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Exercice sur structure d'espace vectoriel


iutExercice sur structure d'espace vectoriel

#msg4626569#msg4626569 Posté le 19-03-13 à 23:31
Posté par Profilfiremario firemario

bonjour, j'ai fait un exercice sur les espaces vectoriels mais je n'est pas tous compris :

Enonce :

    - On défini sur R2 la loi de composition interne usuelle

R2 x R2 --> R2

((x1,x2),(y1,y2)) --> (x1 + y1, x2 + y2)

et la loi de composition externe *

R x R2 --> R2

(,(x1,x2)) --> (x1,x2) = *(x1,x2)

(R2,+,*) est-il un espace vectoriel sur R ?

     - Même question en remplaçant * par . défini par :

R x R2 --> R2

(,(x1,x2)) --> (2x1,2x2) = .(x1,x2)

REMARQUE :
-------------

On définit sur R2 la loi de composition

R2 x R2 --> R2

((x1,x2),(y1,y2)) --> (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1)  = (x1,x2)(y1,y2)

Et la loi de composition externe *

R x R2 --> R2

(,(x1,x2)) --> (x1 - (1-),x2-(1-))=*(x1,x2)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

REPONSE :
-----------

V et V' sont des vecteurs de coordonnées (x1,x2) et (y1,y2)

+ (V+V')= x (x1+y1, x2+y2) = ((x1+y1),x2+y2) = (x1+x2,x2+y2)

*V+*V' = * (x1,x2) + *(y1,y2) = (x1,x2) + (y1+y2)

on a bien *(V+V') = *V + *V' = (x1+y1,x2+y2)

1) Quelle propriété utilise t-on pour en arriver là ?
2) d'où sort
3) pourquoi fait on cela ?

Soit ,R, V=(x1,x2)

(+)*V = ((+)x1,x2)

*V+*V = *(x1,x2)+*(x1,x2)
= (x1,x2) + (x1,x2)
= (x1 + x1, 2x2)

si x2 0 alors (+)*V *V+*V

5) Alors c'est un espace vectoriel ?

on utilise la propriete sur la loi externe : ,R,(+).V=.V+.V

,R, V=(x1,x2)R2
(+).V = (.).(x1,x2) = ((+)2x1,(+)2x2)

.V+.V = (2x1,2x2)+(2x1,x1)
=((2+2x1,(2+2)x2)

donc en général c'est différent
2+2(+)2 si 0

Donc par exemple pour ==1 et x10

(+).V.V+.V

6) Pourquoi utilise t-on ces propriétés et pas d'autre pour démontrer que c'est un espace vectoriel ?

Les questions que je me pose sont celles écrites en gras.

Je vous remercie d'avance !
re : Exercice sur structure d'espace vectoriel#msg4626833#msg4626833 Posté le 20-03-13 à 11:53
Posté par Profilboninmi boninmi

C'est très confus. Ta "REPONSE" est la réponse à quelle question ? Montrer que R2 muni des lois usuelles est un espace vectoriel ? Alors cette réponse est fausse. Est-ce ta réponse ou un corrigé (mal recopié ?).
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re : Exercice sur structure d'espace vectoriel#msg4626897#msg4626897 Posté le 20-03-13 à 13:18
Posté par Profilfiremario firemario

Reponse c'est le corrigé du prof.

Les question 1, 2, 3 ... c'est les questions que je me pose ...
re : Exercice sur structure d'espace vectoriel#msg4627335#msg4627335 Posté le 20-03-13 à 16:54
Posté par Profilboninmi boninmi

OK, je n'avais pas vu que la loi externe n'était pas la loi usuelle. Il reste une accumulation de coquilles dans la deuxième ligne de ta REPONSE: la loi externe notée successivement *, +, x , ça n'aide pas la compréhension, un x2 à la place d'un y1 qui fait peut-être que tu ne vois pas d'où sort l'égalité finale.

Citation :
1) Quelle propriété utilise t-on pour en arriver là ?

On utilise simplement la définition de la loi externe. Où est-ce que tu ne comprends pas ?

Citation :
2) d'où sort
3) pourquoi fait on cela ?

Pour démontrer que la loi externe respecte la définition d'un espace vectoriel, on doit montrer qu'elle est distributive par rapport à la loi interne (addition vectorielle). Pour cela, il faut choisir un réel et deux vecteurs quelconques. Qu'on appelle le réel k, ou n'a strictement aucune importance.

Citation :
5) Alors c'est un espace vectoriel ?

Non, puisque la distributivité à droite n'est pas vérifiée.

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