arithmétique

Posté par nicolas59 (invité)

Bonjour à tous !
J'ai un petit problème avec mon DM de maths.Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

On a :
a=n^3 - n^2 - 12n
b=2n^2 -7n -4

1)Montrer que a et b sont divisibles par n-4
2)On pose alfa=2n +1 et Betta=n+3.Le pgcd de alfa et betta est d.
   a)Montrer que d est necessairement un diviseur de 5.
   b)Montrer que alfa et betta sont des multiples de 5 si et seulement si n est congru à 2 modulo 5
3)Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux.

Pour la 1), je pense qu'il faut étudier les polynômes du second degrès.Mais je ne vois pas en quoi je peux démontrer qu'ils sont divisibles par n-4
Je sais que a= n(n^2 - n -12)
b est déja un polynôme du second degré.

Je suis bloqué pour la 2, ainsi que pour la 3)

Merci de m'aider !

Posté par nicolas59 (invité)

aidez moi svp....

Posté par nicolas59 (invité)

personne n'arrive à résoudre ce problème ??

Posté par cissou3 cissou3

bonjour,
il faut que tu mettes (n-4) en facteur dans ton a.

Posté par nicolas59 (invité)

oui maintenan j'ai trouvé pour le 1)
la 2 et 3 me posent toujours problème

Posté par nicolas59 (invité)

merci de m'aider !

Posté par masophe (invité)

1°)Montrons que a et b st div par n-4:
  n^3-n^2-12n= (n-4)(n^2+3n)
  2n^2-7n-4= (n-4)(2n+1)

2°)alpha=2n+1
   béta=n+3
   pgcd(alpha;béta)=d
a)Montrons que d est nécéssairement un diviseur de 5
  pgcd(2n+1;n+3)= d
alors
  d divise 2n+1  et d divise n+3
alors
  il existe k,k' réels tels que:
           2n+1= kd   (1)
           n+3= k'd   (2)

       (2)donne n= k'd-3
En remplaçant n par k'd-3 ds (1), on obtient:
        2(k'd-3)+1= kd
   ie   2k'd-6+1= kd
   ie   2k'd-kd= 5
   ie   d(2k'-k)=5
c'est à dire que 5 est un multiple de d
Donc  d divise 5
Remarque: ket k', alors 2k'-k

b)alpha et béta sont des multiples de 5

k,k'tq
2n+1=5k (1)  et n+3=5k' (2)
En faisant (1)-(2), on obtient: n-2=5(k-k')
                              ie n=2+5(k-k')
                              ie n2[5]    

  3°)Montrons que n et 2n+1 st premiers entre eux:
Montrons que pgcd(2n+1;n)=1
Si d est le pgcd de 2n+1 et de n, alors il existe 2 réels k et k' tels que: 2n+1= kd et n=k'd
2n+1-n=d(k-k')
n+1=d(k-k')
alors d divise n+1
Pour que d divise à la fois n et n+1, il faut que d soit nécessairement égal à 1
donc 2n+1 et n st prmiers entre eux