logo

Calcul d'une espérance conditionnelle


licenceCalcul d'une espérance conditionnelle

#msg4838402#msg4838402 Posté le 10-10-13 à 18:19
Posté par Profilsigncross signcross

Bonjour (ou bonsoir...)

J'ai un exercice :
Citation :

Soit (X_n) une suite de variables F-mesurables indépendants de loi exponentielle de paramètre c\in  ]0, +\infty[ .
Soit N : \Omega \to \mathbb{N}^*, une variable géométrique de paramètre p\in]0,1[.

On suppose N indépendante de (X_n)

Calculer \mathbb{E}[N|S] avec S=X_1+...+X_n


J'écris :

\mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]=\frac{\mathbb{E}[1_{N=n} S]}{P(S=s)}

S me perturbe...

Merci de votre aide.
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4839010#msg4839010 Posté le 10-10-13 à 21:24
Posté par Profilsigncross signcross

Bon, personne...

Alors je vais essayer... Tout seul...


 \\ \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]=\frac{\mathbb{E}[1_{S=s} N]}{P(S=s)} = \frac{\mathbb{E}[1_{S=s}] \matbb{E}[N]}{P(S=s)}
 \\ car N indépendante de (X_n)

D'où, \mathbb{E}[N|S]= \dfrac{1}{p}

...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4839106#msg4839106 Posté le 10-10-13 à 22:00
Posté par Profilverdurin verdurin

Bonsoir,
si A et B sont deux variables aléatoires indépendantes, il semble assez évident que l'espérance conditionnelle \mathbb{E}[A|B] est une constante.
Et comme \mathbb{E}[\mathbb{E}[A|B]]=\mathbb{E}[A]\ \ldots
Publicité

re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4841315#msg4841315 Posté le 12-10-13 à 16:19
Posté par Profilsigncross signcross

Bonjour, Verdurin, c'est ça que je me suis dit...

Je viens de réaliser que j'ai fait une grave erreur :


\mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_N] et non \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]

Bon, je tente :


 \\ \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_N] = \mathbb{E}[N|(X_1+...+X_n)1_{N=n}] 
 \\ =\dfrac{\mathbb{E}[N(X_1+...+X_n)1_{N=n}]}{\mathbb{E}[X_1+...+X_n)1_{N=n}]}

et je suis arrivé au même résultat...

Des pistes ?
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4842526#msg4842526 Posté le 12-10-13 à 23:27
Posté par Profilverdurin verdurin

Bonsoir,
avec un peu de retard.
Je ne comprend pas ton problème :
Citation :
\mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_N] et non \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]

Je ne vois pas la différence.

Sinon, je ne vois pas non plus ce que tu reproches à ma démonstration. Elle est peut-être trop simple...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4844809#msg4844809 Posté le 13-10-13 à 19:21
Posté par Profilsigncross signcross

Bonsoir, Verdurin.

La variable N est différente de n.

Il semble qu'il est correct d'écrire S=X_1+...+X_N, N en majuscule et une variable aléatoire...

En fait, je ne saisis pas ta démonstration. En effet, \mathbb{E}[\mathbb{E}[A|B]]=\mathbb{E}[A]  mais je ne vois pas quel rapport car on demande de calculer \mathbb{E}[N|S] (\neq \mathbb{E}[\mathbb{E}[N|S]] )

Tout ce que je sais, c'est :
1) si X est F-mesurable (où F la tribu), alors \mathbb{E}[X|F]=X
2) si X est indépendante de F, alors \mathbb{E}[X|F]=\mathbb{E}[X]

Enfin, j'espère avoir bien appris le cours...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4851070#msg4851070 Posté le 18-10-13 à 15:43
Posté par Profilsigncross signcross

??
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4869737#msg4869737 Posté le 28-10-13 à 09:24
Posté par Profilsigncross signcross

c'est difficile pour vous ?
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4870781#msg4870781 Posté le 28-10-13 à 14:48
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

Tu es sûr qu'il ne s'agit pas de calculer  E [ SN ∣ N  ] ?
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4872393#msg4872393 Posté le 28-10-13 à 20:39
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

Je ne te garantis pas que ce qui suit est juste car, ne me souvenant plus comment on calcule E[X\mid Y] lorsque X est discrète et Y continue, j'ai écrit ceci :

J'ai considéré un borélien B de \mathbb{R} et j'ai calculé E[N\mid{S_N\in B}] :

Après quelques lignes de calculs (il faut sommer une série) j'ai finalement abouti à :

        E[N\mid{S_N\in B}] = \frac{pc}{P(S_N\in B)} \int_B^{} (1+c(1-p)x) e^{-pcx} dx

     où

       P(S_N\in B) = pc\int_B^{} e^{-pcx} dx

Après, tiens-toi bien, j'ai considéré B=[t,t+h], j'ai calculé les deux intégrales puis j'ai fait tendre h vers 0. J'en ai déduit que :

       E[N\mid{S_N=t}] =1+c(1-p)t

Et donc :

      E[N\mid{S_N}] =1+c(1-p)S_N

Pour vérifier, j'ai calculé différemment E[N], qui, comme chacun le sait, vaut \frac{1}{p}

     E[N] = E[ E[N\mid{S_N}]]  =1+c(1-p)E[S_N]

On voit ci-dessus que S_N suit une loi exponentielle de paramètre pc donc E[S_N]=\frac{1}{pc}

J'obtiens :

     E[N]  =1+\frac{c(1-p)}{pc}=\frac{1}{p}

C'est comme la preuve par 9! On ne peut rien dire...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4885599#msg4885599 Posté le 01-11-13 à 18:57
Posté par Profilsigncross signcross

Bonjour iciparisonzieme.

Je te remercie chaleureusement.

En fait j'ai trouvé la réponse

Pour les autres qui sont intéressé :

On remarque que la loi de S=X_1+...+X_n suit une loi Gamma de paramètres n et c.

Et on utilise le corollaire suivant :

Citation :
Soit \phi mesurable : \Omega \to \mathbb{R}.

\mathbb{E}[N|S] = \phi (S) si et seulement si pour tout g mesurable bornée, \mathbb{E}[Ng(S)]=\mathbb{E}[\phi(S) g(S)]


Et on cherche \phi(S) et on trouve la réponse : \mathbb{E}[N|S]= 1+pcS
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4885903#msg4885903 Posté le 01-11-13 à 20:22
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

J'ai également utilisé le fait que Sn suit une loi gamma mais je ne comprends pas comment cette remarque d'ordre théorique a pu te permerttre de trouver la trouver fonction phi. Ce n'est pas grave.

Je note quand même que nos deux réponses sont différentes puis moi je trouve  1+qcS et toi 1+pcS.

Cet exercice est très intéressant, en as-tu d'autres comme celui-ci ?
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4885915#msg4885915 Posté le 01-11-13 à 20:26
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

NB : Avec ce que tu as trouvé, tu n'obtiendras pas E[N] = 1/p ...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4887105#msg4887105 Posté le 02-11-13 à 12:17
Posté par Profilsigncross signcross

Salut iciparisonzieme.

Pourquoi S_N suit-elle une loi exponentielle de paramètre pc ?

La fonction caractéristique de X est \Phi_X(u)=\dfrac{c}{c-iu} et celle d'une loi Gamma \Phi_X(u)=\left(\dfrac{c}{c-iu}\right)^n

Sachons que si X et Y sont indépendantes alors \Phi_{X+Y}(u)= \Phi_X(u)\Phi_Y(u)

D'où la loi Gamma de paramètre (n,c).

D'autre part, (sauf si je me trompe) le cours donne :

Si \mathcal{F} est une tribu, alors \mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{F}]=\mathbb{E}[X]

Ici, S est-elle une tribu ?!
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4887107#msg4887107 Posté le 02-11-13 à 12:18
Posté par Profilsigncross signcross

Oui pour les exercices mais sans corrigé...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4887115#msg4887115 Posté le 02-11-13 à 12:19
Posté par Profilsigncross signcross

\mathcal{F}=\sigma(S) est une tribu engendrée par S.
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4887531#msg4887531 Posté le 02-11-13 à 14:09
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

Je n'ai pas besoin des corrigés, figure-toi.

Loi de SN

Il est facile, en passant par les tribus, de montrer que SN  est bien d'une variable aléatoire définie sur l'espace probabilisé ( , A, P) de départ.

J'ai obtenu :

     Pour tout borélien B : P(SN ∈ B) = \int_B pc e^{-pc t } dt

Cette égalité suffit pour démontrer que SN suit une loi exponentielle de paramètre pc.

Bien sûr, tu peux être surpris par cette égalité que j'ai écrite. Elle résulte de quelques lignes de calculs que je peux détailler si tu en ressens le besoin.
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4888159#msg4888159 Posté le 02-11-13 à 16:12
Posté par Profilsigncross signcross

Bonjour, iciparisonzieme, merci pour ton message.

Je ne comprends toujours pas ce que tu as écrit... Surtout \mathbb{E}[S]=\dfrac{1}{pc}...

Comme tu sais que \mathbb{E}[X_1]=\dfrac{1}{c}, \mathbb{E}[S] = \mathbb{E}[X_1+...+X_2]= n \mathbb{E}[X_1]=n \dfrac{1}{c}

Mon prof vient de me donner le résultat. Il s'agit bien de \mathbb{E}[N|S]= 1+pcS

Par contre, j'ai vérifié le résultat avec \mathbb{E}[N] et c'est pas correct !

\mathbb{E}[N] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[N|S]] = \mathbb{E}[1+pcS]= 1+pn

re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4888613#msg4888613 Posté le 02-11-13 à 17:29
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

Je n'ai pas écrit que E[S] = 1/(pc). J'ai écrit :

       E[ SN ] = 1 / (pc) car SN suit une loi exponentielle de paramètre pc.

Nuance !

Si tu ne retrouves pas E[N] c'est que le résultat donné par le prof est faux. à moins qu'il ait écrit :

                 E[N /S] = 1 + cq S

et que tu aies pris le q pour un p...
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4888625#msg4888625 Posté le 02-11-13 à 17:31
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

Attention, c'est :

    E[N/SN] = 1 + qc SN

Tu sembles oublié que tu avais rectifié le sujet.
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4889222#msg4889222 Posté le 02-11-13 à 19:15
Posté par Profilsigncross signcross

Bon, ok, admettons qu'il s'est trompé...

Merci beaucoup.

Et j'ai un autre exercice avec une variable discrète. Je continue ici ou je lance un autre sujet ?
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4889295#msg4889295 Posté le 02-11-13 à 19:31
Posté par Profilsigncross signcross

Je préfère insister sur cette erreur

J'ai calculé \mathbb{E}[N g(S)] pour toute g mesurable bornée.

 \\ \mathbb{E}[N g(S)]=\sum_{n>0}\mathbb{E}[n 1_{N=n} g(S)] = \sum_{n>0} n \mathbb{E}[1_{N=n}] \mathbb{E}[g(S)]

D'après le calcul, j'ai :

\mathbb{E}[N g(S)]=\int_0^{\infty} g(s) e^{-cs}(1-p) c \sum_{n>0}\dfrac{n(pcs)^{n-1}}{(n-1)!}ds

Et \sum_{n>0}\dfrac{n(pcs)^{n-1}}{(n-1)!} = (1+pcs)e^{pcs}

Es-tu d'accord avec cette égalité ?
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4889445#msg4889445 Posté le 02-11-13 à 20:04
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

Nous n'avons pas calculé la même chose... J'ai calculé E[N|SN] et toi E[N|Sn]
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4889786#msg4889786 Posté le 02-11-13 à 21:22
Posté par Profilsigncross signcross

S=X_1+...+X_N = \sum_n 1_{N=n}(X_1+...+ X_n)
re : Calcul d'une espérance conditionnelle#msg4891072#msg4891072 Posté le 03-11-13 à 12:33
Posté par Profilsigncross signcross

Je viens de poster un autre sujet similaire si ça t'intéresse.

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * probabilités en post-bac
    1 fiches de mathématiques sur "probabilités" en post-bac disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014