Challenge n°123
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Challenge n°123
Posté le 25-10-05 à 11:11
Posté par 
puisea puisea 
Bonjour,
Pour quelles valeurs de n, la division de 2002n par 19 a pour reste 1 ?
Bonne chance à tous
puisea puisea Bonjour,
Pour quelles valeurs de n, la division de 2002n par 19 a pour reste 1 ?
Bonne chance à tous
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 11:19
Posté le 25-10-05 à 11:19Posté par philoux (invité)
Bonjour
Réponse proposée : n est un multiple de 3 car 2002^3=1 (19)
Merci pour l'énigme,
Philoux
BonjourRéponse proposée : n est un multiple de 3 car 2002^3=1 (19)
Merci pour l'énigme,
Philoux
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 11:56
Posté le 25-10-05 à 11:56Posté par lyonnais lyonnais
salut puisea :
Pour :
n = 0
n = 3
n = 6
n = 9 ...
Soit en fait pour n = 3k avec k appartenant à N
A+ sur l'
romain
lyonnais lyonnaissalut puisea :Pour :
n = 0
n = 3
n = 6
n = 9 ...
Soit en fait pour n = 3k avec k appartenant à N
A+ sur l'
romain
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 12:02
Posté le 25-10-05 à 12:02Posté par Nofutur2 Nofutur2
2002 est congru à 7 modulo 19 (2002 = 19*105 + 7)
20022 est congru à 49 qui est congru à 11 modulo 19.
20023 est congru à 11*7 qui est congru à 1 modulo 19.
(20023)k= 20023k est donc congru à 1 modulo 19.
La division de 2002n par 19 a pour reste 1, si n est multiple de 3 (n
).
Exemple : 20023 = (422317053*19)+1
Nofutur2 Nofutur22002 est congru à 7 modulo 19 (2002 = 19*105 + 7)20022 est congru à 49 qui est congru à 11 modulo 19.
20023 est congru à 11*7 qui est congru à 1 modulo 19.
(20023)k= 20023k est donc congru à 1 modulo 19.
La division de 2002n par 19 a pour reste 1, si n est multiple de 3 (n
).Exemple : 20023 = (422317053*19)+1
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 12:14
Posté le 25-10-05 à 12:14Posté par manpower manpower
Bonjour,
donc![2002^n=(105\times 19+7)^n\equiv 7^n [19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2002^n=(105\times 19+7)^n\equiv 7^n [19])
![7^2=49\equiv 11 [19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?7^2=49\equiv 11 [19])
![7^3=343\equiv 1 [19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?7^3=343\equiv 1 [19])
Ainsi, par cyclicité, pour tout entier naturel k,
![\red 7^{3k}\equiv 1 [19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\red 7^{3k}\equiv 1 [19])
![7^{3k+1}\equiv 7 [19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?7^{3k+1}\equiv 7 [19])
![7^{3k+2}\equiv 11 [19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?7^{3k+2}\equiv 11 [19])
Conclusion: Pour tout entier naturel n
(ou de la forme n=3k où 
), le reste de la division de 
par 19 vaut 1.
( donc 0,3,6,9... )
Merci pour l'énigme.
manpower manpowerBonjour,donc
Ainsi, par cyclicité, pour tout entier naturel k,
Conclusion: Pour tout entier naturel n
( donc 0,3,6,9... )
Merci pour l'énigme.
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 12:15
Posté le 25-10-05 à 12:15Posté par piepalm piepalm
2002=7 (mod19) et 7^3=1 (mod 19) donc pour tout n=3k avec k entier naturel
2002^(3k) a pour reste 1 dans la division par 19
piepalm piepalm2002=7 (mod19) et 7^3=1 (mod 19) donc pour tout n=3k avec k entier naturel2002^(3k) a pour reste 1 dans la division par 19
Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 12:21
Posté le 25-10-05 à 12:21Posté par Scipion (invité)
Bonjour !
la division de 2002n par 19 a pour reste 1 losrque n est un multiple de 3.
En espérant ne pas écrire nimporte quoi...
Bonjour !la division de 2002n par 19 a pour reste 1 losrque n est un multiple de 3.
En espérant ne pas écrire nimporte quoi...
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 15:12
Posté le 25-10-05 à 15:12Posté par borneo borneo
Bonjour
les valeurs de n sont 3, 6, 9..... bref les multiples de 3
je viens de me taper le mémobac de ma fille sur les congruences (terminale S spé maths), vu qu'elle ne pouvait pas m'aider... (elle est en prépa hec, pas maths) et maintenant que j'ai trouvé, elle me dit "ah oui, j'ai eu ça au bac !!!!"
mais pour une étoile, je trouve ça corsé
borneo borneoBonjourles valeurs de n sont 3, 6, 9..... bref les multiples de 3
je viens de me taper le mémobac de ma fille sur les congruences (terminale S spé maths), vu qu'elle ne pouvait pas m'aider... (elle est en prépa hec, pas maths) et maintenant que j'ai trouvé, elle me dit "ah oui, j'ai eu ça au bac !!!!"
mais pour une étoile, je trouve ça corsé
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 15:51
Posté le 25-10-05 à 15:51Posté par astroximinus (invité)
Bonjour,
Je trouve que n=3k k appartenant aux naturels . Merci pour l'énigme.
Bonjour,Je trouve que n=3k k appartenant aux naturels . Merci pour l'énigme.
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 16:18
Posté le 25-10-05 à 16:18Posté par olive (invité)
je dirai n = 3.k où k est un nombre naturels
donc : n = 0 ou 3 ou 6 ou 9 ou 12 ou ...
je dirai n = 3.k où k est un nombre naturels
donc : n = 0 ou 3 ou 6 ou 9 ou 12 ou ...
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 19:39
Posté le 25-10-05 à 19:39Posté par jams (invité)
si n=3k ( k*) le reste de la division de 2002n par 19 est 1.
Donc si n est divisible par 3 !
si n=3k ( k*) le reste de la division de 2002n par 19 est 1.Donc si n est divisible par 3 !
re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 22:25
Posté le 25-10-05 à 22:25Posté par riwane (invité)
2002 puissance x diviser reste 19 = 0 reste 1
2002 puissance x diviser reste 19 = 0 reste 1re : Challenge n°123 Posté le 25-10-05 à 22:45
Posté le 25-10-05 à 22:45Posté par zackary0 (invité)
![2002\equiv 7[19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2002\equiv 7[19])
, donc ![2002^n\equiv 7^n[19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2002^n\equiv 7^n[19])
Or,![7^3\equiv 1[19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?7^3\equiv 1[19])
, on en déduit que ![2002^n\equiv 1[19]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2002^n\equiv 1[19])
si 
est un multiple de 
.
Or,
re : Challenge n°123 Posté le 26-10-05 à 08:53
Posté le 26-10-05 à 08:53Posté par jugo jugo
Bonjour,
2002n = (105*19 + 7)n
Si on développe cette expression, tous les termes sauf le dernier seront multiples de 19. On peut donc écrire :
2002n = 19.k + 7n avec k entier
Il s'agit donc de trouver pour quelles valeurs de n la division de 7n par 19 a pour reste 1.
J'ai essayé avec 70, 71, 72, 73 etc et je me suis rendu compte qu'il faut avoir n = 3k avec k entier, ce qui se démontre facilement par récurrence.
Réponse : n = 3k , k entier positif ou nul
jugo jugoBonjour,2002n = (105*19 + 7)n
Si on développe cette expression, tous les termes sauf le dernier seront multiples de 19. On peut donc écrire :
2002n = 19.k + 7n avec k entier
Il s'agit donc de trouver pour quelles valeurs de n la division de 7n par 19 a pour reste 1.
J'ai essayé avec 70, 71, 72, 73 etc et je me suis rendu compte qu'il faut avoir n = 3k avec k entier, ce qui se démontre facilement par récurrence.
Réponse : n = 3k , k entier positif ou nul
re : Challenge n°123 Posté le 26-10-05 à 14:10
Posté le 26-10-05 à 14:10Posté par pluriell (invité)
Dans la division de 2002^n par 19, seules les valeurs de n étant des multiples de 3, permettent d'obtenir un reste de 1.
Dans la division de 2002^n par 19, seules les valeurs de n étant des multiples de 3, permettent d'obtenir un reste de 1.re: Challenge n°123 Posté le 26-10-05 à 21:56
Posté le 26-10-05 à 21:56Posté par levrainico (invité)
bonsoir,
je dirais que si n est multiple de 3, on a un reste qui vaut 1
voila
A+
bonsoir,je dirais que si n est multiple de 3, on a un reste qui vaut 1
voila
A+
sss Posté le 26-10-05 à 23:29
Posté le 26-10-05 à 23:29Posté par aris20 (invité)
la division de 2002^n par 19 a pour reste 1 pour tout n tel que n=3b avec b un nombre entier naturel différent de 0
la division de 2002^n par 19 a pour reste 1 pour tout n tel que n=3b avec b un nombre entier naturel différent de 0division Posté le 27-10-05 à 08:44
Posté le 27-10-05 à 08:44Posté par hervé (invité)
n peut prendre toutes les valeurs des termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 18
n peut prendre toutes les valeurs des termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 18re : Challenge n°123 Posté le 27-10-05 à 10:54
Posté le 27-10-05 à 10:54Posté par Belenos (invité)
Coucou,
La solution est l'ensemble S={![n\in\mathbb{N},n\equiv O[3]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?n\in\mathbb{N},n\equiv O[3] )
}.
Coucou,La solution est l'ensemble S={
re : Challenge n°123 Posté le 27-10-05 à 13:35
Posté le 27-10-05 à 13:35Posté par Babou14 (invité)
Modulo
, 
donc
Calculons les puissances successives de 7 modulo 19:
Donc est congru à 
modulo ssi 
Modulo
Calculons les puissances successives de 7 modulo 19:
Donc
re : Challenge n°123 Posté le 27-10-05 à 14:43
Posté le 27-10-05 à 14:43Posté par draluom (invité)
Les solutions de n sont :
n=3k avec k*
Les solutions de n sont :n=3k avec k
*Challenge n°123 Posté le 28-10-05 à 11:16
Posté le 28-10-05 à 11:16Posté par Cetman (invité)
Bonjour,
Si n 
,
Voici mon résultat :
n = ln(19*p+1) / ln(2002) avec p entier positif
Sans grande conviction,
Cetman
Bonjour,Si n
,Voici mon résultat :
n = ln(19*p+1) / ln(2002) avec p entier positif
Sans grande conviction,
Cetman
re : Challenge n°123 Posté le 29-10-05 à 11:06
Posté le 29-10-05 à 11:06Posté par Toinou_88 (invité)
Bonjour,
il faut que n soit un multiple de 3.
Bonjour,il faut que n soit un multiple de 3.
re : Challenge n°123 Posté le 30-10-05 à 00:45
Posté le 30-10-05 à 00:45Posté par Bcracker Bcracker
La division de 2002n par 19 a pour reste 1 lorsque
la valeur de n est comprise entre 0 et 6.10-10 inclus
C'est-à-dire lorsque 0
n 6.10-10
Bcracker BcrackerLa division de 2002n par 19 a pour reste 1 lorsquela valeur de n est comprise entre 0 et 6.10-10 inclus
C'est-à-dire lorsque 0
re : Challenge n°123 Posté le 30-10-05 à 17:30
Posté le 30-10-05 à 17:30Posté par puisea puisea
Merci à tous de votre participation à cette énigme !
Principale erreur et réponses trop litigieuses pour avoir un smiley :
dire par exemple n = 3k sans préciser k
oublier de mettre 0 qui est une solution...
Donc quelques réponses très limites sur lesquelles on a réfléchi pour attribuer ou pas le smiley.
puisea puisea Merci à tous de votre participation à cette énigme !
Principale erreur et réponses trop litigieuses pour avoir un smiley :
dire par exemple n = 3k sans préciser k
oublier de mettre 0 qui est une solution...
Donc quelques réponses très limites sur lesquelles on a réfléchi pour attribuer ou pas le smiley.
challenge 123 Posté le 30-10-05 à 18:27
Posté le 30-10-05 à 18:27Posté par goupi1 (invité)
A puisea,
je ne suis pas d'accord de recevoir un poisson pour 3k car il n'est pas interdit à k de valoir 0 mais c'est pas moi qui décide...
A puisea,je ne suis pas d'accord de recevoir un poisson pour 3k car il n'est pas interdit à k de valoir 0 mais c'est pas moi qui décide...
challenge 123 Posté le 30-10-05 à 18:48
Posté le 30-10-05 à 18:48Posté par goupi1 (invité)
Je m'excuse d'insister mais j'ai consulté les réponses. Parmi les "bonnes réponses" très peu ont mis explicitement 0. J'ai compté 14 réponses plus une fausse (excuse moi borneo je ne t'en veux pas).
Je mets donc un poisson au correcteur. Et toc !
Je m'excuse d'insister mais j'ai consulté les réponses. Parmi les "bonnes réponses" très peu ont mis explicitement 0. J'ai compté 14 réponses plus une fausse (excuse moi borneo je ne t'en veux pas).Je mets donc un poisson au correcteur. Et toc !
re : Challenge n°123 Posté le 31-10-05 à 00:49
Posté le 31-10-05 à 00:49Posté par borneo borneo
M'enfin... pourquoi ma réponse serait fausse, alors que j'ai répondu (comme la plupart des gens) "les multiples de 3" ?
Je pense que le correcteur a éliminé les gens qui ont explicitement exclu 0 c'est à dire qui ont répondu n = 3k avec k*
borneo borneoM'enfin... pourquoi ma réponse serait fausse, alors que j'ai répondu (comme la plupart des gens) "les multiples de 3" ?Je pense que le correcteur a éliminé les gens qui ont explicitement exclu 0 c'est à dire qui ont répondu n = 3k avec k
*re : Challenge n°123 Posté le 31-10-05 à 08:59
Posté le 31-10-05 à 08:59Posté par sebmusik sebmusik
je pense qu'il fallait ecrire quelque chose dans ce genre :
--> quand n est un entier naturel de la forme n=3p (p entier.)
p entier peut prendre 0 comme valeur
et lorsque tu dis les multiples de 3 ça inclue 3x(-2)=-6 non ?
sebmusik sebmusikje pense qu'il fallait ecrire quelque chose dans ce genre :--> quand n est un entier naturel de la forme n=3p (p entier.)
p entier peut prendre 0 comme valeur
et lorsque tu dis les multiples de 3 ça inclue 3x(-2)=-6 non ?
re : Challenge n°123 Posté le 31-10-05 à 10:30
Posté le 31-10-05 à 10:30Posté par puisea puisea
goupi1
je t'ai mis un poisson, non pas que tu n'es pas dit que 0 était possible
mais parceque tu n'as pas précisé k, et donc il peut très bien être un réel quelconque puisque tu n'as pas précisé, et dans ce cas ce n'est plus bon...
puisea puisea goupi1
je t'ai mis un poisson, non pas que tu n'es pas dit que 0 était possible
mais parceque tu n'as pas précisé k, et donc il peut très bien être un réel quelconque puisque tu n'as pas précisé, et dans ce cas ce n'est plus bon...
hi Posté le 31-10-05 à 14:53
Posté le 31-10-05 à 14:53Posté par bel_jad5 (invité)
le probleme c que ce "petit" exo ne merite ps le nom d enigme
le probleme c que ce "petit" exo ne merite ps le nom d enigmere : Challenge n°123 Posté le 02-11-05 à 13:40
Posté le 02-11-05 à 13:40Posté par infophile infophile
>> borneo
Pourquoi ne pas avoir utilisé excel
?
Je me suis servi de PUISSANCE et MOD pour conclure (avec une macro sur les grands nombres), les modulos sont toujours 7,11,1 ... en boucle donc ça marche pour les multiples de 3
Encore merci pour la géo dans l'espace
infophile infophile>> borneo
Pourquoi ne pas avoir utilisé excel
?Je me suis servi de PUISSANCE et MOD pour conclure (avec une macro sur les grands nombres), les modulos sont toujours 7,11,1 ... en boucle donc ça marche pour les multiples de 3
Encore merci pour la géo dans l'espace
re : Challenge n°123 Posté le 03-11-05 à 17:46
Posté le 03-11-05 à 17:46Posté par borneo borneo
Coucou Kevin, mais si, j'ai pris excel, seulement les nombres étaient trop grands, il a calé à partir de puissnce 3. Trop tôt pour que je remarque la périodicité. Il a donc fallu que je me plonge dans les modulos, mes souvenirs de terminale étant trop flous..., et mon entourage pas décidé à m'aider. Du coup ça m'a fait une bonne révision. Et j'ai découvert la fonction MOD dans excel, je ne la connaissais pas. Je ne connais pas non plus la macro des grands nombres 
C koi ?
borneo borneoCoucou Kevin, mais si, j'ai pris excel, seulement les nombres étaient trop grands, il a calé à partir de puissnce 3. Trop tôt pour que je remarque la périodicité. Il a donc fallu que je me plonge dans les modulos, mes souvenirs de terminale étant trop flous..., et mon entourage pas décidé à m'aider. Du coup ça m'a fait une bonne révision. Et j'ai découvert la fonction MOD dans excel, je ne la connaissais pas. Je ne connais pas non plus la macro des grands nombres C koi ?re : Challenge n°123 Posté le 04-01-06 à 09:09
Posté le 04-01-06 à 09:09Posté par jacques1313 jacques1313
Il me semble qu'on a attribué à tort un poisson à jams qui a donné la bonne réponse.
jacques1313 jacques1313Il me semble qu'on a attribué à tort un poisson à jams qui a donné la bonne réponse.Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 3661,11 %38,89 %
Temps de réponse moyen : 27:39:19.
Nombre de participations : 36
61,11 %38,89 %22 
14
14Temps de réponse moyen : 27:39:19.
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