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Démonstration de produits scalaires dans un triangle

Posté par
__maya 12-04-14 à 15:30

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas à commencer:
Soit un triangle ABC, I le milieu de [BC].
Montrer que AB.AC = AI2-BC2/4
et que AB2-AC2=2IA.BC
Merci d'avance.

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 15:41

bonjour

\vec{AB}.\vec{AC}=(\vec{AI}+\vec{IB}).(\vec{AI}+\vec{IC})=.....

Posté par
Priamre : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 15:41

Première relation: tu peux la démontrer en décomposant, selon Chasles, les vecteurs AB et AC pour faire intervenir le point I.

Posté par
__mayare : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 15:54

Donc après ça donne (AI.AI)+(AI.IC)+(IB.AI)+(IB.IC) c'est ça ?  

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 15:55

oui...continue

Posté par
__mayare : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:04

(AI.AI) donne AI2 mais je ne sais pas comment faire pour les trois autres

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:05

refactorise les deux du milieu

et exprime le dernier en fct de BC

Posté par
__mayare : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:12

AI2+(AI;IB)+AI2+(IC.IB)+(IC.AI) + (IB.IC)

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:18

\vec{AB}.\vec{AC}=(\vec{AI}+\vec{IB}).(\vec{AI}+\vec{IC})=\vec{AI}^2+\vec{AI}.(\vec{IB}+\vec{IC})+\vec{IB}.\vec{IC}=...

Posté par
__mayare : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:38

AI2+AI(IB.IC)+IB.IC
Est-ce que -BI.IC=BC ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:42

que vaut \vec{IB}+\vec{IC}

et après calcule ce produit scalaire (les 3 points sont alignés...) \vec{IB}.\vec{IC}

Posté par
__mayare : Démonstration de produits scalaires dans un triangle 12-04-14 à 16:53

Je ne vois pas du tout comment il faut que je fasse...


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