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Exercice: Espaces vectoriels et applications linéaires
Bonjour à tous, j'ai du mal à comprendre l'exercice suivant :
"Dans IR^4, on considère les vecteurs f1=(1,2,0,-1), f2=(0,1,1,0), f3=(1,3,1,-1), f4= (2,3,-1,-2) ainsi que sa base canonique B=(e1,e2,e3,e4).
On considère alors l'unique endomorphisme f de IR^4 qui envoie ei sur fi pour i=1,2,3,4.
Trouver une équation cartésienne puis une base de Ker(f) et de Im(f)"
Si j'ai bien compris, on considère f(1,0,0,0)=(1,2,0,-1) , f(0,1,0,0)=(0,1,1,0), f(0,0,1,0)= (1,3,1,-1) et f(0,0,0,1)=(2,3,-1,-2)
Je sais de plus que (x,y,z,t) 
Ker(f) 
f(x,y,z,t)=0 , et que je dois trouver un système d'équation à 4 lignes, et je n'y parvient pas.
Merci d'avance pour votre aide 
salut, oui c'est un bon début, et donc, la matrice de ton application est .
Il suffit donc de calculer et
On peut d'ailleurs voir immédiatement que et que les 3 autres lignes sont libres, ce qui permet de conclure assez rapidement
Bonjour
si tu n'as pas encore étudié les matrices d'applications linéaires, tu peux utiliser la linéarité pour calculer f(x,y,z,t) = x.f(1,0,0,0) + y.f(0,1,0,0) + z.f(0,0,1,0) + t.f(0,0,0,1)
Je n'arrive pas à résoudre le système d'équation équivalent à la matrice A donnée par idm ci dessus :
En effet je me retrouve avec : ( x+z+2t=0
( y+z-t=0
je n'ai trouvé que les deux solutions évidentes en fonction de z,t , soient x= -2t-z et y = t-z, ce qui n'est pas suffisant je pense pour trouver la base de Ker(f)
Un petit coup de main svp ?
A supposé que tu as raison (ce qui est très possible car la matrice est de rang 2 (je viens de vérifier). Et donc, j'avais eu tord lorsque je t'ai dis que:
les 3 autres lignes sont libres, ce qui permet de conclure assez rapidement
Désolé
Passons.
Ainsi,
Donc il faut bien que je trouve 4 solutions au système d'équation, pour ensuite trouver une paramétrisation en fonction de z et t c'est ça ?
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