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Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète


maths supVariables aléatoires, pertes de mémoire discrète

#msg4449208#msg4449208 Posté le 12-12-12 à 17:27
Posté par Profilzeubi94 zeubi94

Bonjour est-ce que quelqu'un pourrait m'aider avec cette question s'il vous plait?  

Posons X la durée de vie d'un matériel informatique.

On sait que  X ~ (y1/8) ,
où y1/8 est le 1/8-percentile d'une variable aléatoire Y définie par la densité de probabilité :

fY(x) = 3x2 , pour 0≤ x ≤ 1
Se rappeler que pour toute variable aléatoire Y on a F(yp) = p pour n'importe quel  0 < p < 1.
et on sait que  q = P( X ≥ 1 ).

4) Le matériel informatique est installé le jour t=1 et est observé qu'une seule fois au début de chaque jour.
P(X ≥ n) pour tout nombre entier n, i.e. la probabilité que le matériel fonctionne pendant au moins n jours.
Comment la perte de mémoire est-elle révéléee ici?

5) Posons Z la variable aléatoire qui décrit le nombre de jours où le matériel a fonctionné avant échec, e.g Si au premier jour de l'observation un jour après l'installation ( appelé début du 2ème jour t=2) le matériel ne fonctionne pas alors  Z=1. De même si le matériel fonctionnait durant la première  n - 1 observation mais ne fonctionnait pas la nth fois  Z = n , pour tout n ≥ 1.

a) trouver P(Z= k) , pour k ≥ 0
b)Est-il vrai que Z a une loi géométrique  p = 1 - q, avec q definie au-dessus
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète#msg4449611#msg4449611 Posté le 12-12-12 à 19:27
Posté par Profilverdurin verdurin

Bonsoir,
il manque un morceau important de l'énoncé : la loi suivie par X.
en effet tel que tu le définis y1/8 est une constante, pas une loi de probabilité.
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re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète#msg4449626#msg4449626 Posté le 12-12-12 à 19:32
Posté par Profilzeubi94 zeubi94

Excusez moi : on sait que X  ~ Expon(y1/8)
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète#msg4449674#msg4449674 Posté le 12-12-12 à 19:51
Posté par Profilverdurin verdurin

La première chose à faire est sans doute de calculer le paramètre de la loi exponentielle.

Pour cela il faut résoudre dans [0;1] l'équation : \int_0^y 3x^2\text{d}x=\frac18
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète#msg4449752#msg4449752 Posté le 12-12-12 à 20:18
Posté par Profilzeubi94 zeubi94

Je n'ai pas écrit les premières questions car je pensais que ce serait inutile

1) Trouver y1/8
FY(x) = x3 donc x3=1/2 d'où x= 1/2.

2) Calculer l'espérance et la variance

E(X) = x.f(x) dx = 3/4
Var (X) = E(X2) - (E(X))2=3/80
re : Variables aléatoires, pertes de mémoire discrète#msg4449781#msg4449781 Posté le 12-12-12 à 20:32
Posté par Profilverdurin verdurin

Je ne suis pas certain de bien comprendre la question 4.
Là aussi il manque des morceaux de l'énoncé.

La perte de mémoire est révélée par le fait que P(Xn+1|Xn)=1/2 et donc ne dépend pas de n. En d'autres termes, le fait que le matériel aie fonctionné n jours ne ne apprend rien sur son fonctionnement le jour suivant.

Pour la question 5, si j'ai bien compris la numérotation, qui est assez peu claire, des jours, alors Z suit une loi géométrique de paramètre 1/2.

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