Challenge n°130

Posté par puisea puisea

Bonjour,

Une poule pond un oeuf tous les jours. On a le choix entre vendre l'oeuf immédiatement ou attendre 90 jours afin d'avoir une autre poule prête à pondre quotdiennement (bien entendu l'autre poule continue à pondre quotidiennement). Un oeuf pondu le jour n donne alors une poule pondeuse le jour n+90, qui commence immédiatement à pondre. Le père Gutcho possède une poule (et un coq).
Combien pourra-t-il avoir vendu d'oeufs, au maximum, au bout de 360 jours ?
On suppose qu'il a toujours la chance d'obtenir des poules et non des coqs et qu'il s'y prend le mieux possible.

Bonne chance à tous !

Posté par piepalm piepalm

A moins de 90 jours du terme, on aura bien sûr interêt à garder les oeufs, à 91 jours, l'opération est neutre, et à plus de 92 jours, il vaut mieux faire couver l'oeuf.
On ne commencera donc à vendre les oeufs qu'à 90 jours du terme (271ème jour)
Quel est le nombre de poules au jour n<=360 ?
Du 1er au 90ème jour, il n'y a qu'une poule.
Du 91ème au 180ème jour, une poule de plus chaque jour: n-89, soit 91 au 180ème jour
Du 181ème au 270 ème jour, n-179 poules de plus chaque jour, soit
91+2+...+(n-179)=90+(n-179)(n-178)/2=n²/2-357n/2+16021 donc 4276 le 270ème jour
Etc... ça se calcule, mais comme ça n'a rien de passionnant, il est plus simple de faire faire le calcul par son tableur préféré. Si je ne me suis pas trompé en l'utilisant, on doit avoir vendu 99541443 oeufs et avoir 3944941 poules au 360ème jour, en espérant que la grippe aviaire ne vienne pas décimer ce bel élevage...
(Pour un seul coq, ça commence à faire du boulot!)

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Il est évident qu'il est préférable de garder un œuf plutôt que de le vendre dès l'instant où la poule obtenue peut pondre au moins un œuf, c'est à dire jusqu'au 270 ème jour inclus, puisque la poule née ce jour donnera un œuf le 360ème jour.
Du 271ème jour au 360ème jour par contre, il faut récolter les œufs.
On laissera donc éclore les œufs de la poule P1 (Pn désignant une poule née le jour n), pendant les 90 premiers jours.

Du 91ème jour au 180ème jour :
Au 91ème jour, 2 poules (P1+P91) pondront
Au 92ème jours, 3 poules (P1+P91+P92) pondront
Au (90 +i) jour, (i+1) poules (P1+P91+P92+…P(90+i)) pondront
Au 180ème jour, 91 poules pondront.

Du 181ème jour au 270ème jour :
Au 181ème jour, 93 poules (91+2*P181) pondront
Au 182ème jours, 96 poules (91+2*P181+3*P182) pondront
Au (180 +i) jour, (91 +((i+2)(i+1)/2 -1) poules pondront
Au 270ème jour, N= 91+ ((92*91/2) - 1) = 90 +46*91 = 4276 poules pondront.

A partir de ce moment, on récupère les œufs.
Au 271ème jour, on récupère N + 93 oeufs (provenant de N poules + 93*P271).
Au 272ème jour, on récupère N + 93 + 96 oeufs (provenant de N poules + 93*P271 + 96* P272).
Au (270 +i)ème jour, on récupère N + 93 +96 + ….(91 +((i+2)(i+1)/2 -1) œufs
Au 360ème jour, on récupère N + (93 + 96 …+ N) oeufs

On récupère donc au total :
T = 90*N + [91*90+ (2*90 +3*89 + …(i+1)*(91-i) +..91*1)] = 90*N +91*90+[somme de i=1 à i=90 [(i+1)(91-i)]] = 90*N +90*91 +[somme de i=1 à i=90 [91+90*i-i2)]] =
90*N +90*91 + [90*91 + somme de i=1 à i=90 (90*i) - somme de i=1 à i=90 (i²)] =
Comme sigma de i² = k(k+1)(2k+1)/6
T = 90*N +90*91 [(91*90)+(90*(90*91/2)- (90*91*181/6) )
T = 384840 +8190 + [8190 + 368550 - 247065] = 522705 oeufs.
En comptant évidemment ce qui est pondu le 360ème jour.

Posté par goupi1 (invité)

3 802 800

Posté par borneo borneo

Cette énigme me semble bien moins dure que le sudoku.... mais je n'ai peut être pas juste.
J'ai fait deux colonnes, une pour les poules et une pour les oeufs. Au bout de 360 jours, j'ai un certain nombre de poules et un certain nombre d'oeufs. Toutes les poules sauf la première viennent des oeufs, donc je déduis du nombre total d'oeufs produits le nombre d'oeufs nécessaires pour avoir les poules. Ce qui revient à garder les oeufs pour avoir des poules jusqu'à 360-90 jours. Après on vend tous les oeufs.

On peut produire au maximum 3 802 800 oeufs pour les vendre.

Merci pour l'énigme.

Posté par Youpi Youpi

Je trouve au maximum 3 802 800 oeufs au bout de 360 jours.
Pour cela il faut vendre tous les oeufs à partir du 271ème jour.

Posté par franz franz

Je dirais                           (pauvre coq !!)

Posté par diaboliste (invité)

je dirai ds les 537 mai je sui tres loin d'en etre sur !! lol

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée :3 802 800 oeufs

Méthode proposée :

Afin de mieux comprendre ce qu'il pouvait se passer, et surtout pour ne pas se laisser perturber par les multiples de 90 ou 91, j'ai d'abord cherché à résoudre le pb simplifié en divisant 90 et 360 par 30 : on obtient alors l'énoncé simplifié :
"Une poule pond un oeuf tous les jours; un oeuf pondu à Jn produit une poule pondeuse dès J(n+3); Combien d'oeufs en 12 jours ? "

La résolution de cet énoncé simplifié m'a permis de voir qu'il n'y avait plus d'intérêt à faire couver les oeufs au-delà du 9° jour, c'est à dire la durée de génération oeuf-poule pondeuse (3 j pour le pb simplifié vs 90 j pour l'énoncé réel).
J'ai pu constater, également, la croissance quasi-exponentielle (je dis peut-être une bétise...) d'oeufs générés au cours du temps ainsi que des périodes générationnelles (3j  vs 90j) pour lesquelles la croissance est de même type.

Ainsi, en transposant à l'énoncé réel, il "suffira" de compter les oeufs présents à compter du 271° jour, c'est-à-dire pendant les 90 derniers jours.

Appelons "première génération" celle issue des 90 premiers oeufs de la poule-mère, aussi appelé mère-poule :
l'oeuf de J1 (Jour n°1) fournira une pondeuse en J91 => en J91, il y a 2 oeufs, celui-ci plus celui de la mère-poule,
l'oeuf de J2 (Jour n°2) fournira une pondeuse en J92 => en J92, il y a 3 oeufs, celui-ci plus les précédents,
...
l'oeuf de J89 (Jour n°89) fournira une pondeuse en J179 => en J179, il y a 90 oeufs, celui-ci plus les précédents,
l'oeuf de J90 (Jour n°90) fournira une pondeuse en J180 => en J180, il y a 91 oeufs, celui-ci plus les précédents,
Ces 90 premiers oeufs ayant généré des poules, ils ne sont donc plus à comptabiliser dans la somme finale.

Continuons la "deuxième génération", celle issue des oeufs de J91 à J180 :
Les 2 oeufs de J91 fournissent 2 pondeuses supplémentaires en J181 => en J181, il y a 93 oeufs : 90+1+2
Les 3 oeufs de J92 fournissent 3 pondeuses supplémentaires  en J182 => en J182, il y a 96 oeufs : 90+1+2+3
Les 4 oeufs de J93 fournissent 4 pondeuses supplémentaires en J183 => en J183, il y a 100 oeufs : 90+1+2+3+4
...
Les 90 oeufs de J179 fournissent 90 pondeuses supplémentaires en J269 => en J269, il y a  90+1+2+3+4+...+90
Les 91 oeufs de J180 fournissent 91 pondeuses supplémentaires en J270 => en J270, il y a  90+1+2+3+4+...+91=X
Comme précédemment les oeufs de J91 à J180 ayant généré des pondeuses ne sont plus à comptabiliser dans la somme finale.

Continuons la "troisième génération", celle issue des oeufs de J181 à J270 :
Les 90+1+2 oeufs de J181 fournissent 90+1+2 pondeuses en J271 => en J271, il y a X+90+1+2 conservés 90 j,
Les 90+1+2+3 oeufs de J182 fournissent 90+1+2+3 pondeuses en J272 => en J272, il y a X+90+1+2+3 conservés 89j,
Les 90+1+2+3+4 oeufs de J183 fournissent 90+1+2+3+4 pondeuses en J273 => en J273, il y a X+90+1+2+3+4 conservés 88j,
...
Les 90+1+2+...+91 = X oeufs de J270 fournissent 90+1+2+...+91 = X pondeuses en J360 => en J360, il y a X+90+1+2+...+91 conservés 1j,

Il "suffit" des faire la somme des oeufs présents à compter du 271°jour :

(X+90+1+2)*90 = (2*90+(91*92)/2 +1+2)*90 = 90(2*90+46*91+1+2)
soit
(X+90+1+2)*90 =  90*4366+90*(1+2)
(90+1+2+3)*89 = 90*89+89(1+2+3)
(90+1+2+3+4)*88 = 90*88+88(1+2+3+4)
...
(90+1+2+...+91)*1 = 90*1+1(1+2+...+91)

soit la somme S :

S = 90(1+2+...+89+4366)+90(1+2)+89(1+2+3)+88(1+2+3+4)+...+2(1+2+...+90)+1(1+2+...+90+91)
avec Excel, je trouve

S = 3 802 800 oeufs

Sans grande conviction (nombre conséquent) vues les erreurs de calcul possible (intervalles-poteaux), sans parler des erreurs de raisonnement si je suis passé à côté de quelquechose...

Pour puisea :
Dis au père Gutcho d'acquérir plus de coq car, vu le nombre de poules à féconder pendant les 270 premiers jours, je crains que celui-ci ne soit sur les genoux, pardon ... les ergots !
Sauf erreur, le 270° jour, ce coq n'a pas moins de 4 276 poules à honorer (soit une toute les 20 secondes) !
Si la SPA passe par là, saches que le harcèlement est passible de peines lourdes

Merci pour l'énigme, qui risque néanmoins de se solder par un

Philoux

Posté par kyrandia (invité)

bonjour,

J'ai fait un petit programmme informatique en adoptant cette hypothèse de travail.

Je préfère toujours garder mon oeuf en vue d'avoir une poule, sauf si je me rend compte que cette poule n'aura pas le temps de pondre, à cause de la période des 90 jours.
- au jour 125 je garde l'oeuf (car 125 + 90 <= 360)
- au jour 300 je vend l'oeuf (car 300+90 >360)

A la fin j'ai vendu 3802800 oeufs !!!

Posté par aeropostale (invité)

Soit le temps (en jours) pendant laquelle une poule qqconque pond des oeufs. La question est de savoir si la poule a intérêt a pondre des oeufs pendant toute la période de temps ou bien pondre un oeuf et attendre 90 jours afin d'avoir 2 poules qui pondront pendant jours (et ainsi de suite). Ceci n'est vrai que si . En effet, .
Dès lors, il est facile de déterminer qu'il faut obtenir 8 poules au jour 270 pour qu'elles produisent oeufs (une autre poss. serait 4 poules au jour 180 qui produiraient   oeufs. Le nombre maximal d'oeufs qui peut être vendu est donc de 720 oeufs.

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

Jolie énigme pas simple à modéliser mathématiquement.
Il est évident qu'une poule est rentable (ou remplace avantageusement un oeuf) au bout de 90 jours, ainsi la stratégie à adopter est de laisser chaque oeuf devenir une poule jusqu'au 270e jour (les oeufs après n'ayant pas le temps de donner des poules).
Par contre, le dénombrement s'avère délicat. J'ai vaguement essayé avec des suites mais bon je me suis laissé tenter par la méthode borneo.
Avec excel et en 30 secondes chrono, on trouve 142141 poules au 360e jour pour la bagatelle de oeufs !

Merci pour l'énigme.

Posté par TieOum (invité)

Après calcul sous excell, je trouve : 3 802 800 oeufs au bout de 360 jours.

Lancé comme ça, le résultat paraît énorme.
Alors, je me permets de décrire briévement la méthode.
Imaginons qu'on ne vende pas les oeufs à part à la fin de l'année.

alors entre 1 < j < 90 jours, on aura 1 poule qui pond à raison de 1 oeuf par jour. Donc 1 poule et 90 oeufs.

Au jour 91, l'oeuf du jour 1 aura éclos, donc ça nous fera deux poules en ce jour 91. Hors, les poules écloses pondent immédiatement ! Ce qui fait qu'au jour 91, on aura 2 poules et donc 2 nouvels oeufs. Ce qui portera le total à 90+2 - 1 = 91 car il faut retrancher l'oeuf qui vient d'éclore.
Et là, on voit bien évidemment qu'il est plus avantageux de faire éclore les oeufs chaque jour.
Si j'appelle Pj la suite du nombre de poule au jour J et Sj le nombre total d'oeuf pouvant être vendu au jour j, alors je peux écrire.

0 < j < 90 : Pj = 1 et Sj = j (ben oui.. au jour 0, on a bien 1 poule et 0 oeuf)
91 < j < 360 : Pj = Pj-1 + Pj-90 et Sj = Sj-1 - Pj-90 + Pj

Voili voilà voilo mon explication.

Au final, on obtient une bien belle omelette !!!

Posté par Dal (invité)

Ma réponse : 3 802 800 oeufs vendus en tout.

Quand on a le choix entre vendre un oeuf maintenant ou le garder pour avoir une poule qui produira un oeuf dans 90 jours + un autre dans 91 jours + ..., il vaut toujours mieux garder l'oeuf (vendre 1 oeuf contre vendre au moins un oeuf).

Donc, on va garder tous les oeufs jusqu'à jour 270.
Du jour 271 au jour 360, on revend tous les oeufs obtenus, vu qu'ils n'auront pas le temps de produire de poule.

*croise les doigts*

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation à cette énigme...

Posté par piepalm piepalm

C'estellement facile avec un tableur que j'ai fait une colonne de trop: j'ai poussé le calcul à   450 jours, d'où mon nombre d'oeufs astronomique!
A défaut d'oeufs, j'ai eu au moins un poisson!

Posté par borneo borneo

M'enfin... c'était pas dur du tout

Ou alors il me reste quelques souvenirs de mon stage de 1e année dans les vaches et les poules à St Remy en Mauges... bien que mon maître de stage ne m'ait jamais laissé entrer dans le poulailler de peur de faire chuter la courbe de ponte. Vive excel...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'avais bon jusqu'au 270ème jour  !! Puis pédalage dans la semoule, indigestion d'omelettes et patatras !!!
En tout cas, un bravo tout particulier à Philoux et à son humour.
La lecture de sa réponse, la seule aussi détaillée, m'a fait oublier ma déconvenue...J'en rigole encore.

Posté par manpower manpower

Et PAF un intervalle-poteau pour moi... comme le dit Philoux (j'ai sommé à partir de 270 et non 271, voilà ce que c'est de faire ça trop vite!)
Troisième boulette du mois... ça continue. J'vais finir poissonier !
Au passage, bravo Philoux.

En tout cas, il doit y avoir une suite là dessous, mais personne ne semble l'avoir trouvé (une expression explicite "simple" et non une formule de récurrence -voir TieOum-).
Si d'aventure quelqu'un a une idée. Puisea ?

Posté par puisea puisea

Personellement je n'ai pas cerné une méthode avec les suites pour cette énigme.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Merci aux remarques de nofutur2 et manpower, mais je dois vous avouer que, vu le risque d'erreurs de calcul, je m'attendais plus à une brandade qu'à une omelette...

Philoux

Posté par piepalm piepalm

Pour faire ce problème sans tableur (ce que j'aurais du faire...), il faut rappeler les identités
1+...+n=n(n+1)/2
1+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1+...+n^3=n²(n+1)²)/4
Du 1er au 90ème jour, il n'y a qu'une poule.
Du 91ème au 180ème jour, une poule de plus chaque jour: n-89, soit 91 au 180ème jour
Du 181ème au 270 ème jour, n-179 poules de plus chaque jour, soit
91+2+...+(n-179)=90+(n-179)(n-178)/2=(n-180)²/2+3(n-180)/2+91 donc 4276 le 270ème jour
Du 271ème au 360 ème jour (n-270)²/2+3(n-270)/2+91 poules de plus chaque jour soit
(n-270)(n-269)(2n-539)/12+3(n-270)(n-269)/4+91(n-270)+4276 poules ou encore
p(p+1)(2p+1)/12+3p(p+1)/4+91p+4276=p^3/6+p²+(91+5/6)p+4276 avec p=n-270
Soit un nombre d'oeufs cumulés
p²(p+1)²/24+p(p+1)(2p+1)/6+(91+5/6)p(p+1)/2+4276p
=p((p+1)(p(p+1)/24+(2p+1)/6+551/12)+4276)
pour n=360, p=90 le nombre d'oeufs cumulé vaut 3802800

Posté par borneo borneo

Bonjour Piepalm, tes formules m'intéressent, où peut-on les trouver (ou plutôt de quel programme de maths font-elles partie ?)
quand j'ai besoin de ce genre de formule, je suis obligée de créer un exemple numérique sur un tableur et de les trouver moi-même, ce qui me fait perdre beaucoup de temps. Dernièrement, j'ai parcouru les mémobacs de première et de terminale, et je n'ai rien trouvé.
Comment ça s'appelle, quand on fait par exemple 1 + 2 + 3 +.... n ?

ps avec ou sans tableur, à mon avis le plus simple était de trouver toutes les poules, tous les oeufs, et de retirer du nombre d'oeufs le nombre de poules moins la poule de départ. Car chaque poule est sortie d'un oeuf pondu dans cet élevage, sauf la poule de départ. Ce calcul évitait de se tromper entre le 270e et le 271e jour, car on ne regarde que les résultats au 360e jour.

Posté par piepalm piepalm

J'avoue que je ne me souviens pas vraiment à quel niveau j'ai appris ça (il y a longtemps...et les programmes ont changé...) mais c'est de l'arithmétique élémentaire, qui ne doit pas dépasser le niveau terminale.
1+2+...+n=n(n+1)/2 s'appelle le n-ième nombre triangulaire Tn (car nombres de points disposés en triangle de n lignes). On peut de même définir des nombres carrés (qui correspondent à la notion habituelle de carrés puisque 1+3+...+2p+1=p²) pentagonaux, hexagonaux,... et si on ajoute une dimension, des nombres tétraédriques, pyramidaux, cubes, etc...
La valeur des nombres triangulaires se calcule très simplement en rapprochant les extrèmes:
1+2+...+(n-1)+n=(1+n)+ (2+n-1)+...=(n+1)*n/2
Pour les autres formules, je pense que le plus simple est de les démontrer par identification: la somme des puissances p d'entiers de 1 à n est un polynôme à coefficients rationnels de degré p+1 en n, (si mes souvenirs sont bons, il est divisible par n(n+1), et (2n+1) si p est pair)
Si 1+...+n^p=A0*n^(p+1)+...+Ap*n
1+...+(n-1)^p= A0*(n-1)^(p+1)+...+Ap*(n-1) et comme la différence entre les deux est n^p
A0=1/(p+1), et on calcule les Ai de proche en proche en écrivant que le terme en n^(p-i) de la différence est nul...
J'ai fait le calcul pour 1+...+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)

Posté par borneo borneo

Merci. Peut-être qu'un élève de terminale passera pas là et me dira dans quel chapitre on trouve toutes ces formules bien utiles pour les énigmes...

Posté par puisea puisea

Il n'y a qu'un seul endroit où on peut trouver ce genre de formule lorsqu'on est en terminale : c'est lorsqu'on fait spécialité mathématique en série S, c'est uniquement par cette voie que l'on fait tout un trimestre sur l'arithmétique.

Posté par borneo borneo

Merci, je vais jeter un oeil dans mes mémobacs... j'ai dû faire ça dans mon bac C, mais c'est loin.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Moi je les retrouve :
Pour la somme des nombres 1 à n, on, fait la somme membre à membre de :
(n+1)²= n²+2n +1
(n)²= (n-1)²+2(n-1) +1
---
---
---
2²= 1²+2*1 +1

Pour la somme des carrés idem avec .
(n+1)³= n³+2n² +2n+ 1
en utilisant le résultat précédent

Pour la somme des cubes :
(n+1)⁴= n⁴+4n³+6n²+ 4n + 1
en utilisant les résultats précédents

Oui je sais ...ca fait un peu de calcul mais ca évite le formulaire.

Posté par borneo borneo

Jolie énigme à résoudre avec excel