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DM produits scalaires dans un cercle
Bonjour je dois faire un DM pour la rentrée mais un des exercices me pose problème, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
On considère un cercle C de centre O de rayon r et un point P quelconque du plan. On note d la distance OP. Une droite D quelconque passe par P et coupe le cercle en deux points A et B. On désigne par E le point du centre diamétralement opposé à A.
1.a) Montrer que PA.PB = PA.PE
b) En déduire que PA.PB = d²-r²
(il y a des flèches sur les majuscules se sont des vecteurs mais je ne sais pas comment faire les flèches)
Voilà c'est le début de mon énoncé pour la suite il faut faire avec une figure sur le livre donc je ne le met pas j'essayerai de me débrouiller si déjà j'ai le début pour m'aider. Donc je ne sais pas comment faire, dois-je voir par rapport à une formule genre PA.PB = //PA// x //PB// x cos (PA,PB) ce que me parait peu probable puisque je n'ai aucune valeur. J'ai fait une figure pour m'aider mais comme les points sont a des endroits quelconque même si je trouve quelque chose par rapport à ma configuration ce ne sera pas forcément bon pour toutes les configurations. J'ai un peu du mal à comprendre ce chapitre...
pour la construction:
*tu construit un cercle de centre O.
*par exemple, tu places un point P extérieur au cercle( P peut-être intérieur au cercle ou sur le cercle. mais il est préférable de ne pas placer le point P sur le cercle).
*tu traces la droite D passant par P et coupe le cercle en deux points(assure toi que la droite coupe le cercle D en deux points) A et B.
*en ce qui concerne E diamétralement opposé à A: tu trace un diamètre au cercle passant par A qui va couper le cercle en E.
* enfin, tu traces le segment OP qui te donnera la distance d.
pour la résolution:
*1.a) il suffisait d'utiliser le relation
B=PE+EB. PB,PE et EB sont des vecteurs.
PA.PB = PA.(PE+EB) = PA.PE + PA.EB.
le triangle ABE est circonscrit au cercle et le segment AE est un diamètre du cercle. Alors, le triangle ABE est rectangle en B. D'où, les droites (AB) et (EB) sont perpendiculaires. on a le point P appartient à la droite (AB). Par suite, (AP) et (EB) sont perpendiculaires. Alors, les vecteurs PA et EB sont orthogonaux. Alors, PA.EB = 0. Donc, PA.PB = PA.PE .
* b) PA.PB = d²-r².
on a APE est un triangle et O est le milieu de [AE]. D'où, la droite (PO) est une bissectrice du triangle APE.
Alors, on tire la relation suivante: PA.PE = OA²+PO²-1/2AE². comme, PA.PB = PA.PE.
on aura, ensuite: PA.PB = OA²+PO²-1/2AE² .
On a AE=2r , PO=d et AO=r.
Alors, PA.PB = d²+r²-1/2(2r)²= d²+r²-2r².
Donc PA.PB = d²-r².
Merci beaucoup ! 
juste pour la question a quand vous dites la relation c'est B au début ? Ou c'est PB ?
Je ne comprends pas pourquoi PO est une bissectrice si O est le milieu de AE ? Ce n'est pas une propriété, si ?
Bonjour, en appliquant le théorème de la médiane, je ne comprend pas comment on arrive a ce résultat.
Dans ce triangle le théorème me donne
PA2+PE2=2PO2+1/2AE2 et dela impossible venir sur votre résultat
merci de votre réponse
On peut parvenir au résultat annoncé à partir de la relation du théorème de la médiane que tu donnes.
Il suffit de remplacer d'abord PA² + PE² par (PA + PE)² - 2PA.PE .
????
je comprend pour l'identité remarquable mais je voit pas ou ça même
merci pour la réponse, je vais essayer
hello, je sais que c'est un vieux message mais je comprends pas la réponse b
b) PA.PB = d²-r².
on a APE est un triangle et O est le milieu de [AE]. D'où, la droite (PO) est une bissectrice du triangle APE.
Alors, on tire la relation suivante: PA.PE = OA²+PO²-1/2AE². comme, PA.PB = PA.PE.
on aura, ensuite: PA.PB = OA²+PO²-1/2AE² .
On a AE=2r , PO=d et AO=r.
Alors, PA.PB = d²+r²-1/2(2r)²= d²+r²-2r².
Donc PA.PB = d²-r².
si quelqu'un peut m'expliquer?
j'ai cet exo à faire
merci
bonne soirée
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