Petite précision correction exercice topologie

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Petite précision correction exercice topologie

Posté le 30-10-05 à 19:10

Posté par lolo5959

Bonsoir à tous!

J'ai fait un exercice dans un bouquin et il y a un 'tit truc que je ne comprend pas dans leur réponse:

" Soit E=

On pose pour tous x et y réels:
d(x,y)= /x-y/
et d'(x,y)=/arctan x - arctan y/

Vérifier que (E,d') n'est pas complet. "

Puisque d est la distance usuelle, (

,d) est complet.
Pour montrer que (

,d') n'est pas complet, on construit dans cet espace une suite de Cauchy qui ne converge pas pour d'.

Posons, pour tout n naturel: (xn)=n
La suite (Arctan n )converge dans (

,d) vers Pi/2; c'est donc une suite de Cauchy dans (

,d), ce qui revient à dire que la suite (xn) est de Cauchy dans (

,d') .....

Alors, c'est à la fin de cette partie que je ne comprends pas:
déjà, ils disent que (arctan n) converge dans (

,d), j'aurais plutôt dit dans (

,d') car il y a le terme "arctan"? mais surtout pourquoi le fait qu'lle soit de Cauchy dans (

,d) revient à dire que (xn) est de Cauchy dans(

,d')?

Voilà ma (mes 2) question(s), merci beaucoup pour vos réponses!

re : Petite précision correction exercice topologie

Posté le 30-10-05 à 19:44

Posté par darwyn (invité)

Il faut juste remarquer que d'(x,y)=d(arctan(x),arctan(y)).

re : Petite précision correction exercice topologie

Posté le 30-10-05 à 21:36

Posté par lolo5959

Merci bien darwyn pour ton aide mais le fait de remarquer que d'(x,y)=d(arctan(x),arctan(y)), je ne vois pas comment en déduire que le fait qu'elle soit de Cauchy dans (

,d) revient à dire que (xn) est de Cauchy dans(

,d')?

re : Petite précision correction exercice topologie

Posté le 31-10-05 à 02:14

Posté par elhor_abdelali

Bonsoir lolo5959 et darwyn;
(*)Pour voir que la suite $3$\fbox{(x_n=n)_{n\in\mathbb{N}}}$ est de cauchy dans $2$(\mathbb{R},d')$ on peut remarquer ( en utilisant la croissance de la fonction arctangente et le faite qu'elle tend vers $\frac{\pi}{2}$ en $+\infty$ ) que:
$3$\fbox{\forall 0\le p<q\\d'(x_p,x_q)=|arctan(p)-arctan(q)|=arctan(q)-arctan(p)<\frac{\pi}{2}-arctan(p)}$ et donc que $4$\blue\fbox{\lim_{p,q\to+\infty}d'(x_p,x_q)=0}$ donc cette suite est bien de cauchy dans $2$(\mathbb{R},d')$ .
(*)Supposons maintenant (par l'absurde) qu'elle soit convergente dans $2$(\mathbb{R},d')$ il existerait donc un réel $2$x$ tel que $3$\lim_{n\to+\infty}d'(x_n,x)=0$ c'est à dire tel que $3$\lim_{n\to+\infty}|arctan(n)-arctan(x)|=0$ et comme $3$\lim_{n\to+\infty}arctan(n)=\frac{\pi}{2}$ on aurait que $3$\red\fbox{arctan(x)=\frac{\pi}{2}}$ ce qui est hors de question puisque $3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\\arctan(x)<\frac{\pi}{2}}$

Conclusion:
L'espace métrique $3$(\mathbb{R},d')$ n'est pas complet.

Sauf erreurs bien entendu

re : Petite précision correction exercice topologie

Posté le 31-10-05 à 19:22

Posté par lolo5959

Merci beaucoup elhor_abdelali

Une nouvelle fois, votre aide m'a été très utile

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