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logarithme/algorithme


terminalelogarithme/algorithme

#msg4539769#msg4539769 Posté le 30-01-13 à 20:01
Posté par ProfilMathxa Mathxa

Bonsoir, je sollicite votre aide pour cet exercice. J'ai beaucoup de mal à y répondre et vous remercie d'avance de votre aide.

Partie A
On définit la fonction d sur [1;+[ par d(x)=ln(x)-(x-1)+((x-1)2)/2

1) Étudier les variations de la fonction d sur [1;+[ et en déduire le signe de d(x).

2) Procéder de même avec la fonction  définie sur [1;+[ par (x)=ln(x)−(x −1).

3) En déduire que, pour tout x supérieurs à 1, -((x-1)2)/2ln(x)-(x-1)0 et valeur absolue de (ln(x)-(x-1))((x-1)2)/2

4) Il en résulte que, par exemple, 0,00001 est une valeur approchée de ln1,00001. Dans cet exemple,donner un majorant de l'erreur c'est-à-dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.

Partie B
On considère l'algorithme suivant :
Entrée a (1 < a < 20)
Entrée n (entier naturel)
Dans U mettre a
Pour I de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U−1
Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2V
Fin de la boucle Pour
Afficher V

1) Faire fonctionner cet algorithme « à la main » pour a = 16 et n = 4.

2) Implémenter cet algorithme sur une calculatrice (ou un tableur). Le faire fonctionner pour n = 10 avec a = 8 puis avec a = 1,234. Comparer avec lna. Qu'observe-ton ?

3) Exprimer lnU en fonction de lna. En utilisant le résultat de la question A3, en déduire que valeur absolue de (ln(a)−V)(U−1)22n-1. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1re boucle et V le
contenu de V à la fin de la 2e boucle.

4) Avec n = 15 et a = 2, l'algorithme donne U−10,0000211534 à la fin de la première boucle et la
partie A prouve que valeur absolue de (ln(U)−(U−1))<3×10-10. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie de l'algorithme vérifie alors l'inégalité valeur absolue de (ln(2)− V)<10-5. Donner V et une valeur approchée de ln(2) donnée par une calculatrice.

5) Le nombre a, supérieur à 1, étant donné, on peut considérer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite.
Modifier l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0U−110-8 et simplifier-le en évitant
d'utiliser la deuxième boucle.
re : logarithme/algorithme#msg4540129#msg4540129 Posté le 30-01-13 à 22:21
Posté par Profilraf38 raf38

Bonjour

Qu'as tu déjà fait ?
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re : logarithme/algorithme#msg4540131#msg4540131 Posté le 30-01-13 à 22:21
Posté par Profilhomeya homeya

Bonsoir,

Pour commencer, quelle est la dérivée de d(x) ?

Cordialement.
re : logarithme/algorithme#msg4542332#msg4542332 Posté le 01-02-13 à 21:10
Posté par ProfilLokiss Lokiss

Bonjour. Je suis tombé sur le même exercie et il me faut aussi de l'aide. Si possible me corriger et me guider pour la 2e partie. Voilà où j'en suis pour l'instant:

1) d(x)=ln(x)-(x-1)+((x-1)2)/2
d'(x)=1/x-1+(1/2)(x-1)2
= 1/x-1+(1/2)21(x-1)
=1/x-1+x-1
=(1-x+x2-x)/x
=(x2-2x+1)/x
=(x-1)2/x

sens de d'(x) sur [1;+[: positif. Donc d(x) croissante sur cet intervalle.

2) (x)=ln(x)−(x −1)
'(x)=1/x-1=(1-x)/x

sens de '(x) sur [1;+[: négatif. Donc (x) décroissante.

3) -((x-1)2/2)ln(x)-(x-1)0
-((x-1)2/2)+((x-1)2/2)ln(x)-(x-1)+((x-1)2/2)((x-1)2/2)
0d(x)((x-1)2/2)

d(x)-((x-1)2/2)0
(x)0, ce qui est vrai, donc l'égalité est vraie.

|ln(x)-(x-1)|(x-1)2/2
Je bloque pour démontrer celle là. Ils ont appliqué valeur absolue car décroissante de 1 à +, ce qui est impossible pour la fonction ln(x). J'ai essayé de développer la démonstration en gardant ça en tête mais j'y arrive pas.

4) Posons x=1,00001.
|ln 1,00001-(0,00001)|(0,00001)2/2
4,99997.10-115.10-11

On fait la différence: 5.10-11-4,99997.10-11=3.10-16


Voilà où j'en suis. Je comprends rien à l'algorithme. Aidez moi ! ^^
re : logarithme/algorithme#msg4543170#msg4543170 Posté le 02-02-13 à 15:10
Posté par Profilhomeya homeya

Je suis d'accord avec ces résultats. Pour la question 1), je préciserais, comme demandé par l'énoncé, que d(x) est positif sur [1;+[ (d'après le tableau de variations). De même, pour la question 2), on voit que (x) 0 sur [1;+[. Pour la seconde partie de la question 3), on sait que sur [1;+[, ln(x)-(x-1) 0 donc |ln(x)-(x-1)| = -[ln(x)-(x-1)] par définition de la valeur absolue. Par conséquent:
|ln(x)-(x-1)| (x-1)2/2
-[ln(x)-(x-1)] (x-1)2/2
ln(x)-(x-1) -(x-1)2/2 ce qui est vrai.
Pour la question 4), les calculs sont bons mais il faut donner un majorant donc par exemple 3,34.10-16.
En ce qui concerne la première question relative à l'algorithme, pour a = 16 et n = 4:
Entrée a (1 < a < 20)
  a = 16
Entrée n (entier naturel)
  n = 4
Dans U mettre a
  U = 16
Pour I de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
  U = 4 puis U = 2 puis U = 2 = 21/2 puis U = 21/4
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U−1
  V = 21/4 - 1
Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2V
  V = 2(21/4 - 1) puis V = 22(21/4 - 1) puis V = 23(21/4 - 1) puis V = 24(21/4 - 1)
Fin de la boucle Pour
Afficher V
  24(21/4 - 1)
Mes résultats sont à revérifier car je ne suis pas à l'abri d'une erreur !
  
re : logarithme/algorithme#msg4545855#msg4545855 Posté le 03-02-13 à 16:28
Posté par ProfilLokiss Lokiss

Merci beaucoup de ton aide homeya ! Mais j'arrive touours pas à finir la partie B parce que je comprends carrément rien à l'algorithme, si tu pouvais m'aider pour les dernières questions ce serait vraiment sympa !
re : logarithme/algorithme#msg4545921#msg4545921 Posté le 03-02-13 à 16:40
Posté par Profilhomeya homeya

Quelles sont les questions qui te posent problème ? Concernant l'algorithme, tu peux essayer de refaire les calculs avec a = 16 et n = 4 en t'inspirant de ce que j'ai fait (il est important de bien comprendre le fonctionnement des algorithmes car tu en rencontreras d'autres cette année).
re : logarithme/algorithme#msg4546074#msg4546074 Posté le 03-02-13 à 17:14
Posté par ProfilLokiss Lokiss

En fait j'arrive pas à implémenter l'algorithme sur ma calculatrice, j'ai un problème au niveau des boucles, je sais pas comment les noter.
re : logarithme/algorithme#msg4546077#msg4546077 Posté le 03-02-13 à 17:15
Posté par Profilhomeya homeya

Quel est le type de la calculatrice ?
re : logarithme/algorithme#msg4546118#msg4546118 Posté le 03-02-13 à 17:24
Posté par ProfilLokiss Lokiss

TI 83 plus
re : logarithme/algorithme#msg4546326#msg4546326 Posté le 03-02-13 à 18:13
Posté par Profilhomeya homeya

Je n'ai pas de TI83+ mais une recherche rapide sur le net donne pour une boucle POUR:
  For(I,1,n,1) : le dernier argument représente l'incrément
  (U)->U
  End

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