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Division euclidienne - Polynôme


licenceDivision euclidienne - Polynôme

#msg4572425#msg4572425 Posté le 20-02-13 à 20:25
Posté par ProfilGologo Gologo

Bonjour,

En travaillant mon cours sur les polynômes, j'ai coincé au milieu de l'exercice suivant:

n 2, calculer le reste et le quotient de la division euclidienne dans R[X] de P(X) = (X-3)^{2n}+(X-2)^{n}-2 par (X-3)(X-2).

En posant P(X) = (X-3)(X-2)Q(X) + aX + b où (aX + b) est mon reste, je trouve aisément que le reste est égal à -1 (a = 0 et b = -1). Mais je sèche totalement sur comment déterminer le quotient.

Auriez-vous une piste, une petite astuce pour le déterminer?

D'avance merci.
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4572779#msg4572779 Posté le 21-02-13 à 00:20
Posté par Profilflight flight

si c'est Q que tu cherche en connaissant B =  -1

Q(X)= (P(X)-B)/(X-3)(X-2) tout simplement
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re : Division euclidienne - Polynôme#msg4572797#msg4572797 Posté le 21-02-13 à 00:40
Posté par Profilkybjm kybjm

Si tu poses  A = X - 2 et B = X - 3 , tu as :
...(X - 3)2n  = (X - 3)(A - 1)2n-1 = B(A - 1)2n-1 = B(AR - 1) où R [X] .
...(X - 2)n = (X - 2)(B + 1)n-1 = A(B + 1)n-1 = A(BS + 1) où S [X] .
Donc P = AB(R + S) - B + A - 2 .
Tu explicites R et S avec des ou des ....

re : Division euclidienne - Polynôme#msg4572861#msg4572861 Posté le 21-02-13 à 06:54
Posté par Profilveleda veleda

bonjour,
en utilisant le fait que le reste est indépendant de n on trouve une relation entre Q_{n+1}et Q_n
P_{n+1}(X)=(X-3)(X-2)Q_{n+1}(X)-1
 \\  P_n(X)=(X-3)(X-2)Q_n(X)-1
 \\ donc
 \\ P_{n+1}(X)-P_n(X)=(X-3)(X-2)(Q_{n+1}(X)-Q_n(X))
d'où
Q_{n+1}(X)-Q_n(X)=(X-3)^{2n-1}(X-4)+(X-2)^{n-1}
 \\ Q_n(X)- Q_{n-1}(X)=(X-3)^{2n-3}(X-4)+(X-2)^{n-2}
 \\ .............................................
 \\ 
 \\  Q_3(X)- Q_2(X) = (X-3)^3(X-4)+(X-2)
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4573145#msg4573145 Posté le 21-02-13 à 13:43
Posté par ProfilGologo Gologo

Tout d'abord merci pour vos réponses !

J'y vois déjà un peu plus clairement. Mais pour obtenir Q(X) (quelle que soit la solution que vous me proposez), je suis obligé de diviser par un polynôme et donc Q(X) n'est plus un polynôme; je me trompe?
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4573235#msg4573235 Posté le 21-02-13 à 14:30
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Bonjour
quand on divise un polynôme par un polynôme, on peut très bien obtenir un polynôme, suffit que le reste soit nul ....
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4573692#msg4573692 Posté le 21-02-13 à 18:44
Posté par ProfilGologo Gologo

En effet ...

Pour reprendre l'idée de Veleda, je n'arrive pas à aller au bout du raisonnement et à expliciter Q(X), pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4573769#msg4573769 Posté le 21-02-13 à 19:19
Posté par Profilveleda veleda

on a
Q_n(x)-Q_{n-1}(x)=(X-3)^{2n-1}(X-4)+(X-2)^{n-1}=B_n(X)
je note B_(X) le membre de droite pour alléger l'écriture
Q_{n-1}(X)-Q_{n-2}(X)=B_{n-1}(X)
 \\ .......................................
 \\ .......................................
 \\ Q_3(X)-Q_2(X)=B_2(X)
en ajoutant membre à membre les égalités dans le membre de gauche d'aprés le principe des dominos il ne reste que deux termes
Q_n(X)-Q_2(X)=\sum_{k=2}^nB_k(X)
 \\ Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=2}^n[(X-3)^{2k-1}(X-4) +(X-2)^{k-1}]
sauf étourderie
il reste à calculer Q_2(X) et la somme du membre de droite
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4573804#msg4573804 Posté le 21-02-13 à 19:36
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Bonsoir,


Une fois le reste connu,il est facile de donner
une expression de Q(x), pour x <> 2 et x <> 3, sous forme quotient ,



Alain
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574096#msg4574096 Posté le 21-02-13 à 22:04
Posté par ProfilGologo Gologo

Merci donc j'ai, sauf erreur de ma part:

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + \sum^{n}_{k=2}[(X-3)^{2k-1}(X-4)+(X-2)^{k-1}

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + (X-4)\sum^{n}_{k=2}(X-3)^{2k-1} + \sum^{n}_{k=2}(X-2)^{k-1}

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + (X-4)\sum^{n}_{k=1}((X-3)^{2})^{k} + \sum^{n}_{k=1}(X-2)^{k}

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + (X-4)\frac{(X-3)^{2}-(X-3)^{2n+2}}{1-(X-3)^{2}} + \frac{(X-2)-(X-2)^{n+1}}{1-(X-2)}

et là je suis perdu: pour calculer Q_{2}(X), il faut que j'ai l'expression de Q_{n}(X) non? Et l'autre partie du membre ne semble pas bien se simplifier ... :/
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574178#msg4574178 Posté le 21-02-13 à 23:14
Posté par Profilveleda veleda

*Q2c'est le quotient dans la division de P_2(X)=(X-3)^4+(X-2)^2-2 par(X-3)(X-2)
ou bien tu développes P_2et tu poses la division par (X-3)(X-2)
ou bien tu essaies de factoriser P_2(X)-(-1)
P_2(X)+1=(X-3)^4+(X-2)^2-1
 \\ (X-2)^2-1=(X-3)(X-1)
 \\ P_2(X)-1=(X-3)[(X-3)^3+(X-1)]=(X-3)[((X-2)-1)^3+(X-1)]=..
il faut encore mettre (X-2)en facteur
je trouve Q_2(X)=X2-7X+14  mais je n'ai pas vérifié

*je ne comprends pas ton avant dernière ligne k varie de 2 à n si tu poses K=k-1 alors K varie de 1 à n-1 de plus l'exposant 2k-1 devient 2K+1 K variant de 1 à n-1
non cela n'a pas l'air de se simplifier garde l'expression avec les deux sommes
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574248#msg4574248 Posté le 22-02-13 à 09:13
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Bonjour,

Comme le précisait Flight :

Q(x)=\frac{(x-3)^{2n}+(x-2)^n-1}{(x-3)(x-2)},


Il n'y a pas ici de problème de division par zéro,
Q(x) est un polynôme de degré 2n-2,



Alain
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574254#msg4574254 Posté le 22-02-13 à 09:42
Posté par ProfilGologo Gologo

Merci beaucoup pour vos réponses.

Je trouve bien: Q_{2}=X^{2}-7X+14 en développant puis en effectuant la division euclidienne de P_{2}(X) par (X-3)(X-2).

Je me suis en effet trompé lors du changement d'indice. Puis-je donc conclure que:

Q_{n}(X) = X^{2}-7X+14 + (X-4)\sum^{n-1}_{K=1} ... + \sum^{n-1}_{k=1} ... ? Car je ne vois pas comment simplifier l'expression ...

Pour Alainpaul et Flight, au tableau, j'avais également immédiatement fait ceci, mais ma prof m'a dit que c'était impossible  ... c'est la raison pour laquelle j'ai demandé de l'aide.
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574264#msg4574264 Posté le 22-02-13 à 10:09
Posté par Profilfrenicle frenicle

Bonjour,

Il s'agit donc de trouver Q(x)=\dfrac{(x-3)^{2n}+(x-2)^n-1}{(x-3)(x-2)}.

Posons y=x-2

Q(y+2)=\dfrac{(y-1)^{2n}+y^n-1}{(y-1)y}=\dfrac{1}{y}[(y-1)^{2n-1}+\dfrac{y^n-1}{y-1}]=
=\dfrac{1}{y}[\sum_{k=0}^{2n-1} \binom{2n-1}{k} (-1)^{2n-1-k}y^k+\sum_{k=0}^{n-1}y^k]

Comme le terme constant est nul, on peut commencer les sommes à k=1 et diviser par y :

Q(y+2)=\sum_{k=1}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}(-1)^{k-1}y^{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}y^{k-1}

On revient à x :


Q(x)=\sum_{k=1}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}(2-x)^{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}(x-2)^{k-1}
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574561#msg4574561 Posté le 22-02-13 à 13:41
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Bravo l'ami!


Ce n'est quand même pas trop simple à
mettre en oeuvre,



Alain
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574713#msg4574713 Posté le 22-02-13 à 15:13
Posté par Profilveleda veleda

>>bonjour frenicle
c'est plus joli mais je n'ai pas le courage de torturer l'expression trouvée avec Gologo pour voir si c'est bien la même chose
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574966#msg4574966 Posté le 22-02-13 à 16:50
Posté par Profilcarpediem carpediem

salut

P(x) = [(x - 3)2]n - 1 + (x - 2)n - 1 = [(x - 3)2 - 1]0n-1 (x - 3)2k + (x - 2 - 1)0n-1 (x - 2)k = (x - 2)(x - 4)[1 + (x - 3)20n-2 (x - 3)2k ] + (x - 3)[ 1 + (x - 2)0n-2 (x - 2)k ] = (x - 2)(x - 4) + x - 3 + (x - 2)(x - 3)[(x - 3)(x - 4) (x - 3)2k + (x - 2)k ] = (x - 2)(x - 3) - 1 + (x - 2)(x - 3)[ ... ] = (x - 2)(x - 3) [ 1 + ... ] - 1

est la division euclidienne du polynome P par (x - 2)(x - 3)

....

re : Division euclidienne - Polynôme#msg4574970#msg4574970 Posté le 22-02-13 à 16:51
Posté par Profilcarpediem carpediem

an - 1n = ....
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575316#msg4575316 Posté le 22-02-13 à 19:27
Posté par Profilfrenicle frenicle

> veleda

Citation :
je n'ai pas le courage de torturer l'expression trouvée avec Gologo


Pour être franc, moi non plus

en plus, je suis contre la torture
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575650#msg4575650 Posté le 22-02-13 à 23:56
Posté par ProfilGologo Gologo

Je vous remercie pour vos réponses: j'ai bien compris les différentes méthodes et je vais vérifier de mon côté si les résultats concordent.

Encore merci !
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575672#msg4575672 Posté le 23-02-13 à 00:13
Posté par Profilveleda veleda

>>Gologo
en reprenant l'expression trouvée je constate  un décalage d'indice (désoléeon a utilisé au départ Q_{n+1}-Q_n au lieu de Q_n-Q_{n-1=
Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=2}^n(X-3)^{2k-3}(X-4)+\sum_{k=2}^n(X-2)^{k-2}
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575714#msg4575714 Posté le 23-02-13 à 06:55
Posté par Profilveleda veleda

Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=3}^n(X-3)^{2n-3}(X-4)+\sum_{k=3}^n(X-2)^{n-2} pour    n3
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575715#msg4575715 Posté le 23-02-13 à 07:05
Posté par Profilveleda veleda


Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=3}^n(X-3)^{2k-3}(X-4)+\sum_{k=3}^n(X-2)^{k-2} pour n3
j'espère qu'il n'y a plus de faute de frappe ni d'indice
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575816#msg4575816 Posté le 23-02-13 à 10:36
Posté par ProfilGologo Gologo

En effet, et je n'aboutissais par ailleurs pas au même résultat en triturant l'expression.

Encore merci, je vais reprendre la comparaison avec la nouvelle expression.

Merci !
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575870#msg4575870 Posté le 23-02-13 à 11:19
Posté par Profilcarpediem carpediem


 \\ P(x) = (x - 3)^{2}^{n} - 1 + (x - 2)^{n} - 1 = [(x - 3)^{2} - 1]\sum_{k=0}^{n - 1} (x - 3)^{2k} + (x - 2 - 1)\sum_{k=0}^{n - 1} (x - 2)^{k} =
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 4)[1 + (x - 3)^{2}\sum_{k=0}^{n-2} (x - 3)^{2k} ] + (x - 3)[1 + (x - 2)\sum_{k=0}^{n-2} (x - 2)^{k} ] =
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 4) + x - 3 + (x - 2)(x - 4)(x - 3)^{2}\sum (x - 3)^{2k} + (x - 3)(x - 2)\sum (x - 2)^{k} =
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 3) - 1 + (x - 2)(x - 3) [ (x - 4)(x - 3)\sum (x - 3)^{2k} + \sum (x - 2)^{k} ] = 
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 3) [ 1 + (x - 3)(x - 4)\sum(x - 3)^{2k} + \sum (x - 2)^{k} ] - 1
 \\ 
 \\

est la division euclidienne de P par (x - 2)(x - 3) ...

ce me semble-t-il on trouve la même chose ...
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4575998#msg4575998 Posté le 23-02-13 à 12:15
Posté par Profilveleda veleda

bonjour,
oui il me semble que c'est bien la même expression
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4576051#msg4576051 Posté le 23-02-13 à 13:16
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Oui,



Je trouve:
Q_n(x)=\frac{((x-3)(x-2)-(x-2)+1)^n+(x-2)^n-1}{(x-3)(x-2)}
Q1(x)=1 ,Q2(x) =


Alain
re : Division euclidienne - Polynôme#msg4576064#msg4576064 Posté le 23-02-13 à 13:35
Posté par ProfilGologo Gologo

Je trouve de mon côté le même résultat,

Merci à vous.

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