Bonjour,

c'est avant ça le problème
tu confonds chiffre et nombre

par exemple avec 7! seulement (les nombres sont moins gros)
les trois derniers nombres (du produit) sont bien 5, 6, 7

mais en effectuant réellement ce produit (ce qui donne le nombre 5040)
les trois derniers chiffres de ce nombre sont 040

le but de cet exo est de compter combien il y a de "zéros" à la fin de n!
c'est à dire de compter en fait combien il y a de facteurs 5, les facteurs 2 pour faire un zéro avec ces 5 il y en aura toujours assez
5 compte pour un facteur
10 aussi
15 aussi
25 pour deux facteurs 5 etc ..

tous les n! pour n 5 se terminent évidemment par un zéro, mais plus n est grand et plus ce nombre de zéros à la fin augmente
10! = 3628800 se termine par deux zéros.
et comme n! lui même augmente très très vite, il est hors de question d'en calculer explicitement la valeur pour juste compter les zéros à la fin !!
il faut le faire par le raisonnement.
c'est le but de l'exo.

Bonsoir,
Ok merci d'avoir répondu mais ça ne m'aide pas à comprendre comment je raisonne pour trouver pour 627?
Pourriez-vous encore m'aider s'il vus plait?
Merci d'avance

tu dois compter combien il y a de multiples de 5, de multiples de 5² = 25, de muliples de 5³ = 125, de multiples de 5⁴ = 625 etc
dans les nombres de 1 à 627

il y a évidemment un seul multiple de 625 !
et aucun multiple de puissance de 5 supérieure.

combien y a-t-il de multiple de 125 ?
que donne la division entière de 627 par 125 ? à quoi cette division peut elle nous avancer ?
627/125 = 5 en nombres entiers (5.016)
il y a donc 5 multiples de 125 qui sont effectivement
125, 250, 375, 500 et 625

etc...

ensuite et bien tu comptes combien tous ces multiples de 5 font de facteurs 5 en tout, sans les compter deux fois.
les multiples de 5 donnent chacun un facteur 5
les multiples de 25 donnent, en plus du facteur 5 déja compté, un autre facteur 5
etc ..
de sorte que en appelant [x] la partie entière de x (division en nombres entiers)

le nombre de 0 à la fin de 627! est
[627/5] + [627/25] + [627/125] + [627/625]

Bonjour,

Tout cela me semble bien compliqué:

Dès  5! on a 1 zéro (dernier chiffre)
donc dès 10! 2 zéros
et dès 15!   3 zéros
aucune raison qu'il n'en soit pas de même pou 17!

tout à fait, 17! est "facile" et se fait à la main sans "complications"
il n'en est pas tout à fait de même de 627! qui comporte des "puissances élevées" de 5 : 25, 125 et 625

certes on peut les compter à la main tous ces multiples de 5 entre 1 et 627, mais bof ... comme il y en a 125, les recenser tous individuellement va être "un peu pénible" bien plus que les 3 facteurs de 17!
sans doute plus que de faire le "raisonnement compliqué" (pas franchement si compliqué d'ailleurs)

pour le rendre exaustif il faudrait justifier formellement qu'il y a "suffisemment de 2" pour tous ces facteurs 5 (intuitivement évident, mais formellement il faudrait le justifier en comptant tous les facteurs 2 avec la même méthode que pour les facteurs 5)

Ma réponse ne concernait que les 3 chiffres de fin..

Pour 627 je n'ai rien compris car les ! > 6! finissent par 0
alors quelle "fin"?

La question est pourtant explicite :

Bonjour,

Je me disais  bien ...

multiples de 5
625 = 125x5
Donc au moins 125 zéros et les  deux produits
suivants x 626 x 627 n'en amèneront pas un de plus..

oui sauf que 25, 75 etc amènent non pas un zéro, mais chacun deux etc ..

alors oui "au moins" 125 zéros... mais combien exactement ? c'était ça la question.

Bonjour,
Je vous remercie tous d'avoir essayé de me faire raisonner je ne sais pas si j'ai bien tout compris mais j'ai enfin fini mon DM pour la rentrée et je vous en remecie tous
Passez une bonne fin de semai,e et merci encore