Le pré et la chèvre
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Le pré et la chèvre
Posté le 24-10-05 à 12:58
Posté par 
J-P J-P 
Mathieu possède un pré circulaire de 10 m de rayon. Ce pré est clôturé sur toute sa circonférence.
Mathieu a planté un piquet sur un point de la périphérie de son pré et il y a attaché sa chèvre par une corde de 5 m (la chèvre est dans le pré bien entendu
).
Quelle est l'aire en m² du pré dont la chèvre va pouvoir manger l'herbe ?
La réponse sera donnée en m² arrondie au m² le plus proche.
(On suppose que la bouche de la chèvre est au maximum à 5 m du piquet).
-----
Bonne chance à tous.
J-P J-P Mathieu possède un pré circulaire de 10 m de rayon. Ce pré est clôturé sur toute sa circonférence.
Mathieu a planté un piquet sur un point de la périphérie de son pré et il y a attaché sa chèvre par une corde de 5 m (la chèvre est dans le pré bien entendu
).Quelle est l'aire en m² du pré dont la chèvre va pouvoir manger l'herbe ?
La réponse sera donnée en m² arrondie au m² le plus proche.
(On suppose que la bouche de la chèvre est au maximum à 5 m du piquet).
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Bonne chance à tous.
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 13:42
Posté le 24-10-05 à 13:42Posté par piepalm piepalm
Soit C le cercle du pré (de centre O) et C' celui de centre le piquet O' de rayon la longueur de la corde. C et C' se coupent en deux points A et B et on a sin(O'OA/2)=1/4
donc O'OA=0,5054 rd (donc AOB=1,0107 rd) et sin(AO'B/2)=2sin(AOB/2) donc AO'B=2,6362 rd.
L'aire "broutable", est la somme des aires comprises entre arc et corde dans les cercles C et C' . Rappelons que dans un cercle de rayon r la portion entre arc et corde vue du centre sous l'angle a a pour aire r^2(a-sina)/2
Donc cette aire vaut 10^2(1,0107-0,8472)/2+5^2(2,6362-0,4842)/2=35,075 m2 arrondi à 35 m2
J'espère qu'il n'y a pas d'erreur decalcul, car je me prends beaucoup de poissons ces temps-ci!
piepalm piepalmSoit C le cercle du pré (de centre O) et C' celui de centre le piquet O' de rayon la longueur de la corde. C et C' se coupent en deux points A et B et on a sin(O'OA/2)=1/4donc O'OA=0,5054 rd (donc AOB=1,0107 rd) et sin(AO'B/2)=2sin(AOB/2) donc AO'B=2,6362 rd.
L'aire "broutable", est la somme des aires comprises entre arc et corde dans les cercles C et C' . Rappelons que dans un cercle de rayon r la portion entre arc et corde vue du centre sous l'angle a a pour aire r^2(a-sina)/2
Donc cette aire vaut 10^2(1,0107-0,8472)/2+5^2(2,6362-0,4842)/2=35,075 m2 arrondi à 35 m2
J'espère qu'il n'y a pas d'erreur decalcul, car je me prends beaucoup de poissons ces temps-ci!
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 13:50
Posté le 24-10-05 à 13:50Posté par jams (invité)
je trouve 36m2 en utilisant le calcul intégrale !
mais il y a sûrement une solution plus géométrique.
je trouve 36m2 en utilisant le calcul intégrale !mais il y a sûrement une solution plus géométrique.
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 13:59
Posté le 24-10-05 à 13:59Posté par jams (invité)
erreur de frappe c'est 35m2 par ici le poisson !!
erreur de frappe c'est 35m2 par ici le poisson !!re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 14:01
Posté le 24-10-05 à 14:01Posté par philoux (invité)
Bonjour,
réponse proposée : 35 m² par défaut
Merci pour l'énigme,
Philoux
Bonjour,réponse proposée : 35 m² par défaut
Merci pour l'énigme,
Philoux
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 14:21
Posté le 24-10-05 à 14:21Posté par Nofutur2 Nofutur2
L'aire du segment circulaire d'un cercle de rayon R et d'angle au centre 2
est égale :
S =R2(- 0,5*sin2)
De plus, en utilisant Al Khashi on trouve que , demi-angle au centre du cercle de rayon 10 est égal à 0,505 rd et que 
demi-angle au centre du cercle de rayon 5 est égal à 1,318 rd.
On a donc :
S = 102 [0,505-1/2*sin(1,010)]+ 52 [1,318-1/2*sin(2,636)] = 8,16+26,89 = 35,05 m2
S
35 m2
Nofutur2 Nofutur2L'aire du segment circulaire d'un cercle de rayon R et d'angle au centre 2 est égale :S =R2(
- 0,5*sin2)De plus, en utilisant Al Khashi on trouve que
, demi-angle au centre du cercle de rayon 10 est égal à 0,505 rd et que demi-angle au centre du cercle de rayon 5 est égal à 1,318 rd.On a donc :
S = 102 [0,505-1/2*sin(1,010)]+ 52 [1,318-1/2*sin(2,636)] = 8,16+26,89 = 35,05 m2
S
35 m2re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 15:53
Posté le 24-10-05 à 15:53Posté par astroximinus (invité)
Bonjour,
Je trouve 35 m2 . Merci pour l'énigme.
Bonjour,Je trouve 35 m2 . Merci pour l'énigme.
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 16:10
Posté le 24-10-05 à 16:10Posté par manpower manpower
Bonjour,
Petite énigme inspirée de l'hyperchèvre...
Avec les notations de la figure, on montre facilement que OD=8,75m puis DA=
.
Ensuite l'aire d'un secteur angulaire de mesure
et de rayon R vaut S=
.
Dans le triangle OAD rectangle en D,=2Arccos(\frac{7}{8}))
et dans le triangle PAD rectangle en D,=2Arccos(\frac{1}{4}))
.
Donc en décomposant l'aire à brouter en deux secteurs angulaires de rayon respectif 10 et 5 et d'angle respectif et 
,
on peut aisément calculer les deux aires S1 et S2.
On a S1=\times\frac{10^2}{2})
-2Aire(OAD)
et S2=\times\frac{5^2}{2})
-2Aire(PAD).
Ainsi, l'aire S cherchée vaut S=S1+S2=)
-)
-2Aire(AOP).
Finalement S=-25Arccos(\frac{1}{4})-10\sqrt{23,4375})
Conclusion: La chèvre pourra s'empiffrer environ
.
Merci pour l'énigme.
PS: Autre méthode plus "brute force" : Calculer l'intégrale de surface\cup((x-10)^2+y^2 \le 5^2)} dxdy)
... 
manpower manpowerBonjour,Petite énigme inspirée de l'hyperchèvre...
Avec les notations de la figure, on montre facilement que OD=8,75m puis DA=
Ensuite l'aire d'un secteur angulaire de mesure
Dans le triangle OAD rectangle en D,
et dans le triangle PAD rectangle en D,
Donc en décomposant l'aire à brouter en deux secteurs angulaires de rayon respectif 10 et 5 et d'angle respectif
on peut aisément calculer les deux aires S1 et S2.
On a S1=
et S2=
Ainsi, l'aire S cherchée vaut S=S1+S2=
Finalement S=
Conclusion: La chèvre pourra s'empiffrer environ
Merci pour l'énigme.
PS: Autre méthode plus "brute force" : Calculer l'intégrale de surface
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 16:39
Posté le 24-10-05 à 16:39Posté par zackary0 (invité)
Soit 
le point où est planté le piquet, 
le centre du cercle, 
et 
les points d'intersection du cercle de centre et 
avec le cercle de centre et 
Si
est le point diamétralement opposé à , alors 
est rectangle en ; tu peux donc calculer l'angle 
puis l'aire du secteur circulaire 
Le triangle
est isocèle en ; On peux, en considérant la médiatrice issue de , calculer l'angle 
puis l'aire du secteur circulaire 
On peux également calculer aisément l'aire du triangle...
Avec ces trois aires, on obtient facilement le résultat :
L'aire qu'elle peut brouter est de :
Soit Si
Le triangle
On peux également calculer aisément l'aire du triangle
Avec ces trois aires, on obtient facilement le résultat :
L'aire qu'elle peut brouter est de :
Réponse proposé : 35 m² Posté le 24-10-05 à 18:01
Posté le 24-10-05 à 18:01Posté par Oxygen_o2 (invité)
Voilà j'espère ne pas m'être trompé :
La chèvre peut manger une surface de 35m² d'herbe
Merci pour l'énigme
Voilà j'espère ne pas m'être trompé :La chèvre peut manger une surface de 35m² d'herbe
Merci pour l'énigme
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 19:11
Posté le 24-10-05 à 19:11Posté par jugo jugo
Sur mon dessin :
BD = 2,5m
AB = 10m
Alors :
AD² = 10² - 2,5² = 93,75
cos (DBA) = 2,5/10 = 0,25
sin (BAD) = 2,5/10 = 0,25
L'aire grise vaut donc Ag = Π .5² . Arccos(0,25) / 2Π
Et l'aire bleue vaut : Ab = Π .10² . 2Arcsin(0,25) / 2Π - 5.√93.75 / 2
Ag = 16,47645 m² env.
Ab = 1,06188 m² env.
L'aire cherchée vaut donc 2.(Ag+Ab) = 35,077 m² env.
En arrondissant au m² le plus proche :
Réponse : 35 m²
jugo jugoSur mon dessin :BD = 2,5m
AB = 10m
Alors :
AD² = 10² - 2,5² = 93,75
cos (DBA) = 2,5/10 = 0,25
sin (BAD) = 2,5/10 = 0,25
L'aire grise vaut donc Ag = Π .5² . Arccos(0,25) / 2Π
Et l'aire bleue vaut : Ab = Π .10² . 2Arcsin(0,25) / 2Π - 5.√93.75 / 2
Ag = 16,47645 m² env.
Ab = 1,06188 m² env.
L'aire cherchée vaut donc 2.(Ag+Ab) = 35,077 m² env.
En arrondissant au m² le plus proche :
Réponse : 35 m²
re : Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 19:14
Posté le 24-10-05 à 19:14Posté par sof (invité)
en prenant 3,14 pour valeur approchée de pi ,
je trouve 12m2
en prenant 3,14 pour valeur approchée de pi ,je trouve 12m2
re: Le pré et la chèvre Posté le 24-10-05 à 21:51
Posté le 24-10-05 à 21:51Posté par levrainico (invité)
bonjour,
je trouve environ 35.2 m²
ma réponse sera 35 m²
désolé de ne pas trop développer, je n'ai pas trop le temps
bonjour,je trouve environ 35.2 m²
ma réponse sera 35 m²
désolé de ne pas trop développer, je n'ai pas trop le temps
re : Le pré et la chèvre Posté le 25-10-05 à 11:06
Posté le 25-10-05 à 11:06Posté par jacques1313 jacques1313
Il y a peut-être plus simple, mais j'ai fait des intégrales...
Soit r = 5 m.
L'équation du petit demi-cercle est :
.
Et celle du grand demi-cercle :^{2}-x^{2}}+2 r)
.
Le point d'intersection de ces deux courbes est :)
.
Donc l'aire demandée vaut donc : 2^{2}-x^{2}}-2 r\quad \textrm{d}x)
.
Je vous passe les calculs rébarbatifs..., ça fait :+4\arcsin\(\frac{\sqrt{15}}{8}\)\)r^{2}\simeq )
35 m².
jacques1313 jacques1313Il y a peut-être plus simple, mais j'ai fait des intégrales...Soit r = 5 m.
L'équation du petit demi-cercle est :
Et celle du grand demi-cercle :
Le point d'intersection de ces deux courbes est :
Donc l'aire demandée vaut donc : 2
Je vous passe les calculs rébarbatifs..., ça fait :
re : Le pré et la chèvre Posté le 25-10-05 à 11:37
Posté le 25-10-05 à 11:37Posté par zackary0 (invité)
}!)
Procéder en déterminant d'abord la mesure du secteur angulaire correspondant à cette zone , puis sa superficie (dans le cercle de rayon 10 m) ;
Retrancher à cette superficie celle du triangle inscrit (isocèle de côtés égaux au rayon R)
Il reste alors la superficie délimitée entre la corde et l'arc de cercle de ce secteur angulaire...
Puis faire de même dans l'autre cercle de rayon R = 5m...
Additionner les deux résultats.
Procéder en déterminant d'abord la mesure du secteur angulaire correspondant à cette zone , puis sa superficie (dans le cercle de rayon 10 m) ;
Retrancher à cette superficie celle du triangle inscrit (isocèle de côtés égaux au rayon R)
Il reste alors la superficie délimitée entre la corde et l'arc de cercle de ce secteur angulaire...
Puis faire de même dans l'autre cercle de rayon R = 5m...
Additionner les deux résultats.
re : Le pré et la chèvre Posté le 25-10-05 à 21:56
Posté le 25-10-05 à 21:56Posté par langenoir (invité)
Ma réponse est 25
m² dont l'arrondie au m² le plus proche est 79.
Ma réponse est 25m² dont l'arrondie au m² le plus proche est 79.re : Le pré et la chèvre Posté le 26-10-05 à 07:35
Posté le 26-10-05 à 07:35Posté par hervé (invité)
A = (5pi/360)(4arcsin((racine375)/40)+arcsin((racine375)/20))-5(racine375)/2
Soit 35 m².
A = (5pi/360)(4arcsin((racine375)/40)+arcsin((racine375)/20))-5(racine375)/2Soit 35 m².
re : Le pré et la chèvre Posté le 26-10-05 à 12:01
Posté le 26-10-05 à 12:01Posté par pietro (invité)
Je trouve que l'aire vaut 35,076... m2
Donc, je réponds :
Je trouve que l'aire vaut 35,076... m2Donc, je réponds :
re : Le pré et la chèvre Posté le 26-10-05 à 15:40
Posté le 26-10-05 à 15:40Posté par pansyparkinson (invité)
La chèvre pourra broûter 40 m² du champs.
La chèvre pourra broûter 40 m² du champs.re : Le pré et la chèvre Posté le 27-10-05 à 10:41
Posté le 27-10-05 à 10:41Posté par J-P J-P
Enigme clôturée.
Petit rappel: Seule la première réponse d'un participant est prise en compte pour l'attribution des
ou 
J-P J-P Enigme clôturée.
Petit rappel: Seule la première réponse d'un participant est prise en compte pour l'attribution des
ou re : Le pré et la chèvre Posté le 27-10-05 à 13:43
Posté le 27-10-05 à 13:43Posté par borneo borneo
un petit conseil à ceux qui sont tombés loin du bon résultat : pour ce genre d'énigme, on peut assez facilement vérifier l'ordre de grandeur. On trace la figure avec une échelle correcte (les données chiffrées facilitaient la chose) et on se rend compte que la chèvre aura à peu près la moitié du petit disque à brouter. On calcule son aire qui fait 5*5* c'est à dire à peu près 70. Dont 35 est la moitié.
ps une petite biographie d'Al Kashi grâce à qui j'ai trouvé la bonne réponse
Originaire de Kachan, en Iran, d'où son nom, il fut astronome à Samarcande, en Ouzbékistan. Un des plus grands mathématiciens de l'époque. On ne connaît que l'année approximative de sa mort : 1436 ou 1439. Dans son principal traité (Maqalat Gamshid), il développa l'usage des nombres sexagésimaux (système de numération en base 60 qu'utilisaient les astronomes Babyloniens), du calcul trigonométrique, mais aussi des fractions décimales : on lui doit ce terme dans le calcul de π qu'il fit en base 60 afin d'être mieux compris par ses contemporains.
Al-Kashi définit le dixième de l'unité, puis les dixièmes du second ordre (centièmes), etc. Il fut ainsi, avant Stevin en occident, le premier à exprimer des calculs complexes aux moyen des nombres indiens (calculs décimaux) dans sa Clé de l'arithmétique (Miftah al hisab, 1427). S'inspirant de son illustre ancêtre et confrère At-Tusi, il y traite également des racines n-èmes d'un nombre en apportant des formules de calcul approché.
borneo borneoun petit conseil à ceux qui sont tombés loin du bon résultat : pour ce genre d'énigme, on peut assez facilement vérifier l'ordre de grandeur. On trace la figure avec une échelle correcte (les données chiffrées facilitaient la chose) et on se rend compte que la chèvre aura à peu près la moitié du petit disque à brouter. On calcule son aire qui fait 5*5* c'est à dire à peu près 70. Dont 35 est la moitié.ps une petite biographie d'Al Kashi grâce à qui j'ai trouvé la bonne réponse
Originaire de Kachan, en Iran, d'où son nom, il fut astronome à Samarcande, en Ouzbékistan. Un des plus grands mathématiciens de l'époque. On ne connaît que l'année approximative de sa mort : 1436 ou 1439. Dans son principal traité (Maqalat Gamshid), il développa l'usage des nombres sexagésimaux (système de numération en base 60 qu'utilisaient les astronomes Babyloniens), du calcul trigonométrique, mais aussi des fractions décimales : on lui doit ce terme dans le calcul de π qu'il fit en base 60 afin d'être mieux compris par ses contemporains.
Al-Kashi définit le dixième de l'unité, puis les dixièmes du second ordre (centièmes), etc. Il fut ainsi, avant Stevin en occident, le premier à exprimer des calculs complexes aux moyen des nombres indiens (calculs décimaux) dans sa Clé de l'arithmétique (Miftah al hisab, 1427). S'inspirant de son illustre ancêtre et confrère At-Tusi, il y traite également des racines n-èmes d'un nombre en apportant des formules de calcul approché.
re : Le pré et la chèvre Posté le 27-10-05 à 20:17
Posté le 27-10-05 à 20:17Posté par zackary0 (invité)
Je savais la réponse, j'ai mis 15m² au lieu de 35m².
Faute de frappe ! ça m'énerve ...
Je savais la réponse, j'ai mis 15m² au lieu de 35m².Faute de frappe ! ça m'énerve ...
re : Le pré et la chèvre Posté le 27-10-05 à 20:57
Posté le 27-10-05 à 20:57Posté par infophile infophile
>> borneo
Pourrais-tu mettre ton développement s'il te plait? Tous les autres ont utilisés des trucs qui ne sont pas a mon programme
infophile infophile>> borneo
Pourrais-tu mettre ton développement s'il te plait? Tous les autres ont utilisés des trucs qui ne sont pas a mon programme
re : Le pré et la chèvre Posté le 27-10-05 à 21:34
Posté le 27-10-05 à 21:34Posté par borneo borneo
Oui, je vais récupérer mon fichier excel (je ne sais plus calculer à la main) sur l'autre ordi et je te l'écris.
borneo borneoOui, je vais récupérer mon fichier excel (je ne sais plus calculer à la main) sur l'autre ordi et je te l'écris. re : Le pré et la chèvre Posté le 27-10-05 à 22:04
Posté le 27-10-05 à 22:04Posté par borneo borneo
Bon, j'ai piqué une figure comme celle que j'ai faite à la main... ça tombe bien car j'ai jeté mes brouillons.
D'abord je calcule l'angle avec Al Kashi (qui n'est pas à mon programme, mais j'ai quelques Mémobacs de S). C'est facile car je connais OA et OP (10m) et AP (5m) donc la formule d'Al Kashi me donne cos, excel me donne en radians grâce à la fonction ACOS et me donne des degrés avec la formule DEGRES.
Ensuite je cherche AB toujours avec Al Kashi et le triangle OAB.
Puis je cherche l'aire de la portion du disque comprise dans 2 avec la formule r2*2/360
Je calcule l'aire du triangle OAB et par différence je trouve la partie verte.
Je fais le même raisonnement pour la partie beige dans le petit cercle et j'additionne les deux.
L'avantage de faire tous les calculs sur une feuille excel, c'est qu'il n'y a pas d'arrondi.
Bref, sans Al Kashi, je n'y serais pas arrivée. D'où mon petit hommage à ce grand mathématicien.
borneo borneoBon, j'ai piqué une figure comme celle que j'ai faite à la main... ça tombe bien car j'ai jeté mes brouillons.D'abord je calcule l'angle
avec Al Kashi (qui n'est pas à mon programme, mais j'ai quelques Mémobacs de S). C'est facile car je connais OA et OP (10m) et AP (5m) donc la formule d'Al Kashi me donne cos, excel me donne en radians grâce à la fonction ACOS et me donne des degrés avec la formule DEGRES.Ensuite je cherche AB toujours avec Al Kashi et le triangle OAB.
Puis je cherche l'aire de la portion du disque comprise dans 2
avec la formule r2*2/360Je calcule l'aire du triangle OAB et par différence je trouve la partie verte.
Je fais le même raisonnement pour la partie beige dans le petit cercle et j'additionne les deux.
L'avantage de faire tous les calculs sur une feuille excel, c'est qu'il n'y a pas d'arrondi.
Bref, sans Al Kashi, je n'y serais pas arrivée. D'où mon petit hommage à ce grand mathématicien.
Message pour RIWANE Posté le 28-10-05 à 10:14
Posté le 28-10-05 à 10:14Posté par philoux (invité)
riwane,
il n'est pas nécessaire de répondre aux énigmes quand elles sont résolues...
En revanche, celles en cours tu peux répondre : seule ta première réponse sera prise en compte pour l'attribution d'un ou
lis le mode d'emploi et/ou la FAQ du/des forum
Philoux
*** message déplacé ***
riwane,il n'est pas nécessaire de répondre aux énigmes quand elles sont résolues...
En revanche, celles en cours tu peux répondre : seule ta première réponse sera prise en compte pour l'attribution d'un
ou lis le mode d'emploi et/ou la FAQ du/des forum
Philoux
*** message déplacé ***
Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 2070,00 %30,00 %
Temps de réponse moyen : 12:17:00.
Nombre de participations : 20
70,00 %30,00 %14 
6
6Temps de réponse moyen : 12:17:00.
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