On remarque que l'aire de A'B'O'D est égale à 4 fois l'aire du triangle A'HO'.
Ce triangle a pour aire =1/2*(2cos /2)*(2sin /2) = sin
La surface totale est donc de 4*sin
Cette surface est maximale (S =4)  pour = 90°

Merci pour l'énigme pourvu que je ne me trompe pas...

Après avoir cherché sur le net ce qu'est une homothétie (merci google) je trouve que l'aire A'B'O'D = aire A'O B'O' qui est maximale quand c'est un carré. C'est à dire quand = 90 degrés

Quand = 180 ou 0 l'aire est d'ailleurs nulle.

Réponse l'aire du quadrilatère A'B'O'D est maximale avec =90 degrés

Le quadrilatère A'B'O'D est un parallèlogramme où O'B'=A'D=2 , O'A'=2, l'angle B'O'A'=alpha  et l'aire de A'B'O'D=O'A'*O'B'sin(alpha) sera maximale pour alpha=pi/2 ou 90°

Soit {H}=(OO')(AB)
Par des considérations de symétrie, on a :
Aire de A'B'O'D = 2 Aire de A'B'O'
= 2 Aire de A'B'O
= 2 2² Aire de ABO (homothétie)
= 2 4 (1/2) AB OH
= 8 AH OH
= 4 2   sin(/2) cos(/2)
= 4 sin()

L'aire de A'B'O'D est maximale lorsque sin() est maximal donc

L'aire de A'B'O'D est maximale lorsque = /2

J'ai trouvé que l'aire vaut A= 4sin
donc il faut prendre =/2
Mais je ne comprend toujours pas à quoi sert l'homothétie!

Bonsoir,

Humm... un cercle de rayon 1...
Tout d'abord, A'B'O'D est un parallélogramme (côtés opposés parallèles par construction).
Son aire vaut le produit de la base par la hauteur mais quelquesoit la valeur de le côté [A'D] est fixe.
En effet, avec I le milieu de [OO'], d'après le théorème de Thalès (ou même celui des milieux), dans OO'D avec (A'B')//d2, on peut affirmer que A' est le milieu de [OD]. Or OA'=2OA=2 (par homothétie), donc A'D=2.
Reste donc pour maximiser l'aire à maximiser la hauteur relative à cette base.
La hauteur relative à cette base est h=d(B',d1). Puisque B décrit le cercle trigonométrique, B' décrit le cercle de centre O et de rayon 2.
Ainsi h=2sin (en considérant (OA) comme l'axe des abscisses). Cette hauteur est maximale pour sin=1 donc pour .

Conclusion: Les valeurs de sont ou encore (et l'aire maximale vaut alors 4)

Merci pour l'énigme. Bonne nuit...

il faut prendre alpha = 45°

comment ramasser un s'en s'en rendre compte : répondre trop vite et ne pas relire.
La bonne réponse est 90° et non 45
Pour y arriver : utiliser le freeware "DECLIC" (c'est comme Cabri mais en version gratuite), tracer la figure comme A'B'O'D est un parallélogramme, on observe que la base A'D est toujours la même suivantl'angle alpha, il suffit de maximiser la hauteur du parallélogramme.

Dans Déclic, tracer une hauteur AH, déterminer le lieu de H en fonction de B. On observe directement que l'angle AOB doit valoir 90° pour ôbtenir une aire maximale.

Evidemment, la méthode ci-dessus n'est pas une démonstration mathématique mais bon, on va pas chicaner (il y en a bien qui utilise Exell pour d'autres problèmes.

Et encore un pour avoir répondu trop vite. C'est le quatrième ce mois-ci

Bonjour,

A'B'O'D est un parallélogramme qui a la même aire que le losange OA'O'B, en effet elle vaut .

Mais cette aire est également égale à : .

Le maximum est donc atteint quand le sinus vaut 1, c'est à dire si =±90°.

A'B'O'D est un parallélogramme.
Il a la même aire que le losange OA'O'B' de côté 2.

Le problème revient donc à trouver α pour que l'aire de ce losange soit maximale,
ce qui donne α=90° et une aire de 4.

Par le calcul :

J'ai noté C l'intersection de OO' et A'B' (voir mon dessin)
L'aire du parallélogramme A'B'O'D  vaut S = CO'.A'B'

CO' = OC = OA' cos(α/2) = 2 cos(α/2)
A'B' = 2 CA' = 2 OA' sin(α/2) = 4 sin(α/2)

Sonc S = 4 . 2 sin(α/2) cos(α/2) = 4 sin α

S est donc maximale quand sin α = 1 donc quand α=90°

Réponse : α=90°

90 degrés

Bonjour,

Réponse proposée : alpha = 90°

Méthode proposée :

En positionnant A arbitrairement en (1, 0) => B(cosx, sinx) puis A'(2, 0) et B'(2cosx, 2sinx)

O'(a,b) est tel que OO' ortho A'B' et (a-2)²+b²=4 => O'(2(1+cosx), 2sinx)

OO' // OA' // OA

Par ailleurs O'D // A'B' => le quadrilatère est un parallélogramme de base A'D=O'B'=2 constante
et pour hauteur h = ordonnée de B' = 2sinx

la surface vaut base*hauteur => S = 4sinx qui atteint son maximum pour sinx= 1

x= 90°

Merci pour l'énigme qui a du plaire à borneo pour lui faire réviser sa trigo :
excel, ici, n'aura pas été efficace, à moins de lui faire rechercher le max de sinx...

Philoux

il faut prendre 90 degré

bonjour,
A'B'O'D est un joli parrallèlogramme.
ainsi, les aires des triangles A'O'D et A'O'B' sont égales.
avoir l'aire maxi de A'B'O'D reviens alors à avoir l'aire maxi de A'O'B'.
O' est le symétrique de O par rapport à (A'B'), ainsi avoir l'aire maxi de A'O'B' revient à avoir l'aire maxi de A'OB', ce qui revient à avoir l'aire maxi de AOB.
le problème est donc reformulé comme:
Quelle valeur de faut-il prendre pour que l'aire du triangle AOB soit maximale?

la réponse sera donc =90° car AOB est isocèle en O

merci

Bonsoir,


La réponse est 90°

merci et à plus tard

Paulo

D'après mes calculs,
l'aire du quadrilatère A'B'O'D est maximale lors que = 1/2rad soit 90°
Merci pour l'énigme...

Bonjour ,

    Je trouve que l'aire est maximale lorsque alpha=90°. Merci pour l'énigme.

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Merci à tous de votre participation à cette énigme

De rien