Fonction exponentielle

Posté par Lau (invité)

Bonjour,
Alors voilà j'ai un DM à faire pour cette semaine et j'aimerai que quelqu'un me corrige et m'aide s'il vous plait.

On veut étudier la fonction f définie sur [0;+[ par : f(x)=x²-2+2e^-1/2x
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repére orthonormal.

1°Etude de f'
a)Déterminer f'(x) pour tout x de [0;+[.
b)Etudier le sens de variation de f'. Déterminer la limite de f' en + et préciser f'(0).
c)En déduire l'existence et l'unicité d'un réel strictement positif pour lequel f' s'annule. Vérifier que 0,40,5
d)Déterminer le signe de f'(x) pour tout x de [0;+[
2°Comportement de f en +
a)Déterminer la limite de f en +
b)On pose, pour tout x de [0;+[ : d(x)=f(x)-(x²-2)
Déterminer le signe de d(x) et sa limite lorsque x tend vers +.
3°Variations de f
a)Donner le tableau des variations de f
b)Donner, en justifiant le signe de f()

Mes réponses :
1°a)f'(x)=2x-e^1/2x (je ne suis pas sure du tout quelqu'un peut vérifier svp ?)
b)pour la suite j'attends de voir si ma dérivée est bonne

Merci à la personne qui voudra bien m'aider.
Lau

Posté par Nightmare Nightmare

Bonsoir

La dérivée est bonne

Posté par Lau (invité)

merci

b) lim f'(x)=lim 2x-e^1/2x=lim -e^1/2x=-
f'(0)= -e⁰=-1

Est ce ça ?

Pour le sens de variation, je sais que f' est croissante puis décroissante mais je n'arrive pas à déterminer la valeur à part à l'aide de ma calculatrice, pouvez vous m'apporter de l'aide ?

Merci

Posté par Nightmare Nightmare

La limite de f' en +oo est fausse

2x diverge vers +oo et -exp(-1/2x) converge vers -1 donc la somme diverge vers +oo
de plus comme tu l'as dit f'(0)=-1 donc d'aprés le TVI ...

Posté par Lau (invité)

Oups petit problème, sur ma calculatrice ça tend vers -

Posté par Nightmare Nightmare

Tu as mal tapé ta dérivée, c'est exp(-1/2x) et non exp(1/2x)

Posté par Lau (invité)

oups désolé

Posté par Lau (invité)

alors maintenant je m'en sors mieux, f est croissante sur [0;+[

Posté par Lau (invité)

peux tu m'aider pour la question 1°c) s'il te plait ?
Merci

Posté par Nightmare Nightmare

Comment trouves tu que f est croissante sur [0;+oo[ ?

Posté par Lau (invité)

2x est croissante pour x différent de 0
et e^-1/2x est croissante sur ]-;+[ non ?
donc la somme de 2 fonctions croissantes donne une fonction croissante

Posté par Nightmare Nightmare

"2x est croissante pour x différent de 0" : Aucun sens

"exp(-1/2x) est croissante" : Aucun sens formel non plus et surtout fondamentalement faux.

la dérivée de x->exp(-1/2x) est x->-1/2exp(-1/2x) qui est négative sur R donc la fonction est décroissante.

Posté par Lau (invité)

la fonction est décroissante ? Je ne comprends plus là

Posté par Nightmare Nightmare

Ce que tu as dans ta tête est juste, mais tu ne t'exprimes pas clairement

x->2x et x->-exp(-1/2)x sont deux fonctions strictement croissantes sur R, donc en particulier sur [0;+oo[. Par conséquent leur somme, ie f', est aussi croissante sur [0;+oo[

Posté par Lau (invité)

ah j'ai eu peur, je me suis dit mince ma calculatrice a un petit probléme elle me dit qu'elle est croissante lol

peux tu m'aider pr la c) s'il te plait ?

Posté par xoxxy (invité)

pour la question c tu utilises le TVI:
f' est croissante sur [0;+];
pour tt réel k compris entre f(0) et "f(+)", il existe un unique réel tel que f()=k
ici, il existe un unique réel tel que f()=o

Posté par Lau (invité)

Voila j'ai terminé en gros mon exercice, est ce que quelqu'un pourrait vérifier et me corriger s'il vous plait.

1/d) f(0)=-1 donc f' est négatif que [0;0,4] et f' est positif sur [0,5;+[ car dans la question c) on a déterminé que 0,40,5

2/a) f(x)=x²-2+2e^-1/2x
qd x+
lim x²=+
lim 2 = 2
lim 2e^-1/2x=0
donc par somme lim f(x)=+

b) d(x)=f(x)-(x²-2)
d(x)=x²-2+2e^-1/2x-x²+2
d(x)=2e^-1/2x

lim 2e^-1/2x=0

Mais je ne sais pas comment on fait pour déterminer le signe...

3/a) f est décroissante sur [0;] et f est croissante sur [;+[

b) Je ne sais pas comment faire...

Merci beaucoup à la personne qui pourrait m'apporter de l'aide svp.
Lau

Posté par Lau (invité)

Bonjour Nightmare, hier tu m'as aidé sur le salon fonction exponentielle, je t'ai envoyé mes réponses, peux tu me vérifier s'il te plait.
Merci

*** message déplacé ***

Posté par Lau (invité)

s'il vous plait

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Bonjour Lau,

où est le probleme ?

Posté par Lau (invité)

peux tu vérifier si les réponses que j'ai envoyé plus haut sont correctes et me dire pourquoi si elles sont fausses

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ok.

La dérivée est bonne.
Tu en déduis que ta fonction est décroissante sur puis croissance sur .
Tu as et .
Il faut ensuité utiliser le th des valeurs intermédiaires sur :
- f' est continue
- f' est monotone (ici croissante)
- f'(0)=-1 et donc 0 appartient à l'intervalle image

Conclusion, il existe un réel unique telle que

Pour l'intervalle, si alors car f' strictement croissante.
Or :
- f'(0,4)=-0.018
- f'()=0
- f'(0,5)=0.221

Ce qui prouve que l'inéquation est vraie.

On a donc :

Posté par Lau (invité)

c'est pour quelle question ça ? 1/d) ?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ensuite :

Ton calcul de limite est bon (n'oublie pas de préciser que ).
Puis, ton calcul est correct . On dérive et on étudie le signe !


On a : donc . La dérivée est négative donc la fonction décroît.

La limite est correct.

D'aprés le tableau de signe de f' tu en déduis facilement les variations de f.

La dérivée s'annule en ce qui correspond a un extremun pour la fonction (ici un minimun).

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Dans mon post de 14:39 tu as de l'aide pour 1/ a,b,c,d
et dans mon post de 14:48 tu as de l'aide pour 2/ et 3/

Posté par Lau (invité)

ok merci, je ne comprends pas : La dérivée s'annule en ce qui correspond a un extremun pour la fonction (ici un minimun).

Ca veut dire que f() est de quel signe ?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ah oui j'ai même pas répondu a la question lol !

En faite pour savoir de quel signe il s'agit il faut faire un tableau de signe (sauf erreur).

Posté par Lau (invité)

ok merci merci

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

mais de rien