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problème sus les suites!
je ne comprend rien a cet ex aidez-moi!
Co est un triangle équilatéral de côté 1. Sur chacun des côtés de Co
partagé en 3segments isométriques, on construit 3nouveaux triangles
équilatérales. La figure ressemble alors à une étoile "avec 6pics"
et tous les cotés sont égaux. On obtient un polygone C1. On réitère
indéfiniement ce processus. On note Cn le polygone obtenus à la
n-ième étape, Xn le nombre de ses côtés, Ln la longueur de chaque
coté, Pn son périmètre et An son aire.
1)calculer X1,L1,P1,A1 et X2, L2, P2 A2
2)a)exprimer Xn+1 en fonction de Xn. Déduisez-en de Xn explicitement en fonction
de n.
b)exprimer Ln+1 en fonction de Ln. Déduisez-en explicitement l'expression
de Ln en fonction de n.
c)exprimer Pn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (Pn)?
3)a)démontrer que An+1=An+(rac3/12)*(4/9)^9 et déduisez-en que pour tout naturel
n >ou égal à 1, An= A0+(rac3/12)[1+4/9+(4/9)²+...+(4/9)^n-1]
b)quel est la limite de la suite Ao?
4)expliquer pourquoi il éxiste une infinité de polygones Cn dont l'aire
est inférieure à 1 et dont le périmètre est supérieur à 10^7.
J'ai réussi qu'à faire la 2)b): Ln= Lo *(1/3)^n!!
- Question 1 -
Pour cette question, il faut que tu fasses un dessin pour comprendre ce
qui se passe :
Pour la première étape :
x1 = 4
3 = 12
L1 = 1/3
p1 = x1 L1
= 12 1/3
= 4
Dans un triangle équilatéral de côté b, la longueur de la hauteur vaut
:
(b
3)/2
[Ce résultat se retrouve facilement à l'aide du théorème de Pythagore]
a1 = a0 + 3(1/3
3 /6) / 2
= a0 + 3 / 12
= 3 / 3
(avec a0 correspondant à l'aire du triangle équilatéral
initial, c'est-à-dire 3/4).
Pour la deuxième étape :
x2 = 4 x1
= 48
L2 = L1/3
= 1/9
p2 = 48 1/9
= 16/3
a2 = a1 + 12 (1/9
1/9 3/2) / 2
= 10/27 3
(après calculs 
)
- Question 2 -
a)
xn+1 = 4 xn
(xn) est donc une suite géoémtrique de raison 4 et de premier terme x0
= 3.
D'où :
xn = 3 4n
b)
Ln+1 = 1/3 Ln
(Ln) est donc une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme
L0 = 1
Donc :
Ln = (1/3)n
c)
pn = xn Ln
= 3 (4/3)n
Comme 4/3 > 1, alors :
lim (4/3)n = +
Donc :
lim pn = +
Voilà déjà pour le début, bon courage ...
Et voici la suite :
- Question 3 -
a)
an+1 = an + xn(Ln+1Ln+13/2)/(2)
Tu remplaces par les valeurs trouvées précédemment et on trouve :
an+1 = an + 3 / 12 (4/9)n
En utilisant ce que l'on vient de montrer, on peut écrire que :
a1 = a0 + 3 / 12
a2 = a1 + 3 / 12 (4/9)
a3 = a2 + 3 / 12 (4/9)2
...
an-1 = an-2 + 3 / 12 (4/9)n-2
an = an-1 + 3 / 12 (4/9)n-1
Donc :
an = an-1 + 3 / 12 (4/9)n-1
= an-2 + 3/12 ((4/9)n-2+(4/9)n-1)
...
=a2 + 3/12 ((4/9)² + ... (4/9)n-1)
= a1 + 3/12 (4/9 + (4/9)² + ... (4/9)n-1)
= a0 + 3/12 (1 + 4/9 + (4/9)² + ... (4/9)n-1)
b) Avant de calculer la limite de la suite (an) je vais d'abord
calculer
1+4/9 + (4/9)² + ... + (4/9)n-1
Ce sont les n premiers termes d'une suite géoémtrique de raison
4/9, donc :
1+4/9 + (4/9)² + ... + (4/9)n-1
= (1 - (4/9)n) / (1/4/9)
= 9/5 (1 - (4/9)n)
Donc :
an = a0+/12 9/5 (1 -
(4/9)n)
comme 4/9 < 1, alors :
lim (4/9)n = 0
Donc :
lim an = a0+/12 9/5
= (23)/5
Calculs à vérifier.
Un petit peu de culture
Ces figures sont en fait appelées flocon de neige ou courbe de Von Koch.
La longueur du flocon de neige est infinie mais l'aire qu'il
délimite est finie.
Voilà voilà, bon courage...
1)
X0 = 3
L0 = 1
P0 = X0.L0 = 3
A0 = (1/2).(V3)/2 = (1/4).V3 avec V pour racine carrée.
X1 = 12
L1 = 1/3
P1 = 12/3 = 4
A1 = (1/4)(V3) + 3.(1/4)(V3).(1/9) = A0 + ((V3)/12)
X2 = 48
L2 = (1/3)²
P2 = 48/9
A2 = A0 + ((V3)/12) + 12.((V3)/4).(1/9)²
A2 = A0 + ((V3)/12) + ((V3)/12).(4/9)
A2 = A0 + ((V3)/12) (1 + (4/9))
-----
2)
a)
X(n+1) = 4.X(n)
X(n) = 3 * 4^n
b)
L(n+1) = (1/3).L(n)
L(n) = (1/3)^n (puisque L0 = 1 par hypothèse).
c)
P(n) = X(n) * L(n) = (4^n)/(3^(n-1))
lim (n->oo) P(n) = oo
-----
3)
a)
Au niveau n, il y a 3 * 4^n cotés.
Pour passer au niveau (n + 1), on ajoute n triangles de cotés (1/3) de
fois le coté au niveau n.
On ajoute donc: n triangles équilatéraux de coté (1/3)^(n+1)
Un des triangles ajouté a pour aire: (1/2).(1/3)^(n+1) .(1/3)^(n+1)
. (V3)/2
Un des triangles ajouté a pour aire: ((V3)/4).((1/3)^(2n+2))
Un des triangles ajouté a pour aire: ((V3)/4).((1/9)^(n+1))
L'aire des triangles ajouté est donc: 3 * 4^n .((V3)/4).((1/9)^(n+1))
L'aire des triangles ajouté est donc: 3 * 4^n .((V3)/4).(1/9)((1/9)^n)
L'aire des triangles ajouté est donc: 3 * (4/9)^n .((V3)/4).(1/9)
L'aire des triangles ajouté est donc: (4/9)^n .((V3)/12)
Et donc A(n+1) = A(n) + ((V3)/12).(4/9)^n (et pas ce que tu as écrit).
On a:
A1 = A0 + ((V3)/12)
A2 = A1 + ((V3)/12).(4/9)
A2 = A0 + (V3)/12).(1 + (4/9))
A3 = A2 + ((V3)/12).(4/9)²
A3 = A0 + (V3)/12).(1 + (4/9) + (4/9)²)
et ainsi de proche en proche:
A(n) = A0 + (V3)/12).[1 + (4/9) + (4/9)² + ... + (4/9)^(n-1)]
-----
b)
[1 + (4/9) + (4/9)² + ... + (4/9)^(n-1)] est la somme de n terme en
progression géométrique de raison 4/9 et de premier terme = 1.
On a donc:
[1 + (4/9) + (4/9)² + ... + (4/9)^(n-1)] = ((4/9)^n - 1)/((4/9) -1)
lim(n->oo)[1 + (4/9) + (4/9)² + ... + (4/9)^(n-1)] = -1/((4/9) -1) = 9/5.
lim(n->oo) A(n) = A0 + (9/5).(V3)/12)
Avec A0 = (V3)/4 = 0,433...
lim(n->oo) A(n) = (V3)/4 + (9/5).(V3)/12) = 0,6928...
-----
4)
La suite A(n) est croissante (puisqu'on ne cesse d'ajouter
des aires de triangle).
Mais A(n) reste inférieure à 1 pour tout n de N.
P(n) = (4^n)/(3^(n-1))
P(n) > 10^7 si (4^n)/(3^(n-1)) > 10^7
soit pour n >= 53
donc pour tout n >= 53, les polygones Cn ont une aire < 1 et un périmètre
> 10^7.
------
Sauf distraction.
Merci beaucoup pour vos réponses je vais bien les regarder si je
comprend pas quand même j'écrirais un nouveau msg. Merci!
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