PGCD et suites

Posté par lelyonnais34 (invité)

Bonjour a tous

Voila j'ai cette exo en specialité et j'aimerai un peu d'aide :

On note U la suite définie par U0=0, U1=1 et pour tout entier naturel n, U(n+2)=3U(n+1)-2Un

J'ai demontré dans les premieres question que Un est un entier naturel, U(n+1)=Un + 1 , que deux termes consécutifs de U sont premiers entre eux, que Un=2^n - 1
et que U(n+p)=Un(Up + 1) + Up.

Il me demande maintenant d'en deduire pour tout couple (n;p) d'entiers naturels :
PGCD(Un,Up) = PGCD(Un,U(n+p))

Puis d'apres cette propriete en deduire que PGCD (Ub,Ur) = PGCD (Ua,Ub) avec a et b deu entiers naturels non uls et r le reste de la div euclidienne, ca j'ai reussi a le faire puis il demande ensuite de deduire que :
PGCD(Ua,Ub) = U(PGCD(a,b))

Voila merci de votre aide.

Posté par wiat (invité)

Il me demande maintenant d'en deduire pour tout couple (n;p) d'entiers naturels :
PGCD(Un,Up) = PGCD(Un,U(n+p))
Et bien, comme U(n+p)=Un(Up + 1) + Up
On a PGCD(Un,U(n+p))=PGCD(Un,Un(Up + 1) + Up)
Or Un(Up+1) est multiple de Un, donc PGCD(Un,Un(Up + 1) + Up)=PGCD(Un, Up). Pour la démonstration, je pense que c'est plus rigoureux d'utiliser le théorème d'euclide, mais si tu as compris le principe, tu devrais pouvoir le faire...

Posté par lelyonnais34 (invité)

Merci Wiat, je pense avoir compris ta methode

Posté par wiat (invité)

Tant mieux. Juste une question, tu es un Lyonnais de lyon?