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Avec le centre de gravité d'un triangle

Posté par
dylandu68
27-03-13 à 10:45

Bonjour, J'ai besoin de votre aide car je comprend rien a cette exercice merci

Voici l'énoncé :

1) Soit un triangle ABC. On se propose de construire le point G tel que GA+GB+GC=0 (ce sont des vecteurs)
On nomme I le milieu du coté [BC] et J le milieu du coté [AC]

a) Démontrer que AG=2/3AI (ce sont des vecteurs)
b) Démontrer que BG=2/3BJ (ce sont des vecteurs)

2) ABC est un triangle équilatéral de coté 6. On note G son centre de gravité et I le milieu de [BC]
Calculer : BC.BG , GA.BC , IG.AC , AG.BA , GA.CA (ce sont des vecteurs)

3) Soit ABC un triangle tel que AB=10, BC=6 et AC=7
On nomme G son centre de gravité. Calculer GA²+GB²+GC² (ce ne sont pas des vecteurs)


Merci

Posté par
watik
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 27-03-13 à 11:09

bonjour

1)
a)
utilises chasles

GA+GB+GC=GA+(GA+AB)+(GA+AC)
        =3GA+(AB+AC)
I milieu de [BC] donc AB+AC=2AI
donc
GA+GB+GC=3GA+2AI
comme GA+GB+GC=0 donc
3GA+2AI=0
donc
GA=-(2/3)AI
-AG=-(2/3)AI
AG=(2/3)AI

b) je te laissse faire: fais de même qu'n a)

2)
BC.BG=BC.((2/3)BJ
     =(2/3)BC.BJ
     =(2/3)||BC||*||BJ||cos(BC;BJ)
     =(2/3)6*(V3/2)*6cos(30°)
     =(2/3)*36*(V3/2)(V3/2)
    =36
je te laisse faire les autres

3)
GA²+GB²+GC²=GA²+(GA+AB)²+(GA+AC)²
           =GA²+(GA²+2GA.AB+AB²)+(GA²+2GA.AC+AC²)
           =3GA²+2GA.(AB+AC)+(AB²+AC²)
on a : 3GA=AB+AC
donc
GA²+GB²+GC²=(1/3)(AB+AC)²+(2/3)(AB+AC)²+(AB²+AC²)
           =(AB+AC)²+AB²+AC²
           =AB²+AC²+2AB.AC+AB²+AC²
           =2AB²+2AC²+2AB.AC

on a
BC=AC-AB donc
BC²=(AC-AB)²
   =AC²+AB²-2AB.AC
donc
2AB.AC=AC²+AB²-BC²
donc
GA²+GB²+GC²=2AB²+2AC²+(AC²+AB²-BC²)
           =3AB²+3AC²-BC²
donc
GA²+GB²+GC²=3(10²)+3(7²)-6²
           =300+147-36
           =300+111
           =411
-------------
voila

Posté par
Priam
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 27-03-13 à 11:09

1)a) Pars de la relation vectorielle de définition du point G et décompose, selon la règle de Chasles, les vecteurs GB et GC pour faire intervenir le point A.

Posté par
dylandu68
re 27-03-13 à 11:23

Merci beaucoup je vais essaie de comprendre tous sa :p

Posté par
dylandu68
re 27-03-13 à 12:43

Ya pas plus simple pour le deux

bc.bg= BC X BG = 6 X 3
?? merci

Posté par
Priam
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 27-03-13 à 14:12

BC.BG = BC.BI = BC*BI = 6*3 = 18.

Posté par
dylandu68
re 28-03-13 à 21:31

Je me dissai aussi et j ai oublié une question

1. c. en déduire que g et le centre de gravité du triangle

Je peu faire une figure pour le demontrer ??

Posté par
dylandu68
re 28-03-13 à 22:24

enfaite je vien de trouver ces grace au médiane

Posté par
bloo
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 19-05-13 à 17:08

Bonjour! J'ai le même exo et je suis bloqué à la question 2 :
BC.BG = BC.BC = BG*BG = 18
GA.BC = 0 car GABC
IG.AC = ?
AG.BA = 3*(-6) = -18
GA.CA = 3*6 = 18

Pouvez vous me dire si c'est exact et m'aider pour IG.AC ?

Posté par
bloo
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 19-05-13 à 17:12

BC.BG = BC.BC = BC*BC = 18 pardon

Posté par
Thisisme
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 05-03-14 à 09:29

Moi pour la question 3 j'ai trouvé environ 61,7, en utilisant le théorème de la médiane, j'ai considéré les 3 médianes avec avec D milieu de AC, E milieu de AB et F milieu de BC.
De la j'ai calculé GA, GB et GC, en calculant AF, BD et CE et en prenant les 2/3. A la fin j'ai calculé GA²+GB²+GC² et sa me donne environ 61,7.
Quelqu'un pourrait me dire ce qu'il en pense svp ?

Posté par
Thisisme
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 05-03-14 à 09:32

Et watik, pourquoi dans la question 1 AB+AC=2AI si I milieu de BC ?

Posté par
hitachi77
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 29-05-14 à 19:27

bonjour j'aurai besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît..
pour la deuxième question j'ai trouvé les même résultats que Bloo et non les même que Watik , pourrais-je savoir où je me suis trompée s'il vous plaît?

Merci d'avance de votre aide

Je suis également perdue pour IG.AC

Posté par
hitachi77
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 29-05-14 à 21:23

Posté par
apollo
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 02-02-16 à 21:11

Et thisisme, comment tu as fait pour calculer la longueur des médianes?

Posté par
Priam
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 02-02-16 à 21:44

Thisisme a calculé la longueur des médianes en utilisant le théorème de la médiane.
Soit un triangle ABC et I le milieu du côté BC. Selon ce théorème, on a la relation suivante :
AB² + AC² = 2AI² + BC²/2 .

Posté par
shiriu
re : Avec le centre de gravité d'un triangle 03-03-17 à 14:21

Bonjour,
Il y a une faute de signe dans la solution proposée par Watik, on a
AG=(1/3)(AB+AC) et non GA=(1/3)(AB+AC)
ainsi, en reprenant les calculs on obtient
GA²+GB²+GC²=(1/3)(AB²+AC²+BC²) ce qui est plus logique puisque, GA , GB et GC jouent des rôles identiques...



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