logo

Intégrale (post-bac)


terminaleIntégrale (post-bac)

#msg4615068#msg4615068 Posté le 13-03-13 à 14:20
Posté par Profilretyry retyry

     Bonjour,

J'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice de math :

Le nombre réel e désigne la base du logarithme népérien.
Pour tout nombre entier naturel n, on définit la fonction fn par la relation suivante, valable pour tout nombre réel x:
.pour n1, fn(x)= (e-nx)/(1+e-x)

.f0(x)= 1/(1+e-x)
On pose pour tout n de , un=01fn(x)dx.

1. Vérifier que pour tout nombre réel x:
1/(1+e-x)= ex/(1+ex)

2.a) Calculer la dérivée de la fonction qui, a tout nombre réel x, associe ln(1+ex), et en déduire la valeur de u0.

  b) Montrer que u0+u1=1, et en déduire la valeur de u1.

3. Montrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire qu'elle est convergente. On note l sa limite.

4.a) Montrer que pour tout n2,
u[/sub]+u[sub]n-1=[1/(n-1)]* (1-e-n+1)

  b) En déduire la valeur de l.


La question 1, j'essaye de faire plusieurs choses mais je ne trouve pas le résultat final.
La question 2a, j'ai réussi : sa dérivée est ex/(1+ex). D'après la relation de la question 1 u0= f0(x).
La question b je ne sais pas quoi faire.
La question 3 je pensais faire la récurrence mais je trouve que c'est compliqué dans ce cas la.
Pour la question 4 je ne comprends pas d'ou sort le 1/(n-1).

Merci par avance.
re : Intégrale (post-bac)#msg4615108#msg4615108 Posté le 13-03-13 à 14:32
Posté par ProfilLabo Labo

Bonjour,
1) produit en croix
ou mets e^(-x) en facteur  sachant que e^0=1
Publicité

re : Intégrale (post-bac)#msg4615137#msg4615137 Posté le 13-03-13 à 14:42
Posté par Profilretyry retyry

Si je fais le produit en croix je trouve  (1+ex)/(ex-e)
re : Intégrale (post-bac)#msg4615169#msg4615169 Posté le 13-03-13 à 14:51
Posté par ProfilLabo Labo

  tu ne devrais pas obtenir un quotient mais un produit
si a/b=c/d alors le produit en croix donne ad=bc
re : Intégrale (post-bac)#msg4615197#msg4615197 Posté le 13-03-13 à 14:59
Posté par Profilretyry retyry

donc cela donne :
1+ex=ex * e ?
re : Intégrale (post-bac)#msg4615278#msg4615278 Posté le 13-03-13 à 15:13
Posté par ProfilLabo Labo

Non
1/(1+e-x)= ex/(1+ex)
1(1+ex)=...............
(1+e-x)(ex)=..........
re : Intégrale (post-bac)#msg4615337#msg4615337 Posté le 13-03-13 à 15:28
Posté par Profilretyry retyry

1(1+ex)=ex+1
(1+e-x)(ex)=ex+1

Puisque les deux ont le même résultat alors ils sont égaux?
re : Intégrale (post-bac)#msg4615522#msg4615522 Posté le 13-03-13 à 16:18
Posté par ProfilLabo Labo

OK
2) tu apliques :
\int_a^bf(x)dx +\int_a^bg(x)dx=\int_a^b(f(x)+g(x))dx
re : Intégrale (post-bac)#msg4615650#msg4615650 Posté le 13-03-13 à 16:54
Posté par Profilretyry retyry

Je trouve 2/(1+e-x)
Maintenant je cherche sa primitive mais le 2 me bloque.
re : Intégrale (post-bac)#msg4615785#msg4615785 Posté le 13-03-13 à 17:31
Posté par ProfilLabo Labo

tu as fais une erreur de calcul...
re : Intégrale (post-bac)#msg4616474#msg4616474 Posté le 13-03-13 à 21:05
Posté par Profilretyry retyry

Ah oui  c'est bon j'ai trouvé que c'est égale à 1.
re : Intégrale (post-bac)#msg4616601#msg4616601 Posté le 13-03-13 à 22:05
Posté par ProfilLabo Labo

OK
3) sachant que 0≤x≤1 et que la fonction e^(x) est croissante sur R
compare e^{nx}  et  e^{(n+1)x
puis
\frac{1}{e^{nx}} et  \frac{1}{e^{(n+1)x}}
puis  u_n  et  u_{n+1}
re : Intégrale (post-bac)#msg4616897#msg4616897 Posté le 14-03-13 à 11:18
Posté par Profilretyry retyry

e^{nx} est croissant car n2 et la fonction e^x est croissante. Donc e^{(n+1)x} est croissant.

Pour \frac{1}{e^{nx}} est décroissant car la fonction inverse \frac{1}{e^x} est décroissante, donc pour \frac{1}{e^{(n+1)x}} est aussi décroissante.

On peut en conclure que u_n  et  u_{n+1} sont décroissante.
re : Intégrale (post-bac)#msg4617206#msg4617206 Posté le 14-03-13 à 15:30
Posté par ProfilLabo Labo

u peu rapide et mal dit...
si x est positif  et n entier  non nul alors nx<(n+1)x
   la fonction exponentielle est croissante et pour tout x ex>0 donc
0<e^{nx}<e^{(n+1)x}
0<\frac{1}{e^{(n+1)x}}<\frac{1}{e^{nx}}
0<{e^{-(n+1)x}<{e^{nx}
or
 0< \frac{1}{1+e^{-x}}
d'où
0<\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}<\frac{1}{e^{-nx}}{1+e^{-x}}
0< \int_0^1\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}dx<\int_0^1\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx
0<U_{n+1}<U_n
pour la convergence voir cours..
Citation :
4.a) Montrer que pour tout n2,
u[/sub]+u[sub]n-1=[1/(n-1)]* (1-e-n+1)


pas très lisible...
re : Intégrale (post-bac)#msg4617262#msg4617262 Posté le 14-03-13 à 16:00
Posté par Profilretyry retyry

Pour la 4a) c'est :

Montrer que pour tout n2,
u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n-1}\times(1-e^{-n+1}).

Pour la 3. sa convergence = limite?
re : Intégrale (post-bac)#msg4617383#msg4617383 Posté le 14-03-13 à 17:08
Posté par ProfilLabo Labo

pour la 3) la suite est décroissante et minorée , donc elle converge  et admet une limite
pour 4)
u_n+u_{n-1}  non ?
tu additionnes les deux intégrales et tu mets e^{-(n-1)x}  en facteur , tu simplifies et tu intègres

rappel  une primitive de e^{ax}=\frac{1}{a}e^{ax}
re : Intégrale (post-bac)#msg4617557#msg4617557 Posté le 14-03-13 à 18:24
Posté par Profilretyry retyry

Bizarrement à la fin moi je trouve \frac{1}{n-1}\times({e^{-(n-1)}-1)
re : Intégrale (post-bac)#msg4617824#msg4617824 Posté le 14-03-13 à 20:22
Posté par ProfilLabo Labo

u_{n}+u_{n-1}=\int_0^1\frac{e^{-nx}+e^{-(n-1)x}}{1+e^{-x}}dx
=\int_0^1\frac{e^{-(n-1)x}(e^{-x}+1)}{1+e^{-x}}dx
=[-\frac{1}{-(n-1)}e^{-(n-1)x}]_0^1
=\frac{1}{n-1}\times (e^{1-n}-1)

tu en déduis la limite l de la suite
re : Intégrale (post-bac)#msg4617839#msg4617839 Posté le 14-03-13 à 20:31
Posté par Profilretyry retyry

comment je fais pour en déduire l à partir de cela?
re : Intégrale (post-bac)#msg4617889#msg4617889 Posté le 14-03-13 à 20:56
Posté par ProfilLabo Labo

  u_n+u_{n-1}= somme de deux termes consécutifs de la suite (un)
. détermine le limite de cette somme  u_n+u_{n-1} quand n tend vers l'infini.
et conclus
re : Intégrale (post-bac)#msg4617890#msg4617890 Posté le 14-03-13 à 20:57
Posté par ProfilLabo Labo

u_n+u_{n-1}= somme de deux termes consécutifs de la suite (un)
re : Intégrale (post-bac)#msg4618914#msg4618914 Posté le 15-03-13 à 19:35
Posté par Profilretyry retyry

u_n + u_{n+1}= - quand n+ et -
re : Intégrale (post-bac)#msg4619043#msg4619043 Posté le 15-03-13 à 20:54
Posté par ProfilLabo Labo

Non ,je te rappelle que la suite est minorée par 0 .
quelle est la limite de ex quand x tend vers - ?
re : Intégrale (post-bac)#msg4619179#msg4619179 Posté le 15-03-13 à 22:57
Posté par Profilretyry retyry

C'est 0
re : Intégrale (post-bac)#msg4619697#msg4619697 Posté le 16-03-13 à 14:04
Posté par ProfilLabo Labo

oui  tu en déduis la limite  de
=\frac{1}{n-1}\times (e^{1-n}-1)
puis celle de la suite (un)
re : Intégrale (post-bac)#msg4619729#msg4619729 Posté le 16-03-13 à 14:15
Posté par Profilretyry retyry

On en déduit que la limite de u_n  +  u_{n-1} est 0. Donc u_n est 0.
re : Intégrale (post-bac)#msg4619782#msg4619782 Posté le 16-03-13 à 14:33
Posté par ProfilLabo Labo

OK
re : Intégrale (post-bac)#msg4619784#msg4619784 Posté le 16-03-13 à 14:34
Posté par Profilretyry retyry

Merci beaucoup pour ton aide.

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * primitives en terminale
    3 fiches de mathématiques sur "primitives" en terminale disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014