logo

Nombres complexes: équations.


terminaleNombres complexes: équations.

#msg4749507#msg4749507 Posté le 11-07-13 à 23:16
Posté par ProfilHenry2095 Henry2095

Bonsoir, je m'entraîne pendant les vacances en faisant des exercices sur les nombres complexes.
Il s'agit ici de résolution d'équations dans C et je n'arrive pas à trouver les solutions de deux équations.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici les deux équations:
1) z^3+1=0.
2) z^4-2z^3-z²-2z+1=0 (Il est donné comme indication de poser Z=z+(1/z)).

Merci d'avance pour votre aide.
re : Nombres complexes: équations.#msg4749508#msg4749508 Posté le 11-07-13 à 23:35
Posté par ProfilErainel Erainel

Bonsoir.

1) Pour tout complexe z, z^3+1=0 <=> (z + 1)(z^2 - z +1) = 0
La solution z=-1 devient évidente. Pour les deux autres, il te suffit de résoudre l'équation du second degré, ce qui devrait être assez simple à faire.

2)Suis l'indication qui t'es donnée.
Publicité

re : Nombres complexes: équations.#msg4749509#msg4749509 Posté le 11-07-13 à 23:36
Posté par ProfilWilliamM007 WilliamM007

Bonjour.

-1 est racine évidente de la première équation, donc tu peux factoriser par (z+1), ce qui donne :
(z+1)(z²-z+1)=0
Il y a donc -1 et les racines de z²-z+1

Quand à la deuxième, que se passe-t-il si tu poses Z=z+(1/z) ? ...
re : Nombres complexes: équations.#msg4749510#msg4749510 Posté le 12-07-13 à 00:14
Posté par ProfilHenry2095 Henry2095

Ah ok pour la premiere j'ai compris et je trouve 3 solutions: -1; (1/2)-(3/2)i et (1/2)+(3)/2)i.
Pour la deuxième malgré l'indication, je comprends comment poser Z=z+(1/z).

Merci encore pour votre aide.
re : Nombres complexes: équations.#msg4749514#msg4749514 Posté le 12-07-13 à 01:22
Posté par Profilmathafou mathafou

Bonsoir,

si malgré l'indication tu comprends, tout baigne !!
ah ! tu veux dire que malgré l'indication tu ne comprends pas ...

z = 0 n'étant évidemment pas solution l'équation est équivallente à :

(z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1)/z^2 = 0
soit
z^2 - 2z - 1 - 2/z + 1/z^2 = 0
ou encore
(z^2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0

développes (z + 1/z)^2 histoire de retrouver le z^2 + 1/z^2 et d'exprimer ton équation en fonction de Z = z + 1/z seulement
et ainsi d'obtenir une simple équation du second degré en Z
ensuite tu résous l'équation (du second degré aussi) en z : z + 1/z = Z pour avoir z

ce qui te donne les 2*2 = 4 solutions comme attendu
re : Nombres complexes: équations.#msg4749546#msg4749546 Posté le 12-07-13 à 11:58
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Bonjour,


p(z)= z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1 , les coefficients
peuvent être lus de gauche à droite ou de droite à gauche:
{1,-2,-1,-2, 1}
dans ce cas nous avons:
p(z)/z^2=(z+1/z)^2+b(z+1/z)+c


Le procédé est valable pour tout polynôme Pn(z) symétrique,


Alain
re : Nombres complexes: équations.#msg4749554#msg4749554 Posté le 12-07-13 à 12:18
Posté par ProfilHenry2095 Henry2095

Voici ce que j'ai réussi à faire:

z^4-2z^3-z²-2z+1=0 équivaut à (z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1)/z^2 = 0 équivaut à z^2 - 2z - 1 - 2/z + 1/z^2 = 0 équivaut à
(z^2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0 équivaut à (z+(1/z))²-2(z+(1/z))-3=0 car (z+(1/z))²=z²+(1/z²)+2.
On pose Z=z+(1/z), on a donc: Z²-2Z-3=0. =16. Donc, il existe deux solutions réelles: -1 et 3.

Comme Z=z+(1/z), on a z+(1/z)=-1 équivaut à z²+z+1=0. =-3.
Donc il existe deux solutions complexes: (-1/2)-(3/2)i et (-1/2)+(3/2)i.

On a aussi: z+(1/z)=3 équivaut à z²-3z+1=0. =5.
Il existe donc deux solutions réelles: (3-5)/2 et (3+5)/2.

Ce qui nous fait bien 4 solutions.
Merci beaucoup.
re : Nombres complexes: équations.#msg4750917#msg4750917 Posté le 18-07-13 à 14:53
Posté par Profilmathshule mathshule

Salut ! l'exercice est résolu maintenant mais je suis interresé par la poste de alainpaul

C'est quoi les polynomes a coefficients symétriques et leurs relations avec les racines du polynomes ?

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * nombres complexes en terminale
    1 fiches de mathématiques sur "nombres complexes" en terminale disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014