonjour ,
Je trouve que l'aire est maximale lorsque alpha=90°. Merci pour l'énigme.
Bonjour ,Je trouve que l'aire est maximale lorsque alpha=90°. Merci pour l'énigme.
Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 1989,47 %10,53 %
Temps de réponse moyen : 16:19:56.
Nombre de participations : 19
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2
2Temps de réponse moyen : 16:19:56.
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