suite

Posté par trater trater

bonjour j'ai un exercice pour demain auquel je ne comprend rien du tout.

u est la suite définiepour tout entier n1 par
      u indice n =((n(n+1))/2)²
v est la suite définie par v1 =1 et la relation de récurrence
      v indice n = v indice n-1 +n^3 pour tout entier n2.

a) calculer les termes d'indice 1 à 5 des suites u et v.
b) démontrer que la suite u vérifie la relation de récurrence
         u indice n = u indice n-1 +n^3 pour tout entier n2.
c) on admet alors que les suites u et v sont égales. en déduire que pour tout entier n1
       (1+2+...+n)²= 1^3 + 2^2 +...+ n^3

merci beaucoup pour votre aide
          

Posté par J-P J-P

b)

u(n) =((n(n+1))/2)²
u(n-1) =(((n-1)((n-1)+1))/2)²
u(n-1) =(((n-1)(n)/2)²

u(n) - u(n-1) = ((n(n+1))/2)² - (((n-1)(n)/2)²

u(n) - u(n-1) = (n/2)².[(n+1)²-(n-1)²]

u(n) - u(n-1) = (n/2)².[(n²+2n+1)-(n²-2n+1)]

u(n) - u(n-1) = (n/2)².(4n)

u(n) - u(n-1) = n³

u(n) = u(n-1) + n³
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c)
V(1) = 1
v(n) = v(n-1) +n^3

V2 = V1 + 2³ = 1 + 2³
V3 = V2 + 3³ = 1 + 2³ + 3³
V4 = V3 + 4³ = 1 + 2³ + 3³ + 4³
...
V(n) = 1 + 2³ + 3³ + 4³ + ... + n³


u(n) = v(n) -->
((n(n+1))/2)² = 1 + 2³ + 3³ + 4³ + ... + n³

Or (n(n+1))/2) est la somme de n termes en progression aritmétique de raison 1 et de 1er terme = 1.
--> ((n(n+1))/2) = 1 + 2 + 3 + ... + n

On a donc:

(1 + 2 + 3 + ... + n)² = 1 + 2³ + 3³ + 4³ + ... + n³
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Sauf distraction.

Posté par trater trater

merci beaucoup J-P grâce à toi j'ai compris l'exercice