vive le coloriage!

Posté par Giny2 (invité)

Bonjour,
ma prof de spé nous a encore sorti un exo d'on ne sait où!
On dispose d'une roue de loterie comportant 10 secteurs non numérotés de même taille, et on souhaite colorier cette roue avec trois couleurs C1 C2 C3. De combien de manière peut-on le faire?
Et c'est là que l'indication fait le contraire de m'aider:
Indication: remarquer qu'un coloriage est entièrement déterminer par une application de {S1, S2,...Sn} dans {C1,C2,C3}, puis remarquer que deux applications définissent le même coloriage si elles appartiennent à une orbite dans une action de U9 sur l'ensemble des applications, action que l'on précisera. Et enfin, utiliser la formule de Burnside)
Même après m'être ceusé la tête pendant une heure, je n'y comprend rien!
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par stokastik stokastik


À une application f de dans correspond le coloriage : est colorié en , ..., est colorié en .

Ca tu comprends ?

Posté par Evgueny (invité)

donc il y aurait 10! possibilités? C'est ca?
je suis perdu avec ces indications...

Posté par Evgueny (invité)

Désolé giny, je ne t'aiderais pas cette fois-ci!

Posté par Giny2 (invité)

bon, je vois que mon sujet n'a pas eu beaucoup d'adeptes.. je n'ai toujours pas compris, si vous pouvez me donner ne serait-ce que le moindre indice, je serais ravie! merci par avance

Posté par stokastik stokastik


Mais est-ce que tu as compris ce que j'ai écrit plus haut déjà ? Sinon ce n'est pas la peine de continuer.

Posté par Giny2 (invité)

oui, mais est-ce que ce qu'evgueny a dit c'est bon? C'est 10!?

Posté par stokastik stokastik


Bon ne t'ocuupe pas de ce qu'a dit evgueny... le résultat on s'en moque : c'est la solution qui est intéressante.

c'est le groupe des racines 9-ièmes de l'unité ?

Notons et pour une application de dans , et pour , on définit l'application de dans par
où est tel que

Tu vois, ça définit une action de sur cet ensemble d'applications, et c'est le même coloriage que .

Il reste à trouver le nombre d'orbites de cette action ce qui te donnera le nombre de coloriages. Je ne sais plus ce qu'est la formule de Burnside, mais je pense que c'est une formule qui donne le nombre d'orbites.

Posté par stokastik stokastik


Ceci dit je ne sais pas si c'est clair... moi j'arrive à visualiser le truc... je trouve que cet exo pourrait être mieux fait.

Posté par stokastik stokastik


En fait ton problème est le même que le "problème du collier", résolu pour un nombre quelconque de secteurs et un nombre quelconque de couleurs --- clique ici :

Posté par Giny2 (invité)

merci stokastic! c'est exactement pareil que le problème du collier! enfin même genre. j'ai enfin compris l'exo! merci encore.

Posté par igrea igrea

moi aussi j'avais un exo pareil, j'ai trouvé la réponse sur votre forum, merci bcp. pour moi le coloriage était une chose tout à fait différente..

Posté par Camélia Camélia

Mais ça peut aussi être ça!