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Plan d'étude d'une fonction (étude du signe)
Bonjour;
J'ai vraiment fait plein de site en essayant de trouver la solution à mon problème mais en vain... voila je suis actuellement sur le chapitre limite des fonctions (avec les limites, les asymptotes etc) chapitre ou j'ai beaucoup de mal à comprendre... C'est pourquoi j'aurais quelques questions.
Lorsque l'on a une fonction disons f(x)= 3x+2/x-1 pour x
]1;+
[
Pour étudier le signe de la dérivée il faut commencer par faire la dérivée (logique!)
Donc f'(x)= -5/(x+5)²
Ensuite voila je bloque je ne comprend pas comment étudier le signe de la dérivée...
Dans mon cours j'ai :
Pour tout x]1;+[
-5<0
(x-1)²> 0
Mais après comment trouver le signe de f'(x) ?
Merci à vous.
Salut,
Tout d'abord, tu t'es trompé dans ta dérivée.
f'(x)= -5 / (x-1)² et non f'(x)= -5/(x+5) (il faut utiliser U/V qui donne ((U' * V) - (U * V')) / (V)²
Ensuite, ce que tu as marqué dans ton cours est bon, pour savoir le signe de f'(x) il faut connaitre le signe de ses termes, ici f'(x) est une division donc si tu connais le signe du dénominateur et celui du nominateur du pourra en déduire le signe de f'(x).
Au nominateur on a -5 donc c'est une constante toujours négatif indépendante de x
Au dénominateur on a (x-1)² ce qui est toujours positif car quelque soit x, quand on appliquera le carré, le dénominateur sera positif.
Tu as donc un terme négatif sur un terme positif le signe de f'(x) est donc négatif.
Ah oui d'accord merci beaucoup vous m'avez éclairé.
En fait on regarde le signe de chaque terme et on fait la règle des signes ?
Ah oui et j'aurais une autre question... comment forme t-on le tableau de variation par la suite ?
Sachant que lorsque l'on étudie les limites on a :
- limite de f(x) lorsque x tend vers 1, x>1(ou 1+suivant la notation) = +
- Limite de f(x) lorsque x tend vers += 0+
Comment construire le tableau de variation on y faisant apparaître les limites ?
Un tableau de variation se fait comme ça l'image si joint.
Dans le tient, il faut qu'à la place des bornes "+l'infini" et "-l'infini" tu marques 1 et +l'infini
f' désigne l'étude de signe de la fonction dérivée et f l'étude de variation de la fonction initiale.
Si la fonction dérivée s'annule il faut mettre (comme il est fait dans l'image en -1 et 1) des barres avec 0, ça implique qu'il y aura un changement de sens pour f(x).
Dans ton cas la fonction s'annule uniquement pour 1 mais comme ton ensemble est x appartient à ]1;+l'infini[ , x ne peut pas prendre la valeur 1 donc pas besoin de le préciser.
Le signe que tu auras à mettre pour f'(x) dans l'intervalle 1 ; +l'infini c'est donc - et tu peux donc mettre une flèche vers le bas pour f(x) car ta fonction est strictement décroissante. Et c'est vérifié avec les limites, elle part de +l'infini et tant indéfiniment vers 0 donc elle est strictement décroissante.
Voila
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