1S Barycentre

Posté par Jessica54 (invité)

Bonjour à tous!
J'aurai besoin de votre aide pour un exercice sur le "barycentre" pour mon dm de maths, dont voici l'énoncé :

ABC est un triangle du plan.
1. a) Construire le point G barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C,1).
b) Construire le point G' barycentre de (A,1) ; (B,5) et (C,-2).
2. a) J est le milieu de [AB].
Exprimer le vecteur GG' et le vecteur JG' en fonction du vecteur AB et du vecteur AC. En déduire l'intersection des droites (GG') et (AB).
b) Démontrer que le barycentre I de (B,2) et (C,-1) appartient à la droite (GG').
3. D est un point quelconque du plan. O est le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
a) Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit barycentre de (A,a) ; (D,d) et (C,c).
b) On note X le point d'intersection de (DK) et (AC).
Déterminer les réels a' et c' tels que X soit barycentre de (A,a') et (C,c').


Voilà ce que j'ai déjà fait, si vous pouviez me corriger et m'aider pour ce que je n'ai pas réussi à faire...

(Je dis pas que ce sont des vecteurs mais s'en est quand même)

1. a) G est le barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C,1) et H est le barycentre de (A,1) et (C,1).
AH = 1/2 AC.
D'après le théorème du barycentre partiel, on a :
G est le barycentre de (H,2) et (B,-1).
HG = - HB.
GA-GB+GC=0
donc GA-(GA+AB)+(GA+AC)=0
donc GA-AB+AC=0
donc AG=-AB+AC

b) G' est le barycentre de (A,1) ; (B,5) et (C,-2) et H' est le barycentre de (A,1) et (B,5).
AH' = 5/6 AB
G'A+5GB-2GC=0
G'A+5(GA+AB)-2(GA+AC)=0
4GA+5AB-2AC=0
4AG'=5AB-2AC
AG'=5/4AB-1/2AC
D'après le théorème du barycentre partiel, on a :
G' est le barycentre de (H,6) et (C,-2).
H'G' = - 1/2 H'C

2. a) J milieu de [AB].
GG'=GA+AG'
GG'=AB-AC+5/4AB-1/2AC
GG'=9/4AB-3/2AC

JG'=JA+AG'
JG'=-1/2AB+5/4AB-1/2AC
JG'=3/4AB-1/2AC

Donc JG' = 3GG' donc J appartient à (GG').
Et comme J est le milieu de [AB], J appartient à (AB).
Par conséquent, J = (AB) U (GG').

b) I est le barycentre de (B,2) et (C,-1)
BI=-BC=-(BA+AC)
BI=AB-AC

GI=GA+AB+BI
GI=GA+AB+AB-AC
GI=GA+2AB-AC

GG'=9/4AB-3/2AC d'après a)
Donc I appartient à (GG')

3. j'ai pas réussi....

Posté par giordano (invité)

Bonjour,
question 3-a)
O est le milieu de [CD] donc O barycentre de (C,1),(D,1).
K le milieu de [OA] donc K barycentre de (O,2),(A,2).
Par associativité,
K barycentre de (C,1), (D,1), (A,2).

Posté par Jessica54 (invité)

Merci de ton aide giordano...