Fonctions

Posté par lali1230 (invité)

Bonjour à tous.
J'ai deux petits problèmes à résoudre et j'ai dejà fais mes brouillons dessus.J'ai pas tout fait, j'en ai fait même assez peu bien que j'y ai passé des heures :s Comme je ne sais pas si ce que j'ai fais est juste, j'aimerais avoir de l'aide.
Je remercie d'avance ceux qui se proposeront de m'éclairer.
Voici les exos.

EXERCICE 1
On considère la fonction f définie sur R-(1) par f(x)=(x^3-3x+5)/(X-1).
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal et par D la droite d'équation y=x-2.
1°)Determiner deux réels a et b tels que: f(x)=x+a+b/(x-1)
2°)Demontrer que la courbe C admet le point A(1;-1) comme centre de symétrie.
3°)Determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
4°)a)Préciser, en le justifiant, les intervalles sur lesquels f est dérivable.
   b)Etudier les variations de f.
5°)Démontrer que la courbe C admet deux asymptotes que l'on determinera.
6°)Construire la courbe C.

EXERCICE 2
1°)On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel x par: P(x)=2x^3-3x^2-1
a)Etudier les variations de P.
b)Montrer que l'équation P(x)=0 admet une racine réelle et une seule, notée alpha.
c)A l'aide d'une calculatrice donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de cette racine alpha.
d)Determiner le signe de P(x) suivant les valeurs de x.

2°)Soit D l'ensemble des réels strictement superieurs à -1.
On considère la fonction numérique f définie sur D par f(x)=(1-x)/(1+x^3)
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 4cm).
a)Sachant que l'équation x^3+1=0 admet -1 pour unique solution sur R, préciser pourquoi f est derivable sur D.
Calculer alors f'(x).
b)Etudier les variations de f, pour cela utiliser les résultats de la question 1.

3°)a)Ecrire une equation de la droite delta, tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
b)Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite delta dans l'intervalle ]-1;1[.
c)Montrer que la courbe C est située au dessus de sa tangente au point d'abscisse 1, au cours du calcul on pourra admettre l'égalité x^3-1=(x-1)(x²+x+1) pour x appartenant à R.

4°)Tracer la courbe C la droite delta et la tangente C au point d'abscisse 1.

Posté par J-P J-P

Ex 1.

Le mieux est de commencer par écrire un énoncé sans faute.

Il doit s'agir de f(x)=(x²-3x+5)/(x-1) et pas ce que tu as écrit.


1°)
x + a + b/(x-1)
= [(x+a)(x-1)+b]/(x-1)
= (x² + x(a-1) - a + b)/(x-1)

Qu'on identifie avec le second membre de f(x)=(x²-3x+5)/(X-1).

--> on a le système:

a-1 = -3
-a+b = 5

--> a = -2 et b = 3

f(x) = x - 2 + 3/(x-1)
-----
2°)

f(1-x) = (1-x) - 2 + 3/((1-x)-1)
f(1-x) = -x - 1 - 3/x

f(1+x) = (1+x) - 2 + 3/((1+x)-1)
f(1-x) = x - 1 + 3/x

f(1-x) + f(1+x) = -x - 1 - 3/x + x - 1 + 3/x

f(1-x) + f(1+x) = - 2

(f(1-x) + f(1+x))/2 = -1

Et donc le point de coordonnées (1 ; -1) est centre de symétrie de C.
-----
3°)
lim(x -> -oo) f(x) = lim(x -> -oo) [x - 2 + 3/(x-1)] = -oo
lim(x -> +1-) f(x) = lim(x -> +1-) [x - 2 + 3/(x-1)] = -1 + 3/0- = -oo
lim(x -> +1+) f(x) = lim(x -> +1+) [x - 2 + 3/(x-1)] = -1 + 3/0+ = +oo
lim(x -> +oo) f(x) = lim(x -> +oo) [x - 2 + 3/(x-1)] = +oo
-----
4°a et b)
f(x) = x - 2 + 3/(x-1)

f est dérivable sur R - {1} puisque ...

f '(x) = 1 - 3/(x-1)²
f '(x) = ((x-1)² - 3)/(x-1)²

f '(x) = 0 pour (x-1)² - 3 = 0
(x-1)² = 3
x-1 = +/- V3     (Avec V pour racine carrée).
x = 1 +/- V3


f '(x-) > 0 pour x dans ]-oo ; 1-V3[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1 - V3
f '(x) < 0 pour x dans ]1-V3 ; 1[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) n'existe pas en x = 1
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; 1+V3[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1 + V3
f '(x-) > 0 pour x dans ]1+V3 ; oo[ -> f(x) est croissante.

Il y a un max de f(x) pour x = 1-V3
Il y a un min de f(x) pour x = 1+V3
-----
5°)
lim(x -> +1-) f(x) = -oo
lim(x -> +1+) f(x) = +oo
La droite d'équation x = 1 es tasymptote verticale à C.

f(x) = x - 2 + 3/(x-1)
lim(x-> +/- oo) [3/(x-1)] = 0
--> la droite d'équation y = x - 2 est asymptote oblique à C et ceci aussi bien du coté des x négatifs que du coté des x positifs.
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Sauf distraction.

Posté par J-P J-P

Ex 2.

1°)
a et b)

P(x)=2x^3-3x^2-1
P'(x)=6x²-6x
P'(x)=6x(x-1)

P(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 0[ --> P(x) est croissante.
P(x) = 0 pour x = 0
P(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ --> P(x) est décroissante.
P(x) = 0 pour x = 1
P(x) > 0 pour x dans ]1 ; oo[ --> P(x) est croissante.

Il y a un max de P(x) pour x = 0, ce max vaut P(0) = -1

On conclut donc qu'il n'y a aucune valeur de x sur ]-oo ; 0] pour laquelle P(x) = 0 (1)

P(x) croissante sur ]0 ; oo[
P(0) < 0
lim(x->oo) P(x) = oo > 0
P(x) continue.

Des 4 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et une seule valeur de x sur ]0 ; oo[ pour laquelle P(x) = 0 (2)

(1) et (2) -->

Il y a une et une seule valeur de x sur R pour laquelle P(x) = 0, soit alpha cette valeur.
-----
c)
alpha est dans]1,67 ; 1,68[
-----
d)

P(x) < 0 pour x dans ]-oo ; alpha[
P(x) = 0 pour x = alpha.
P(x) > 0 pour x dans ]alpha ; oo[
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Essaie de continuer ...

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Sauf distraction.

Posté par lali1230 (invité)


Pouvez vous m'aider pour cet exo svp??


EXERCICE 2
1°)On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel x par: P(x)=2x^3-3x^2-1
a)Etudier les variations de P.
b)Montrer que l'équation P(x)=0 admet une racine réelle et une seule, notée alpha.
c)A l'aide d'une calculatrice donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de cette racine alpha.
d)Determiner le signe de P(x) suivant les valeurs de x.

2°)Soit D l'ensemble des réels strictement superieurs à -1.
On considère la fonction numérique f définie sur D par f(x)=(1-x)/(1+x^3)
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 4cm).
a)Sachant que l'équation x^3+1=0 admet -1 pour unique solution sur R, préciser pourquoi f est derivable sur D.
Calculer alors f'(x).
b)Etudier les variations de f, pour cela utiliser les résultats de la question 1.

3°)a)Ecrire une equation de la droite delta, tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
b)Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite delta dans l'intervalle ]-1;1[.
c)Montrer que la courbe C est située au dessus de sa tangente au point d'abscisse 1, au cours du calcul on pourra admettre l'égalité x^3-1=(x-1)(x²+x+1) pour x appartenant à R.

4°)Tracer la courbe C la droite delta et la tangente C au point d'abscisse

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