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Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée


licenceDéterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée

#msg5075860#msg5075860 Posté le 31-03-14 à 16:36
Posté par ProfilDeimisos Deimisos

Bonjour,

J'aimerais savoir comment trouver les vecteurs propres d'une matrice à partir de ses valeurs propres.


Voici une matrice carrée, de dimension 3 :


4 1 -2
-6 0 3
8 2 4

Elle possède une seule valeur propre et c'est zéro.

J'ai donc 4 1 -2 | y1 |
         -6 0 3  | y2 | = 0
          8 2 4  | y3 |


On est sensé trouver un vecteur propre y = |1| comme cela mais je ne sais pas d'ou ça vient
                                                           |0|
                                                           |2|
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5075871#msg5075871 Posté le 31-03-14 à 16:45
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Bonjour
ça vient de la résolution du système, tiens !
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re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5075880#msg5075880 Posté le 31-03-14 à 16:55
Posté par Profilverdurin verdurin

Bonjour,
j'imagine que la matrice est

\begin{pmatrix}4&1&-2\\-6&0&3\\8&2&-4\end{pmatrix} \text{ et non } \begin{pmatrix}4&1&-2\\-6&0&3\\8&2&4\end{pmatrix}

peux-tu vérifier ?
Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5075882#msg5075882 Posté le 31-03-14 à 16:58
Posté par ProfilDOMOREA DOMOREA

Bonjour,
en effet le déterminant de ta matrice initiale n'étant pas nul, 0 ne pouvait-être valeur propre
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5075973#msg5075973 Posté le 31-03-14 à 18:07
Posté par ProfilDeimisos Deimisos

Enfaite, ce que je souhaite moi, c'est comprendre comment on déterminer la dimension et les coordonnées des vecteurs propres...


Je résous (A - valeur propre * matrice identité * )vecteur y1,y2,y3 ...

C'est un système à trois inconnues et trois équations...

Et je dis que Y = y1,y2,y3 ... et si je peux par exemple avoir un truc de la forme y1(2,1,3) c'est une dimension 1 .... mais si je peux pas tout exprimer de cette manière mais que je suis obliger d'utiliser genre un second facteur : y1(1,2,0) + y3(0,0,1) là c'est de la dimension 2 ?

Et à partir de ça... De ces y1,y2,3... Je vais ensuite pouvoir diagonaliser A... !
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5076007#msg5076007 Posté le 31-03-14 à 18:38
Posté par Profilverdurin verdurin

La dimension des vecteurs propres est fixée par l'espace dans le quel on se trouve.
Dans ton exemple les vecteurs propres sont de dimension 3.

On résout le système A.Y=kY où k est une valeur propre et Y un vecteur inconnu.

En ce qui concerne ton exemple, peux-tu vérifier l'énoncé ?

Si la correction que j'ai proposée est bonne, tu ne pourras pas diagonaliser A.
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5076227#msg5076227 Posté le 31-03-14 à 21:46
Posté par Profillafol lafol Moderateur

quand tu dis "dimension des vecteurs propres", il faut lire "dimension des sous espaces propres", j'ai l'impression
mais pas mieux que les autres : tu as une erreur de signe dans ta matrice
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5076234#msg5076234 Posté le 31-03-14 à 21:50
Posté par Profilverdurin verdurin

Citation :
quand tu dis "dimension des vecteurs propres", il faut lire "dimension des sous espaces propres", j'ai l'impression

Bon sang, mais c'est bien sur !

Salut lafol
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée#msg5076240#msg5076240 Posté le 31-03-14 à 21:58
Posté par Profillafol lafol Moderateur

salut verdurin

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