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Cercle passant par 3 points

Posté par
SpooKy12
09-04-14 à 19:59

Bonjour,
Voila j'ai un exercice que je n'ai absolument pas compris ;
Le prof nous a donné : A(5;7) B(-2;6) C(2;-8) et nous a demmandé de trouver le cercle c passant par ABC, je n'ai pas plus d'information.
J'ai donc tracé le triangle ABC mais je n'ai pas d'autres idées pour continuer
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 20:08

Bonjour,

le centre M(x; y) du cercle est à égale distance des trois points

en écrivant MA² = MB² et MA² = MC² (formules de distance) tu obtiens deux équations en x et y que tu peux résoudre (= système)
cela te donne les coordonnées du centre
et le rayon = MA (ou MB ou MC au choix)

Posté par
jeveuxbientaider
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 20:14

Bonjour,

2 idées :

1) tu cherches les coordonnées d'un point O tels que OA = OB = OC pour trouver le centre du cercle
Le rayon étant alors égal à OA ou OB ou OC

2) tu écris les équations de 2 médiatrices dans le triangle
Tu cherches leur point d'intersection
Cela te donnera les coordonnées du centre du cercle.
Le rayon sera alors égal à OA ou OB ou OC

Bons calculs !

Posté par
SpooKy12
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:09

J'ai essayé la methode de Mathafou mais je tombe à chaque fois sur des resultats incoherents qui sont faux en justification :/
Donc je vais essayer la methode avec les mediatrices

Posté par
Glapion Moderateur
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:15

Et pense que geogebra peut aussi vérifier tes calculs :
Cercle passant par 3 points

Posté par
SpooKy12
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:19

Oui c'est ce que j'ai fait pour voir que ce que je faisais était totalement faux

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:24

remarque que c'est la même : pour obtenir le plus rapidement possible l'équation d'une médiatrice on écrit que c'est l'ensemble des points M(x; y) à égale distance de A et B donc tels que MA² = MB²

on peut certes utiliser une méthode bien plus longue qui consiste à calculer les coordonnées du milieu de AB, puis l'équation de la droite AB puis l'équation d'une perpendiculaire à cette droite passant par le milieu
mais pffff tous ces calculs augmentent considérablement le risque de faire une erreur

on peut aller un chouia plus vite en écrivant que si I est le milieu de AB, la médiatrice est l'ensemble des points M tels que \vec{IM}.\vec{AB} = 0

tu choisis la méthode (= les détails de calculs) que tu veux
au final tu auras de toutes façon à résoudre quoi qu'il arrive un système
{ ax + by = c (une médiatrice)
{ a'x + b'y = c' (une autre médiatrice)

que tu les aies obtenues en simplifiant MA² = MB² ou par les produits scalaires ou avec les coefficients directeurs etc, ce sera fondamentalement le même système d'équations au final

(qui donnera des coordonnées en valeurs exactes sous la forme a/17, beurk, ne parlons même pas du rayon encore pire. Les points sont choisis apparemment au hasard ou pour donner des calculs "merdiques" de toute façon, quelle que soit la méthode)

Posté par
SpooKy12
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:42

Que ça soit avec une methode ou l'autre je tombe à chaque fois sur x=2 et y=3 qui donne apres un cercle qui passe que par AB

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:44

montre un peu les détails de tes calculs pour qu'on te dise où tu t'es trompé.

Posté par
SpooKy12
re : Cercle passant par 3 points 09-04-14 à 23:54

M (x;y) appartient a la mediatrice de AB :
   AM=BM
   AM²=BM²
   (x-5)²+(y-7)²=(x+2)²+(y-6)²
   x²+y²-10x-14y+74=x²+4x+y²-12y+40
   -7x+17=y

M (x;y) appartient a la mediatrice de AC :
   AM=CM
   AM²=CM²
   (x-5)²+(y-7)²=(x-2)²+(y+8)²
   x²+y²-10x-14y+74=x²-4x+y²+16y+68
   y=3x-3

Donc le point d'intersection des deux mediatrices est le centre du cercle :
   -7x+17-(3x-3)=0
   -10x+20=0
   x=2

y=3*2-3=3

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercle passant par 3 points 10-04-14 à 00:16

x²+y²-10x-14y+74=x²-4x+y²+16y+68 oui
y=3x-3 non (erreur de signe ?)

ça donne avant de simplifier :
-10x + 4x + 74 - 68 = 16y \red + 14y
soit
-6x + 6 = 30y
soit -x + 1 = 5y

tu as donc à résoudre
{ -7x + 17 = y
{ -x + 1 = 5y

dont les solutions (si pas de nouvelle erreur de calcul) sont en parfait accord avec les valeurs numériques fournies par Geogebra.

indice : tu pouvais faire afficher par Geogebra les équations des médiatrices pour voir laquelle était fausse )

Posté par
SpooKy12
re : Cercle passant par 3 points 10-04-14 à 00:50

Voila j'ai bien trouvé comme coordonné du point x=42/17 ; y=5/-17 (avec du mal car je fatigue donc j'enchaine les erreurs de calculs :/)
Merci beaucoup pour ton aide !



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