exercice litéral sur les complexes!

Posté par Marine_lyon Marine_lyon

bonjour à tous, j'ai un exercice sur les complexes qui me pose qqs difficultés, voici l'énoncé:
Dans le plan complexe ABC est un triangle direct quelconque. Extérieurement à ce triangle, on construit 3 triangles équilatéraux directs AC'B, BA'C et CB'A. R,P et Q st leurs centres de gravité respectifs. On note a, b, c, a', b', c', p, q et r les affixes respectives de A,B,C,A',B',C',P,Q et R.
a)Traduire avec les affixes des pts concernés que C' est l'image de A par une rotation d'angle pi/2 dont on précisera le centre.
b)Démontrer que a'+b'+c' = a+b+c et que p+q+r=a+b+c
c)En déduire que ABC, A'B'C' et PQR ont le même centre de gravité.
d)Démontrer que 3(q-p)= (b'-c)+(c-a')+(a-b), on admettra de même que 3(r-p)= (a-c)+(b-a')+(c'-b)
e) Justifier les égalités suivantes:
a-c= [e^i(pi/3)](b'-c) et b-a'= [e^i(pi/3)](c-a')
et c'-b= [e^i(pi/3)](a-b)
f) Déduire que ABC est équilatéral

Pr la question a) je trouve w = 0.5(c'-a) + 0.5i(c'-a) est-ce que c'est bon? pr la question b) j'arrive à montrer que moduel de a+b+c = module de a'+b'+c' mais je sais pas comment faire pr enlever les modules. Et pr les autres questions je ne sais pas comment démarrer dc merci à tous ceux qui pourront m'apporter leur aide
bizzz
Marine

Posté par Marine_lyon Marine_lyon

dsl petite confusion dans l'énoncé! pr le petit a) l'angle n'est pas pi/2 mais pi/3
et pr le f) c'est déduire que PQR est un triangle équilatéral
et je suis toujours bloquée si qqn a une idée merci!

Posté par J-P J-P

a)
Avec l'angle Pi/3 --> le centre de rotation est B.
-->
(c'-b) = (a-b).e^(i.Pi/3)
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b)
Je n'ai pas essayé de montrer que a'+b'+c' = a+b+c, cela supposé fait, alors:

p = (a'+b+c)/3 (puisque P est le centre de gravité de BA'C)
q = (a+c+b')/3
r = (a+b+c')/3

p+q+r = (a'+b+c)/3 + (a+c+b')/3 + (a+b+c')/3
p+q+r = (a'+b+c+a+c+b'+a+b+c')/3
p+q+r = (2a+2b+2c+a'+b'+c')/3

Et comme a'+b'+c' = a+b+c -->
p+q+r = (2a+2b+2c+a+b+c)/3
p+q+r = a+b+c
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c)
(a+b+c)/3 est l'affixe du centre de gravité du triangle ABC
(a'+b'+c')/3 est l'affixe du centre de gravité du triangle A'B'C'
(p+q+r)/3 est l'affixe du centre de gravité du triangle PQR

Comme p+q+r = a+b+c = a'+b'+c', on conclut que les centres de gravites des triangles PQR, ABC et A'B'C' ont la même affixe -->
Les triangles PQR, ABC et A'B'C' ont le même centre de gravité.
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d)
q = (a+b'+c)/3
p = (a'+b+c)/3

3q = (a+b'+c)
3p = (a'+b+c)

3q - 3p = a+b'+c - a'-b-c
3(q-p) = a+b'+c - a'-b-c (en changeant l'ordre des termes du second membre -->)
3(q-p) = b'-c + c - a'+a-b
3(q-p) = (b'-c) + (c-a') + (a-b)
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e)
le triangle BA'C est équilatéral direct --> vect(B'C) et vect(AC) ont la même norme et font entre-eux un angle de Pi/3 orienté de telle façon que:
a-c= [e^i(pi/3)](b'-c)

Même raisonnement pour les 2 autres relations.
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f)
Erreur d'énoncé.

L'énoncé dit "ABC est un triangle direct quelconque", il n'est donc pas équilatéral.

Ne s'agit-il pas plutôt du triangle PQR ??

Je vois ta seconde intervention juste avant d'envoyer ma réponse, j'ai corrigé le point a mais pas le f.
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Sauf distraction.