Bonsoir, je m'entraîne pendant les vacances en faisant des exercices sur les nombres complexes.
Il s'agit ici de résolution d'équations dans C et je n'arrive pas à trouver les solutions de deux équations.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici les deux équations:
1) z^3+1=0.
2) z^4-2z^3-z²-2z+1=0 (Il est donné comme indication de poser Z=z+(1/z)).
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir.
1) Pour tout complexe z, z^3+1=0 <=> (z + 1)(z^2 - z +1) = 0
La solution z=-1 devient évidente. Pour les deux autres, il te suffit de résoudre l'équation du second degré, ce qui devrait être assez simple à faire.
2)Suis l'indication qui t'es donnée.
Bonjour.
-1 est racine évidente de la première équation, donc tu peux factoriser par (z+1), ce qui donne :
(z+1)(z²-z+1)=0
Il y a donc -1 et les racines de z²-z+1
Quand à la deuxième, que se passe-t-il si tu poses Z=z+(1/z) ? ...
Ah ok pour la premiere j'ai compris et je trouve 3 solutions: -1; (1/2)-(3/2)i et (1/2)+(3)/2)i.
Pour la deuxième malgré l'indication, je comprends comment poser Z=z+(1/z).
Merci encore pour votre aide.
Bonsoir,
si malgré l'indication tu comprends, tout baigne !!
ah ! tu veux dire que malgré l'indication tu ne comprends pas ...
z = 0 n'étant évidemment pas solution l'équation est équivallente à :
(z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1)/z^2 = 0
soit
z^2 - 2z - 1 - 2/z + 1/z^2 = 0
ou encore
(z^2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0
développes (z + 1/z)^2 histoire de retrouver le z^2 + 1/z^2 et d'exprimer ton équation en fonction de Z = z + 1/z seulement
et ainsi d'obtenir une simple équation du second degré en Z
ensuite tu résous l'équation (du second degré aussi) en z : z + 1/z = Z pour avoir z
ce qui te donne les 2*2 = 4 solutions comme attendu
Bonjour,
, les coefficients
peuvent être lus de gauche à droite ou de droite à gauche:
{1,-2,-1,-2, 1}
dans ce cas nous avons:
Le procédé est valable pour tout polynôme Pn(z) symétrique,
Alain
Voici ce que j'ai réussi à faire:
z^4-2z^3-z²-2z+1=0 équivaut à (z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1)/z^2 = 0 équivaut à z^2 - 2z - 1 - 2/z + 1/z^2 = 0 équivaut à
(z^2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0 équivaut à (z+(1/z))²-2(z+(1/z))-3=0 car (z+(1/z))²=z²+(1/z²)+2.
On pose Z=z+(1/z), on a donc: Z²-2Z-3=0. =16. Donc, il existe deux solutions réelles: -1 et 3.
Comme Z=z+(1/z), on a z+(1/z)=-1 équivaut à z²+z+1=0. =-3.
Donc il existe deux solutions complexes: (-1/2)-(3/2)i et (-1/2)+(3/2)i.
On a aussi: z+(1/z)=3 équivaut à z²-3z+1=0. =5.
Il existe donc deux solutions réelles: (3-5)/2 et (3+5)/2.
Ce qui nous fait bien 4 solutions.
Merci beaucoup.
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