f(x)= arccos(cosx)+ arcsin(sinx)

La fonction est périodique de période 2pi.

On se place sur [0;2pi[. On peut trouver une forme explicite de f

[0 pi] : arccos(cos(x)) = x
]pi;2pi[ : arccos(cos(x)) = 2pi-x
[0;pi/2] : arcsin(sin(x)) = x
]pi/2;3pi/2] : arcsin(sin(x)) = pi-x
[3pi/2;2pi[ : arcsin(sin(x)) = x-2pi

En séparant [0;2pi[ en quelques intervalles, on en déduit une expression de f sous forme "affine par morceaux".

Sauf erreur.

Nicolas

Hello  

La dérivée de Arccos(y), c'est -1/V(1-y^2), avec V pour "racine"
Et celle de Arcsin, c'est 1/V(1-y^2).

Bizarre, ton 1/cos'....

Je ne fais pas tout, mais il y a une histoire de valeurs absolues qui nous contraint à étudier tout cela sur différents intervalles, en fonction des signes conjoints de sin et cos... Enfin bon.

A+
biondo

Arf.

D'un chouilla.
Salut Nicolas

Salut, biondo !

f(x)= arccos(cosx)+ arcsin(sinx)

f est 2Pi périodique.

arcsin(sinx) = -Pi - x ()
arcsin(sinx) = x (sur [-Pi/2 ; Pi/2])
arcsin(sinx) = Pi - x (sur [Pi/2 ; Pi])

arccos(cosx) = |x| (sur [-Pi ; Pi])

Donc

f(x) = -Pi - 2x   sur [-Pi ; -Pi/2]
f(x) = 0  sur [-Pi/2 ; Pi/2]
f(x) = 2x sur [0 ; Pi/2]
f(x) = Pi sur [Pi/2 ; Pi]
-----
C'est plus facile de continuer. Non ?

Sauf distraction.  

Trop tard.  

heu oui qu'est ce que j'ai fait. Je  connais que ça pourtant la dérivée arccos et d'arcsin. :/

Bein non c'est pas si débile. C'est juste que je n'ai pas écrit la dérivée jusqu'au bout.
arccos'(cosx)= 1/cos'(x)= -1/ sinx= -1/ V(1- cos^2 x)

Donc mon 1/cos'(x) et mon 1/sin'(x) n'étaient pas absurdes il me semble.

Par contre je comprends bien les nuances qu'il faut faire selon la valeur de x. Merci à vous, c'est clair, maintenant.

Si on prend la peine de redéfinir f(x) par:

f(x) = -Pi - 2x sur [-Pi ; -Pi/2]
f(x) = 0 sur [-Pi/2 ; Pi/2]
f(x) = 2x sur [0 ; Pi/2]
f(x) = Pi sur [Pi/2 ; Pi]
et f(x) est 2 Pi périodique

On n'a plus besoin alors des dérivées des arcos et arcsin, tout est alors immédiat...

Dans la ligne de biondo, je trouve :

[arccos(cos(x))]' = (signe de sin(x))*1
[arcsin(sin(x))]' = (signe de cos(x))*1

Sauf erreur.

Nicolas

letonio, je ne comprends pas ton :
arccos'(cosx)= 1/cos'(x)

J'ai dit que lorsque x appartient à [0,pi]
si je note y= cosx

arccos (y) = 1/ cos'(x)= -1/ sinx =....

Je ne comprends pas ce qui cloche, à part que j'avais oublié (et même méchamment oublié) de m'intéresser aux intervalles que vous m'avez indiqués. Je suis repassé par la formule de dérivation des fonctions réciproques.  

J'ai beaucoup de mal à retrouver les valeurs d'arccos(cosx) et d'arcsin(sinx) en fonction de x.

Avec quoi je peux le "voir"? J'ai essayé avec un cercle de trigo ou avec un repère. Tout ce que j'arrive à voir, c'est que les sens de variation ne sont pas forcément les mêmes.

Sur [pi, 2pi], arccos (cosx) décroît.   arccos(cos pi)= pi
arccos(cos 2pi)= 0
d'où le   arccos(cosx)= 2pi -x
En gros j'arrive à peu près à le retrouver au feeling. Mais ça n'est pas très rigoureux comme "démonstration". :/

g(x) = arccos(cos(x))
g(-x) = arccos(cos(-x))
g(-x) = arccos(cos(x))
g(-x) = g(x)

g est donc paire.
g est aussi 2 Pi périodique.

dans [0 ; Pi], on a arccos(cos(x)) = x
comme g est paire --> dans [-Pi;0], on a arccos(cos(x)) = -x

On connait donc g(x) = arccos(cos(x)) sur [-Pi ; Pi] et comme g(x) est 2 Pi périodique, tout est dit.
-----
h(x) = arcsin(sin(x))
h(-x) = arcsin(sin(-x))
h(-x) = arcsin(-sin(x))
h(-x) = -arcsin(sin(x))
h(-x) = -h(x)

h est donc impaire.
h est aussi 2 Pi périodique.

Il suffit donc détudier h(x) sur [0;Pi]
h(x) = x  sur [0;Pi/2]
h(x) = Pi - x  sur [Pi/2 : Pi]

Avec la parité de h, on a donc:

arcsin(sinx) = -Pi - x sur[-Pi ; -Pi/2]
arcsin(sinx) = x sur [-Pi/2 ; Pi/2])
arcsin(sinx) = Pi - x sur [Pi/2 ; Pi]

On connait donc h(x) = arcsin(sin(x)) sur [-Pi ; Pi] et comme h(x) est 2 Pi périodique, tout est dit.
-----
OK ?

Sauf distraction.  

Super merci à toi (à vous tous). Tout est clair

Je croyais que c'était clair, mais en reprenant le raisonnement dans le détail, je me plante. J'essaie de rédiger, histoire que vous m'indiquiez ce qui cloche.

Soit g(x)= arccos(cosx)
g est paire et 2pi périodique.

sur [0,pi/2]  g(x)=x

arccos(cos (-x))= arccos(cos(x)) donc
sur [-pi/2,0]  arccos(cosx) = -x

sur [pi/2,pi]   g(x)= x

sur [-pi,-pi/2]  g(x)= -x

Je sais que je donne des intervalles en trop, mais c'est pour essayer d'y voir plus clair.
________________________________________________________

Soit h(x)= arcsin(sinx)
h est impaire et 2pi périodique.

sur [-pi/2,pi/2]  h(x)= x


arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x) )= arcsin( sin(-x+pi)) donc
sur [pi/2,pi]  h(x)= -x +pi

sur [-pi,-pi/2]   on a h(-x)= -h(x) donc
arcsin(sinx)= - (-x+pi)= x -pi  
C'est sans doute là qu'est mon erreur... Mais je ne retrouve pas le résultat de J-P
_________________________________________________________________

Donc
sur [0,pi/2]   arccos(cosx)+ arcsin(sinx)= x+x= 2x
sur [pi/2, Pi]   f(x)= x- x +pi = pi    ça aussi ça ne fonctionne pas
sur [-pi,-pi/2]  f(x)= -x +x -pi= -pi    ce qui ne fonctionne pas non plus
sur [-pi/2, 0]   f(x)= -x +x =0          et zut

Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer ce qui cloche ?

??

??

Mon message a été effacé...
J'ai repris dans le détail le raisonnement, et je bloque sur une partie. Je n'arrive pas à retrouver
arcsin(sinx) = -Pi - x sur[-Pi ; -Pi/2]
Du coup tous mes résultats sont faux. Pourriez-vous me détailler le raisonnement qui amène à ça?

Voilà ce que j'ai fait:
arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x))= arcsin(sin(-x+Pi))
Donc sur [Pi/2 ; Pi]  arcsin(sinx)= arcsin(sin(-x+pi)) = pi-x

Et sur sur[-Pi ; -Pi/2], comme h est impaire,
arcsin(sinx)= -(pi-x)= x -pi

??

??

C'est ton raisonnement pour calculer f(-x) qui est faux.

Pour une fonction impaire, on a bien f(x) = -f(-x)

Mais dans ton raisonnement tu tiens compte du - qui est devant le f, mais tu oublies le moins qui est entre les parenthèses.

A la fin de ton raisonnement, IL FAUT encore changer le signe de x.

donc au lieu de trouver x-Pi, tu trouveras -x - pi
-----
Sauf distraction.  

Ok j'ai repris tout ça. Je suppose que l'idée est qu'arcsin doit renvoyer une valeur comprise entre -pi/2 et pi/2.
donc
pour x sur [-pi,pi/2]
arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x))= arcsin(sin(-x-pi))= -x -pi
Je n'arrive pas trop à le retrouver en passant par les propriétés des fonctions impaires. Je m'emmêle les pinceaux :/

En tout cas après ça fonctionne. Si quelqu'un peut me donner une méthode plus subtile que ce que j'ai écrit (arcsin(sinx)= arcsin(-sin(-x))= arcsin(sin(-x-pi))= -x -pi), ça m'interesse.

Merci à tous