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variable aléatoire, fonction mesurable et surjectivité

Posté par
Amonbofis
13-10-13 à 16:37

Bonjour.

Selon wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_al%C3%A9atoire
la seule condition pour qu'une fonction d'un espace probabilisé (appelons le E, muni de la tribu F) vers un espace mesurable (disons R l'ensemble des rééls, muni de la tribue de Borel) soit une variable aléatoire est qu'elle soit mesurable. Mais je me demandais ce qu'il en était de la surjectivité.
En effet si une partie (de mesure non nulle) de E n'a pas d'image dans R est ce que X est quand même une variable aléatoire?

Par exemple si X est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale centrées réduite et Y = racine de X.
Y est-t-elle une variable aléatoire?
Y est mesurable (dite moi si je me trompe).
L'intégrale sur R de la densité de Y est 1/2 (dite moi si je me trompe).

Merci

Posté par
lafol Moderateur
re : variable aléatoire, fonction mesurable et surjectivité 13-10-13 à 16:53

Bonjour
là ton problème, ce n'est pas que Y n'est pas surjective : c'est plutôt qu'elle n'est pas définie pour toute valeur de X ....

être surjective ce n'est pas associer une image à tout élément de l'ensemble de départ : ça c'est être une application...

Posté par
Amonbofis
re : variable aléatoire, fonction mesurable et surjectivité 13-10-13 à 19:04

Merci de la correction. J'avais en tête une mauvaise définition de la surjectivité.

Donc pour formuler correctement la question: Une fonction de E dans R est une variable aléatoire réelle si c'est une application mesurable pas seulement une fonction mesurable non?

Posté par
carpediem
re : variable aléatoire, fonction mesurable et surjectivité 13-10-13 à 19:11

salut

une variable aléatoire est simplement une fonction (ou application) f de (E, T, u) dans (R, B) ou (C, B) voire même n'importe quelle ensemble (F, T', v)

et v(f(X)) = u(X) ou encore v(Y) = u(f-1(Y))

ce me semble-t-il ....



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