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notation e^x de la fonction exponentielle


autrenotation e^x de la fonction exponentielle

#msg355216#msg355216 Posté le 22-11-05 à 21:42
Posté par fan18fan (invité)

Bonjour,

je prépare une leçon sur la fonction exponentielle, et je suis confrontée à un petit soucis:

Partout je vois: "par convention" ou "notation":
exp(x)=e^x
Je sais que cette égalité est vraie sur les rationnels mais pourquoi peut-on prolonger cette égalité à R tout entier comme je le vois écrit partout?
Il me faudrait une explication correcte...

Quelqu'un sait où je peux trouver cela, ou auriez-vous une explication?
Merci d'avance
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355226#msg355226 Posté le 22-11-05 à 21:48
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bonsoir fan18fan

Je pense que l'on raisone par densité des rationnels dans et donc que tout réel est limite d'une suite de rationnels. Ensuite, on utilise le fait que exp est continue sur , mais bon, je peux me tromper.

Kaiser
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re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355228#msg355228 Posté le 22-11-05 à 21:49
Posté par Frip44 (invité)

Bonsoir fan18fan...

En fait c'est simple, exp(1)=2.7....=e (nombre de Neper).
Or, exp(x)=(exp(1))x
Donc, exp(x)=(exp(1))x=ex ! Et ce pour tout x de IR !

++
(^_^(Fripounet)^_^)
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355229#msg355229 Posté le 22-11-05 à 21:50
Posté par Frip44 (invité)

Je me sens out
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355365#msg355365 Posté le 23-11-05 à 00:58
Posté par Profilotto otto

Fripp, comment définis tu e^x pour x non rationnel?
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355864#msg355864 Posté le 23-11-05 à 16:49
Posté par Profilpiepalm piepalm

Je pense que le problème est inverse: c'est la notation a^x avec x réel qui est une convention d'écriture a^x=exp(x*lna) qui coïncide avec la fonction puissance pour x rationnel (d'où son prolongement par continuité)
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355871#msg355871 Posté le 23-11-05 à 16:51
Posté par Frip44 (invité)

Toujours par e^x otto non ?? e^x est définie sur IR, donc sur l'ensemble des rationnels et des non rationnels non ?

++
(-_-(Frip'
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg355884#msg355884 Posté le 23-11-05 à 16:56
Posté par Profilotto otto

Le fait que la puissance et l'exponentielle coincident est "un hasard".
On défini la fonction exp de plusieurs manières.
La plus simple est de définir exp comme solution de exp'=exp et exp(0)=1
A partir de la, on peut définir le log comme sa réciproque.
On peut montrer également que exp(x+y)=exp(x)exp(y), et de manière récurrente, que si on pose e=exp(1),  alors exp(n)=e^n et exp(p/q)=e^(p/q) pour p et q entiers, q non nul.

A partir de là, on peut "prolonger" la notation, et écrire e^x=exp(x) pour x quelconque.
Ensuite on peut définir a^x pour a non nul non égal à 1, par a^x=exp(xlog(a)).
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg356270#msg356270 Posté le 23-11-05 à 20:58
Posté par fan18fan (invité)

je vous remercie tous,
j'ai finalement trouvé hier soir.
Je vous fais part de la solution si cela vous intéresse:

attention aux erreurs (ex. Frip44).
On a l'égalité que Frip44 a donné mais uniquement sur Q!!!
ensuite on pose x la limite d'une suite (rn) de rationnels.
Par continuité de la fonction exp, on a exp(rn)->exp(x) qd n->oo
Et comme exp(rn)=e^(rn) (car égalité sur Q),
on a dc e^(rn)->exp(x) qd n->oo,
ie la limite de la suite (e^(rn)) est indépendante du choix de la suite (rn)puisque cette limite est exp(x).
On a donc e^x=exp(x) pour tout réel x.

Merci pour votre aide!!!

Maintenant, autre problème concernant toujours la fonction exponentielle:

Comment démontrer l'existence de la fonction exp si on la définit non pas comme réciproque de ln mais comme solution de l'equation y'=y et y(0)=1???
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg356286#msg356286 Posté le 23-11-05 à 21:07
Posté par Profilotto otto

L'existence est donnée par le théorème de Cauchy-Lipschitz par exemple.(trivialement d'ailleurs car y'=F(y,x) avec f qui est clairement isométrique si je ne dis pas de bétise, donc lipschitzienne, ce qui fait notre affaire)
On peut trouver aussi des solutions numériques qui approchent la solution, ce qui peut nous donner l'existence (on procède souvent ainsi en analyse fonctionnelle par exemple). Je pense avoir lu une fois une solution de CQFD sur le sujet, qui devait provenir d'un sujet de CAPES justement, si mes souvenirs sont bons.
Une 3e possibilité serait de résoudre cette équation dans l'ensemble des fonctions holomorphes, notamment si une fonction complexe vérifie f(x)=f'(x) on a clairement que f est développable en série entière et on a finalement l'existence de la solution, sous forme de série entière. On a juste à prendre sa restriction à R.

J'espère que ca te conviendra.
A+
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg356288#msg356288 Posté le 23-11-05 à 21:07
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bonsoir fan18fan

Si tu connais le théorème de Cauchy-Lipschitz, c'est immédiat.
En effet, le problème de Cauchy {y'=y, y(0)=1} admet une unique solution qu'on décide d'appeler l'exponentielle.

Voilà

Kaiser
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357199#msg357199 Posté le 24-11-05 à 22:37
Posté par Profilotto otto

Je pense même qu'un résultat du à Picard nous donne l'existence d'une solution des équations de la forme
y'=f(x,y) où f est continue.
Mais je n'arrive pas à remettre la main sur ce résultat.
(Le cas f lispchiztienne étant plus fort et donnant même l'unicité)
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357704#msg357704 Posté le 25-11-05 à 19:45
Posté par ProfilKsilver Ksilver

On a donc e^x=exp(x) pour tout réel x.


non.



on a exp(q)=e^q pour tous rationel, sa sa se demontre.


en revanche on DEFINIT a^x quand x est irationel par exp(x*ln(a)) donc dire qu'on montre que e^x=exp(x) pour x reel na aucun sens, exp(x) est la definition de e^x quand x n'est pas rational...


la demonstration que tu fais ici na aucun sens mathematique, puisque a^x avec x reel n'est pas definit.

il faut voir l'exponentielle comme un prolongement continu de la fonction puissance dans R.


re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357886#msg357886 Posté le 25-11-05 à 22:10
Posté par Hobbes314 (invité)

Il existe une méthode pour montrer l'existence de la fonction exp comme solution de f'=f avec f(0)=1, c'est la méthode d'Euler, qui conduit à utiliser les suites u_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n et v_n(x)=(1-\frac{x}{n})^{-n}. Ces suites sont défnines pour tout x de R, elles sont adjacentes donc convergentes, et leur limite commune vérifie les propriétés demandées. On l'appellera exp(x)...  
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357887#msg357887 Posté le 25-11-05 à 22:12
Posté par Profilotto otto

Oui c'est d'ailleurs la 2e méthode dont je parlais, et que cqfd67 avait donné il y'a quelque mois.
C'est un peu trop lourd pour une équation aussi simple selon moi, mais ca a le mérite de marcher et de faire un sujet de capes.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357894#msg357894 Posté le 25-11-05 à 22:18
Posté par Hobbes314 (invité)

Le détail de la solution est effectivement assez lourd, mais a l'avantage de n'utiliser que des outils élémentaires : la démo pourrait être faite en Term S (bon, en s'accrochant quand même un peu à sa chaise...)  
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357900#msg357900 Posté le 25-11-05 à 22:22
Posté par Profilotto otto

Non je ne pense pas parce que ca fait appel à la limite d'une suite de fonctions, et au passage à la dérivée.
Les élèves risqueraient de ne rien comprendre, et à juste titre.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357913#msg357913 Posté le 25-11-05 à 22:33
Posté par Hobbes314 (invité)

On n'a pas besoin de parler de suite de fonction, il suffit de travailler avec x fixé pour montrer la convergence de la suite. Et pour la dérivée, on étudie la limite de \frac{exp(x+h)-exp(x)}{h}. C'est faisable sans aucun résultat post-bac. La démo complète se trouve dans l'accompagnement des programmes de Term S de 2002, édité par le CNDP.

Maintenant, je ne pense pas que je me lancerai dedans, ça rique de piquer un peu pour les élèves.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357923#msg357923 Posté le 25-11-05 à 22:51
Posté par ProfilKsilver Ksilver

"la démo pourrait être faite en Term S (bon, en s'accrochant quand même un peu à sa chaise...)  " la demo est en general fait en terminal S d'ailleurs


(enfin moi je l'avait faite et je suis pas le seul)


c marant tous le monde ce demande ce qu'il se passe se jour la ^^




sinon je suis persuader avoir aussi démontré l'unicité en terminal avec un procede du type: sois g et f 2 solution de y'=y avec f(0)=g(0)=1, donc f-g est aussi solution de f-g(0)=0 et apres on en deduit que f-g=0 je sais plus par qu'elle astuce... j'essairai de retrouver sa mais sa va etre dur...
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357925#msg357925 Posté le 25-11-05 à 22:55
Posté par Hobbes314 (invité)

L'unicité ne pose pas de problème : on prend f=exp qui vient d'être définie, et g une autre solution. On considère la fonction g/f (on a bien sur montré que exp ne s'annule jamais...), et en dérivant on montre que g/f est une fonction constante. On termine avec g(0)=f(0)=1.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357926#msg357926 Posté le 25-11-05 à 22:57
Posté par Profilotto otto

L'unicité est facile à montrer dans ce cas là.
Quand au fait d'étudier la convergence à x fixé de la suite, ca revient quand même à étudier une convergence de suite de fonctions.
C'est un résultat qui n'est pas du programme de terminale, mais je ne pense pas que les profs n'aient pas le droit d'en parler.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357928#msg357928 Posté le 25-11-05 à 23:00
Posté par Hobbes314 (invité)

Juste otto... On évitera juste de lâcher le mote "suite de fonction" sous peine de déclencher une émeute!
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357934#msg357934 Posté le 25-11-05 à 23:06
Posté par ProfilKsilver Ksilver

une suite de fonction sa n'est pas la meme chose qu'un suite dependant d'un variable...

une suite avec une varaible x dedans sa na rien de choquant pour un eleve de terminal, faut juste eviter de notre Un(x) ^^

nan cette demonstration est tres souvent faite en terminal, meme si elle n'est pas explicitement au programe.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg357935#msg357935 Posté le 25-11-05 à 23:08
Posté par Profilotto otto

une suite de fonction sa n'est pas la meme chose qu'un suite dependant d'un variable...
Tient donc, et quelle est la différence?
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358119#msg358119 Posté le 26-11-05 à 11:18
Posté par ProfilKsilver Ksilver

a peu pres la meme qu'entre

x->x² et x²
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358452#msg358452 Posté le 26-11-05 à 14:40
Posté par Profilotto otto

Absolument pas, il n'y a aucune différence.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358457#msg358457 Posté le 26-11-05 à 14:42
Posté par Profilotto otto

Dans le même ordre d'idée:
Quelle différence entre une famille de fonctions d'une variable réelle indexée par un intervalle I, réel non vide et une fonction de RxI ?
Y'en a pas non plus.
En fait ca revient exactement à la même chose.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358496#msg358496 Posté le 26-11-05 à 14:58
Posté par ProfilKsilver Ksilver

une suite qui depend d'un parametre reel y a pas bessoin de definir ce que c'est a un eleve de terminal sa n'est pas hors programe et sa apparait meme regulierement dans des exercices (le paramtre en question pouvant etre Uo par exemple)

une suite de fonction c'est un objet nouveaux et sa sort donc du programe de TS, meme si au final c'est la meme chose.

au passage ton exemple ma parait discutable, sur celui la je suis d'accord puisqu'on definit une famille d'objet indexé par un ensemble I comme une application de I vers l'ensemble contenant les objets en question. alors que x² est un reel la ou x->x² est une fonction (qu'on definit donc de facon completement differente). (de meme pour les suites, on a d'un coté une suite de reel et de l'autre une suite de fonction, bien que la difference ne soit que theorique et que concretement il s'agisse de la meme chose.)

mais je pense qu'au final on est d'accord, c'est la meme chose (aucune difference concrete) , mais l'un est un objet connu par un eleve de TS et l'autre non.
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358514#msg358514 Posté le 26-11-05 à 15:05
Posté par Profilotto otto

Non mais je ne crois pas, parce que dans le cas de l'étude de la dérivabilité de la limite de x->(1+x/n)^n, on étudie la limite d'une suite de fonctions. C'est un concept qui ne s'étudie qu'après un bac+2 en général, et qui fait appelle à beaucoup de choses, notamment à la topologie que l'on met sur l'ensemble des fonctions.
Ici, il se trouve que l'on étudie une des convergences naturelles les plus "sales" qui existent, et qui ne conserve que très peu de propriétés, comme la dérivabilité.

Pour un élève de terminale, la question de l'existence ne doit probablement même pas se poser.
Si c'est quand même le cas, il ne va rien comprendre à ce qu'on lui propose, et si c'est quand même le cas, comment lui expliquer ce qu'est la limite d'une suite de fonctions, et pourquoi vérifier que la limite d'une suite de fonctions dérivables est une fonction dérivable (ca parrait toujours être le cas).

Bref autant de réponses que l'on apporte à des questions qui ne se posaient probablement pas dans la tête des élèves, qui souvent, ont assez de mal comme ça avec le programme...

ps: il n'y a pas de différence concrète parce qu'il n'y a pas de différence DU TOUT.

Bonne journée.
A+
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358609#msg358609 Posté le 26-11-05 à 15:46
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

" Maintenant, je ne pense pas que je me lancerai dedans, ça rique de piquer un peu pour les élèves. "

Je n'ai jamais entendut parler de cette methode la aussi si quelqu'un pouvait me donner un lien ... merci d'avance !
-----

Personnelement, voici ce que nous avions fait nous :
   \red\bullet Existe-t-il une fonction (ou des fonctions) dérivable sur \rm \mathbb{R} et non nulle telle que l'on ait la relation suivante : \rm f(x+y)=f(x)\times f(y) ?

Supposons l'existence et posons :
   \rm h(x)=f(x+y)-f(x)\times f(y)
\rm x,y\in\mathbb{R}, g dérivable sur \rm \mathbb{R}.

On dérive et on obtient :
   \rm h^'(x)=f^'(x+y)-f^'(x)\times f(y).

Par définition de \rm f, \rm h est nulle donc:
   \rm h^'(x)=0

On en déduit que :
   \rm f^'(x+y)=f^'(x)\times f(y)
pour tous réels \rm x, y

En particulier pour \rm x=0, on a :
   \rm f^'(y)=f^'(0)\times f(y)
pour tous réels \rm y

La fonction étant non nulle :
   \rm \exist x_0 | f(x_0)\neq0
D'ou : \rm f(x_0)=f(x_0)\times f(0)\Rightarrow f(0)=1

Si une telle fonction existe, étant dérivable et non nulle sur \mathbb{R} vérifie :
   \rm \{f(x+y)=f(x)\times f(y)\\f^'(y)=f^'(0)\times f(y)\\f(0)=1

Il ne reste plus qu'a résoudre cette équation on trouvant toutes les fonctions (ici il y aura unicité qu'il faudra aussi démontré ...) telle que :
   \rm \{f(x+y)=f(x)\times f(y)\\f^'(y)=f(y)\\f(0)=1.

C'est autrement plus simple pour un niveau Ts non ?
re : notation e^x de la fonction exponentielle#msg358621#msg358621 Posté le 26-11-05 à 15:49
Posté par Profilotto otto

C'est drôle, je viens de tomber de manière purement fortuite sur ce topic, sur un autre forum:

http://www.prepas.org/forum/viewtopic.php?t=3433

(ne voyez pas là dedans une pub pour un autre forum)

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