Suites ...

Posté par DeltaAirlines (invité)

Bonjour ! J'ai un exo à faire sur les suites et comme je ne suis pas très à l'aise avec ça, j'aimerais vous montrer ce que j'ai fait (et que vous me disiez si c'est correct) et que vous m'aidiez un peu vers la fin ou je m'embrouille totalement. Merci !! Voilà l'exo:

On définit pour tt n > 0 la suite (Un) de nb, réels strictement positifs par:
Un = n²/(2^n)
1. Pr tt n > 0 on pose : Vn = U(n+1)/Un
   a. Montrer que lim (Vn) = 1/2
   b. Montrer q pour tt entier naturel n >0, Vn > 1/2
   c. Trouver le plus petit entier N tq si N n, Vn < 3/4
   d. En déduire q si Nn alors U(n+1) < 3/4 Un

Voilà ce q j'ai fait :
   a. J'ai calculé Vn grâce à U(n+1) et j'arrive à trouver 1/2
   b. Je définis une suite fonctionnelle qui est f(x) = (x² + 2x + 1)/(2x²) puis je calcule la dérivée et j'obtiens : (-4x(x+1))/(2x²)² et je fais un tableau de signe et de variation je constate que la fonction est décroissante et que la limite en l'infini est 1/2 dc, Vn > 1/2
   c. J'utilise le théorème de la bijection je dis q f est une bijection de
]0 ;+ [ sur [1/2 ; +[ et que 3/4 appartient à cet intervalle dc il existe un réel alpha tq f(alpha) = 3/4 je trouve alpha = 4,44 donc N = 5 . De plus f est décroissante alors Vn < 3/4
   d. Nn , Vn < 3/4 pour N = 4,44 Or Vn = U(n+1)/Un dc si n supérieur ou égal à 4,44, Vn < 3/4 alors U(n+1) < 3/4

Ensuite, ça se complique, je n'y arrive plus :
Pour tt n  >= 5 Sn = U5 + U6 + ... + Un
  2. Montrer que la suite est convergente
  3. Montrer par récurrence que Un((3/4)^(n-5))U5    

Merci !!

Posté par Guillaume (invité)

Vn=U(n+1)/Un
Vn=(n+1)²*2^n/2^(n+1)*n²=(1/2)(1+1/n)²
si n tend svers +inf (1+1/n)² tends vers 1 donc Vn tends vers 1/2.

Vn-1/2=(1/2)(1+1/n)²-1/2=(1/2)[(1+1/n)²-1]
Vn-1/2=(1/2)[1/n²+2/n]>0 donc Vn>1/2

vn<3/4
(1/2)(1+1/n)²<3/4
(1+1/n)²<3/2
1+1/n<rac(3)/rac(2)
1/n<rac(3)/rac(2)-1
n>1/[rac(3)/rac(2)-1)
n>4.45 donc oui N=5

pour n>N on a Vn<3/4
donc U(n+1)/Un<3/4
docn U(n+1)<(3/4)Un

la suite est donc decroissante et comme ellle positive elle converge forcement.(decroissante+minorée=convergente)

tu as U6<3/4U5
et aussi U7<3/4U6
et aussi U8<3/4U5
etc etc
Un<3/4 U(n-1)
on multiplie toutes ces egalites membre a memebres:
Un<(3/4)^(n-5)U5

courage
A+

Posté par philoux (invité)

bonjour

n>N => Vn <3/4

Un+1/Un < 3/4

Un+1 < (3/4)Un

Philoux

Posté par philoux (invité)

oups

salut Guillaume

Philoux