34m²

Soit C le cercle du pré (de centre O) et C' celui de centre le piquet O' de rayon la longueur de la corde. C et C' se coupent en deux points A et B et on a sin(O'OA/2)=1/4
donc O'OA=0,5054 rd  (donc AOB=1,0107 rd) et sin(AO'B/2)=2sin(AOB/2) donc AO'B=2,6362 rd.
L'aire "broutable", est la somme des aires comprises entre arc et corde dans les cercles C et C' . Rappelons que dans un cercle de rayon r la portion entre arc et corde vue du centre sous l'angle a a pour aire r^2(a-sina)/2
Donc cette aire vaut 10^2(1,0107-0,8472)/2+5^2(2,6362-0,4842)/2=35,075 m2 arrondi à 35 m2
J'espère qu'il n'y a pas d'erreur decalcul, car je me prends beaucoup de poissons ces temps-ci!

35

je trouve 36m² en utilisant le calcul intégrale !
mais il y a sûrement une solution plus géométrique.

erreur de frappe c'est 35m² par ici le poisson !!

Bonjour,

réponse proposée : 35 m² par défaut

Merci pour l'énigme,

Philoux

35m²

L'aire du segment circulaire d'un cercle de rayon R et d'angle au centre 2 est égale :
S =R²(- 0,5*sin2)
De plus, en utilisant Al Khashi on trouve que , demi-angle au centre du cercle de rayon 10 est égal à 0,505 rd et que demi-angle au centre du cercle de rayon 5 est égal à 1,318 rd.
On a donc :
S = 10² [0,505-1/2*sin(1,010)]+ 5² [1,318-1/2*sin(2,636)] = 8,16+26,89 = 35,05 m²
S35 m²

Bonjour,

   Je trouve 35 m² . Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Petite énigme inspirée de l'hyperchèvre...
Avec les notations de la figure, on montre facilement que OD=8,75m puis DA=.
Ensuite l'aire d'un secteur angulaire de mesure et de rayon R vaut S=.
Dans le triangle OAD rectangle en D,
et dans le triangle PAD rectangle en D, .
Donc en décomposant l'aire à brouter en deux secteurs angulaires de rayon respectif 10 et 5 et d'angle respectif et ,
on peut aisément calculer les deux aires S1 et S2.
On a S1=-2Aire(OAD)
  et  S2=-2Aire(PAD).
Ainsi, l'aire S cherchée vaut S=S1+S2=--2Aire(AOP).
Finalement S=

Conclusion: La chèvre pourra s'empiffrer environ .

Merci pour l'énigme.

PS: Autre méthode plus "brute force" : Calculer l'intégrale de surface ...

J'oubliais...

J'oubliais...

_(l'orgie)

Bref....

Soit le point où est planté le piquet, le centre du cercle, et les points d'intersection du cercle de centre et avec le cercle de centre et
Si est le point diamétralement opposé à , alors est rectangle en ; tu peux donc calculer l'angle puis l'aire du secteur circulaire
Le triangle est isocèle en ; On peux, en considérant la médiatrice issue de , calculer l'angle puis l'aire du secteur circulaire
On peux également calculer aisément l'aire du triangle ...
Avec ces trois aires, on obtient facilement le résultat :

L'aire qu'elle peut brouter est de :

Non, pardon :

Voilà j'espère ne pas m'être trompé :

La chèvre peut manger une surface de 35m² d'herbe

Merci pour l'énigme

Sur mon dessin :

BD = 2,5m
AB = 10m

Alors :
AD² = 10² - 2,5² = 93,75
cos (DBA) = 2,5/10 = 0,25
sin (BAD) = 2,5/10 = 0,25

L'aire grise vaut donc  Ag = Π .5² . Arccos(0,25) / 2Π
Et l'aire bleue vaut : Ab = Π .10² . 2Arcsin(0,25) / 2Π - 5.√93.75 / 2

Ag = 16,47645 m² env.
Ab = 1,06188 m² env.

L'aire cherchée vaut donc 2.(Ag+Ab) = 35,077 m² env.

En arrondissant au m² le plus proche :

Réponse : 35 m²

en prenant 3,14 pour valeur approchée de pi ,
je trouve 12m²

35 m² pour la chèvre

merci Al Kashi
merci pour l'énigme

la surface du pré dont la chèvre va pouvoir manger l'herbe est 35 m²

bonjour,
je trouve environ 35.2 m²
ma réponse sera 35 m²
désolé de ne pas trop développer, je n'ai pas trop le temps

Il y a peut-être plus simple, mais j'ai fait des intégrales...

Soit r = 5 m.

L'équation du petit demi-cercle est : .
Et celle du grand demi-cercle : .

Le point d'intersection de ces deux courbes est : .

Donc l'aire demandée vaut donc : 2.

Je vous passe les calculs rébarbatifs..., ça fait : 35 m².

Procéder en déterminant d'abord la mesure du secteur angulaire correspondant à cette zone , puis sa superficie (dans le cercle de rayon 10 m) ;
Retrancher à cette superficie celle du triangle inscrit (isocèle de côtés égaux au rayon R)

Il reste alors la superficie délimitée entre la corde et l'arc de cercle de ce secteur angulaire...

Puis faire de même dans l'autre cercle de rayon R = 5m...

Additionner les deux résultats.

Ma réponse est 25m² dont l'arrondie au m² le plus proche est 79.

A = (5pi/360)(4arcsin((racine375)/40)+arcsin((racine375)/20))-5(racine375)/2
Soit 35 m².

Je trouve que l'aire vaut 35,076... m²

Donc, je réponds :

La chèvre pourra broûter 40 m² du champs.

Enigme clôturée.

Petit rappel: Seule la première réponse d'un participant est prise en compte pour l'attribution des ou

un petit conseil à ceux qui sont tombés loin du bon résultat : pour ce genre d'énigme, on peut assez facilement vérifier l'ordre de grandeur. On trace la figure avec une échelle correcte (les données chiffrées facilitaient la chose) et on se rend compte que la chèvre aura à peu près la moitié du petit disque à brouter. On calcule son aire qui fait 5*5* c'est à dire à peu près 70. Dont 35 est la moitié.

ps une petite biographie d'Al Kashi grâce à qui j'ai trouvé la bonne réponse

Originaire de Kachan, en Iran, d'où son nom, il fut astronome à Samarcande, en Ouzbékistan. Un des plus grands mathématiciens de l'époque. On ne connaît que l'année approximative de sa mort : 1436 ou 1439. Dans son principal traité (Maqalat Gamshid), il développa l'usage des nombres sexagésimaux (système de numération en base 60 qu'utilisaient les astronomes Babyloniens), du calcul trigonométrique, mais aussi des fractions décimales : on lui doit ce terme dans le calcul de π qu'il fit en base 60 afin d'être mieux compris par ses contemporains.

Al-Kashi définit le dixième de l'unité, puis les dixièmes du second ordre (centièmes), etc. Il fut ainsi, avant Stevin en occident, le premier à exprimer des calculs complexes aux moyen des nombres indiens (calculs décimaux) dans sa Clé de l'arithmétique (Miftah al hisab, 1427). S'inspirant de son illustre ancêtre et confrère At-Tusi, il y traite également des racines n-èmes d'un nombre en apportant des formules de calcul approché.

Je savais la réponse, j'ai mis 15m² au lieu de 35m².
Faute de frappe ! ça m'énerve ...

>> borneo

Pourrais-tu mettre ton développement s'il te plait? Tous les autres ont utilisés des trucs qui ne sont pas a mon programme

Oui, je vais récupérer mon fichier excel (je ne sais plus calculer à la main) sur l'autre ordi et je te l'écris.

Bon, j'ai piqué une figure comme celle que j'ai faite à la main... ça tombe bien car j'ai jeté mes brouillons.
D'abord je calcule l'angle avec Al Kashi (qui n'est pas à mon programme, mais j'ai quelques Mémobacs de S). C'est facile car je connais OA et OP (10m) et AP (5m) donc la formule d'Al Kashi me donne cos, excel me donne en radians grâce à la fonction ACOS et me donne des degrés avec la formule DEGRES.

Ensuite je cherche AB toujours avec Al Kashi et le triangle OAB.

Puis je cherche l'aire de la portion du disque comprise dans 2 avec la formule r²*2/360

Je calcule l'aire du triangle OAB et par différence je trouve la partie verte.

Je fais le même raisonnement pour la partie beige dans le petit cercle et j'additionne les deux.
L'avantage de faire tous les calculs sur une feuille excel, c'est qu'il n'y a pas d'arrondi.
Bref, sans Al Kashi, je n'y serais pas arrivée. D'où mon petit hommage à ce grand mathématicien.

35,05 = 35 m carre

riwane,

il n'est pas nécessaire de répondre aux énigmes quand elles sont résolues...

En revanche, celles en cours tu peux répondre : seule ta première réponse sera prise en compte pour l'attribution d'un ou

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Philoux



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Je m'étais posée la question

Pookette

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