Le codage: spé.maths

Posté par lola412 (invité)

bonjour, désolé de vous déranger mais je bloque sur cet exos je ne comprend rien et je dois le rendre mercredi, je vous montre l'énoncé et les questions que je n'arrive pas merci d'avance pour votre aide:

on considére 2 entiers a et b. Pour tout entier n, on note(n) le reste de la division euclidienne de an+b par 26.
On décide de coder un message, en procédant comme suit: à chaque lettre de l'alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25:

A B C D E F G H I J K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre du message, on détermine l'entier n associé puis on calcule (n). La lettre est alors codée par la lettre O. On ne connait les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et T par O.

1)Montrer que les entiers a et b sont tels que: 5a+b=10(26)
                                                19a+b=14(26)

2)en déduire qu'il existe un entier k tel que 14a-26k=4

3) déterminer tous les couples d'entiers (a,b) avec 0a25 et 0b25 tels que:
5a+b=10(26)
19a+b=14(26)

Posté par minotaure (invité)

salut
on sait que la lettre F est codée par la lettre K

F est la 5 eme lettre de l'alphabet.
et K la 10 eme.

donc phi(5)=10 c'est a dire 5a+b = 10 (26)

meme chose pour la seconde.

2)on a 5a+b=10(26) il existe p dans Z tel que
5a+b=26*p+10 (1)

et 19a+b=14(26) il existe q dans Z tel que 19a+b=26*q+14 (2)

on fait (2) - (1) :

14a = 26*(q-p) + 4

donc 14a - 26*(q-p) = 4

donc en prenant k=q-p on a montre l'existence de notre k.

Posté par minotaure (invité)

pour le 3)

il faut se servir du 2.

14a-26k=4

qu'on resoud en faisant attention que a est compris entre 0 et 25 puis on trouvera b...

Posté par lola412 (invité)

merci oui en fait je pense ne pas avoir réfléchi assez et pour la 3) stp

Posté par lola412 (invité)

mince je comprend pasdésolé

Posté par minotaure (invité)

que ne comprend tu pas ?

1 ?
2 ?

3 ?

Posté par lola412 (invité)

ba comment faire le 3) d'apré le 2)

Posté par minotaure (invité)

il faut resoudre ceci 14a-26k=4
donc 7a-13k=2

reste a resoudre cette equation.

identite de bezout....

a=4-13*p
k=2-7*p avec p entier.

or a est dans {0,...25}

donc les seules solutions  (a,k) sont (4,2),(17,9)

pour a=4

on a b=-10(26) donc b est de la forme -10+p*26
or b est un entier compris entre 0 et 25 donc b=6

conclusion (4,6) avec a=4 et b=6 est une solution

pour a=17 b est de la forme 3+p*26
donc b=3

conclusion (17,3) est la seconde.


tous les couples d'neiters : (4,6) et (17,3)

a verifier tout ca...

Posté par corobu (invité)

Bonsoir.
J'ai trouvé b=16 pour a=4
l'erreur est içi:

"on a b=-10(26) donc b est de la forme -10+p*26
or b est un entier compris entre 0 et 25 donc

Posté par minotaure (invité)

a oui j'ai fait -10+26=6 au lieu de -10+26=16

argh la preuve qu'il faut que j'aille me coucher....

merci de l'avoir vue.

Posté par corobu (invité)

Sage décision. Je vais en faire autant car j'ai du sable dans les yeux.
C'est écrit trop petit pour moi dans ce forum.
Mireille

Posté par lola412 (invité)

Je suis vraiment désolé j'ai compris les premières questions de cet exos mais la fin je ne comprend encore rien, je bloque sur les questions 4 et 5 pouvez vous m'aider! merci d'avance pour votre gentillesse et votre aide, je vous repasse l'énoncé:

on considére 2 entiers a et b. Pour tout entier n, on note(n) le reste de la division euclidienne de an+b par 26.
On décide de coder un message, en procédant comme suit: à chaque lettre de l'alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25:

A B C D E F G H I J K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre du message, on détermine l'entier n associé puis on calcule (n). La lettre est alors codée par la lettre O. On ne connait les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et T par O.

1)Montrer que les entiers a et b sont tels que:5a+b=10(26)
                                                                  19a+b=4(26)

*4)On suppose que a=17 et b=3
a) coder le message GAUSS
b) soit(n)= (p) alors 17(n-p)=0(26)

*5)on suppose que a=17 et b=3
a)soit n un entier naturel.calculer le reste de la division euclidienne de 23(n)+9-n par 26
b) en déduire un procédé de décodage. déduire le décodage du message KTGZDO

*** message déplacé ***

Posté par J-P J-P

4)

an+b = 17n + 3

G --> n=6
an+b = 17*6 + 3 = 105
Le reste de la division 105/26 est 1 --> G sera représenté par A dans le message codé.

A --> n=0
an+b = 17*0 + 3 = 3
Le reste de la division 3/26 est 3 --> A sera représenté par D dans le message codé.

U --> n=20
an+b = 17*20 + 3 = 343
Le reste de la division 343/26 est 5 --> U sera représenté par F dans le message codé.

S --> n=18
an+b = 17*18 + 3 = 309
Le reste de la division 309/26 est 23 --> S sera représenté par X dans le message codé.

GAUSS codé devient ADFXX
-----
5)

Si on calcule le reste de la division euclidienne de 23.Phi(n)+9-n par 26, on trouve 0 pour tout n (dans [0 ; 25])

Avec K = 10
23.Phi(n)+9-n = 26k
23*10 + 9 - n = 26k
n = 239 - 26k
Partie entière de 239/26 = 9 et donc k = 9
n = 239 - 26*9 = 5 --> F

Avec T = 19
23*19 + 9 - n = 26k
n = 446 - 26k
Partie entière de 446/26 = 17 et donc k = 17
n = 446 - 26*17 = 4 --> E

Avec G = 6
23*6 + 9 - n = 26k
n = 147 - 26k
Partie entière de 147/26 = 5 et donc k = 5
n = 147 - 26*5 = 17 --> R

Pareillement:
Z --> 25 --> 12 --> M
D --> 3 --> 0 --> A
O --> 14 --> 19 --> T

Donc KTGZDO, une fois décodé donne FERMAT.
-----
Sauf distraction.


*** message déplacé ***

Posté par lola412 (invité)

Merci comment on fait pour la 4 b)

Posté par lola412 (invité)

stp

Posté par lola412 (invité)

Heu je n'ai pas compris la quetion 4b) et la (a) merci d'avance pour votre explication

Posté par lola412 (invité)

bonjour  à vous tous je remercie déjà les personnes qui m'ont beaucoup aidé mai en fait je n'ai pas compris comme je le dis les questions 4b) et 5a) pouvez m'expliquer merci

Posté par J-P J-P

5
a)

phi(n) = (17n+3)-26k (avec k un entier)

23Phi(n)+9-n = 23((17n+3)-26k)+9-n

23Phi(n)+9-n = 391n+69-598k+9-n

23Phi(n)+9-n = 390n+78-598k

23Phi(n)+9-n = 26.(15n+26-23k)

Et donc [23Phi(n)+9-n] est multiple de 26.

--> Le reste de la division de [23Phi(n)+9-n] par 26 est 0.
-----
Sauf distraction.

Posté par lola412 (invité)

merci énormément mais à force de chercher j'ai trouvé cette question par contre la 4b)
creuse la tête et je trouve toujours pas comment la démontrer!mince j'ai oublié de la noter désolé!

b) soit n et p 2 entiers naturels quelconques
montrer que(n)= (p) alors 17(n-p)=0(26)
en déduire que 2 lettres distinctes de l'alphabet sont codées par 2 lettres distinctes
voilà merci d'avance et encore désolé

Posté par J-P J-P

Phi(n) = (17n+3)-26k
Phi(p) = (17p+3)-26k'
k et k' entiers.

Phi(n) - Phi(p) = (17n+3)-26k - (17p+3)+26k'
Phi(n) - Phi(p) = 17(n-p)-26(k-k')

Si Phi(n) = Phi(p), Phi(n) - Phi(p) = 0,

17(n-p)-26(k-k') = 0
17(n-p) = 26(k-k')

Et donc 17(n-p) est divisible par 26.
-----
Remets cela avec les notations d'aujourd'hui avec lesquelles je suis peu coutumier.

Sauf distraction.

Posté par J-P J-P

Zut je n'avais pas fini.

17(n-p) est divisible par 26.

--> 17(n-p)=0(26)
et comme 17 et 26 sont premiers entre-eux --> on a n-p = 0

et donc n = p
-->
Si Phi(n) = Phi(p), on a n = p

--> 2 lettres distinctes de l'alphabet sont codées par 2 lettres distinctes.
-----
Sauf distraction.

Posté par lola412 (invité)

merci

Posté par lola412 (invité)

Je viens de relire mon exercice, et j'ai quelques difficultés pour la question 3) je comprend pas pour on me l'a expliqué mais je ne l'a comprend toujours pas!
on considére 2 entiers a et b. Pour tout entier n, on note(n) le reste de la division euclidienne de an+b par 26.
On décide de coder un message, en procédant comme suit: à chaque lettre de l'alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25:

A B C D E F G H I J K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre  du message, on détermine l'entier n associé puis on calcule (n). La lettre  est alors codée par la lettre O. On ne connait les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et T par O.

1)Montrer que les entiers a et b sont tels que: 5a+b=10(26)
                                                19a+b=14(26)

2)en déduire qu'il existe un entier k tel que 14a-26k=4

*3) déterminer tous les couples d'entiers (a,b) avec 0a25 et 0b25 tels que:
5a+b=10(26)
19a+b=14(26)

Posté par lola412 (invité)

pouvez vous m'expliquer j'y comprend rien merci merci infiniment!

Posté par lola412 (invité)

Je viens de relire mon exercice, et j'ai quelques difficultés pour la question 3) je comprend pas pourtant on me l'a expliqué mais je ne l'a comprend toujours pas!
on considére 2 entiers a et b. Pour tout entier n, on note(n) le reste de la division euclidienne de an+b par 26.
On décide de coder un message, en procédant comme suit: à chaque lettre de l'alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25:

A B C D E F G H I J K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre  du message, on détermine l'entier n associé puis on calcule (n). La lettre  est alors codée par la lettre O. On ne connait les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et T par O.

1)Montrer que les entiers a et b sont tels que: 5a+b=10(26)
                                                19a+b=14(26)

2)en déduire qu'il existe un entier k tel que 14a-26k=4

*3) déterminer tous les couples d'entiers (a,b) avec 0a25 et 0b25 tels que:
5a+b=10(26)
19a+b=14(26)

*** message déplacé ***

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

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