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integrale fredholm
Bonjour, je suis actuellement sur un problem a rendre cette semaine et je bloque …
Le probleme est le suivant :
Soit
Ω(x) = Λ∫ G(x,s)Ω(s)ds integral de [0,π]
ou G(x,s)= (1/π)(1+π-s)(x-1), x<s
(1/π)(1+π-x)(s-1), x>s
1) trouver une équation différentielle du second d'ordre équivalente avec comme condition Ω+αΩ' = 0 pour x=0 et x=π
en “différentient” cette équation deux fois ( l'énoncé est à la base en anglais )
2) Trouver la valeur de α
3) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres
J'ai pose Ω''(x)=u(x)
J'intègre deux fois, et je me retrouve avec.
Ω(x)=Ω(0)+Ω'(0)x +∫(x-t)u(t)dt intégrale de [0,x]
Mon problème est que je ne vois pas comment parvenir à isole, trouver la valeur de Ω(0) et Ω'(0) pour ensuite les remplacer dans mon équation et déterminer u(x)
Si quelqu'un peut me donner un coup de main la dessus.
Merci d'avance
Bonjour,
Cette équation intégrale homogène de FREDHOLM
de seconde espèce admet toujours la solution évidente
(x)=0 , à chaque valeur non nulle de 
correspond une fonction propre,
Je m'en vais creuser,
Alain
Bonjour et merci de votre réponse.
Je pense que j'avais effectivement mal compris le probleme.
J'ai donc dérivé deux fois par rapport à x.
Je suis arrive à l'équation différentielle : Ω"(x) = (Λ/π)(1+π-x)Ω(x) ; x<s
Ω"(x) = (Λ/π)(1-s)Ω(x) ; x>s
En utilisé les condition j'ai trouvé pour x = 0 : alpha = 1 ; x<s
alpha = π+1 ; x>s
pour x= π : alpha = 1 ; x>s
alpha = π+1 ; x<s
Je ne devrais pas trouver le même alpha pour x<s ou x>s indifférament que x soit égal a 0 ou pi ?
Bon,
Je pense voir comment procéder.
Il nous faut rentrer les 2 morceaux du noyau à la fois.
Soit:
Ensuite nous pourrons dériver par rapport à x ...
Alain
Merci de ton aide qui ma bien aide 
Jai donc derive Ω(x) selon la decomposition. je suis parvenu a trouver
Ω"(x)+ΛΩ(x)=0
En remplacant la valeur de Ω'(x) et de Ω(x) dans l'equation qui mentionne les conditions, j'ai trouve α=1.
Mais maintenant je ne vois pas comment a partir de cela je peux retrouver les valeurs propres de l'equation y"+Λy=0.
J'ai essaye de differencier les cas pour Λ ( superieur inferieur egale ) mais sans succes.
Je seche ...
Bon,
Nous devons être sur la bonne voie...
à Ω"(x)+ΛΩ(x)=0 il nous faut probablement ajouter
des conditions aux limites:
Ω(a)=0 , Ω'(b)=0 ...
donc trouver les valeurs a,b ,
Alain
Bonjour,
J'ai essaye de trouver des conditions aux limites pour Ω(a)=0, j'ai trouve a=π.
J'ai pour Ω':
Ω'(x)= (-Λ/π)∫ (s-1)Ω(s)ds + (Λ/π)∫ (1+π-s)Ω(s)ds
La premiere integrale etant sur [0;x] la deuxieme sur [x;π]
Mais concernant Ω'(b)=0 je ne parviens pas a comprendre comment trouver cette valeur.
Bon après-midi,
Pour Ω'(x) avec la dérivation sous le signe somme
nous devrions,sauf simplification , obtenir quatre termes,
Alain
Bonsoir,
Je ne parviens vraiment pas à déterminer la condition pour la dérivé de Ω' :/
J'ai donc essayé de résoudre Ω"(x)+ΛΩ(x)=0
A partir de l'equation Y"(x)^2+ΛY(x)=0, en posant Y=exp(mx). J'ai donc m^2+Λ=0, D'ou m^2=-Λ
J'ai étudié les trois differentes cas : Λ<0 Λ>0 Λ=0.
A partir de la seul condition de Ω(pi)=0 et de Ω+αΩ' = 0 pour x=0 et x=π,
Il n'y a que pour le cas Λ>0 que je suis parvenu à déterminer une solution de la forme √Λ=tan(pi√Λ).
Je souhaiterais bien néanmoins comprendre pour la condition de Ω' histoire d'être sur :/
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