DM de maths : complexes / suites

Posté par henri2 (invité)

Bonsoir tous le monde,

J'ai un DM que j'ai presque terminé!! mais y a un exo que j'arrive pas à faire!

Soit u(n) la suite définie sur N par : U(n) = i^n [(1+n)i - n]
Soit s(n) la suite définie par : S(n)= (k=n) somme (k=0) de u(k) = u(0)+ ... + u(k) + ... + u(n)

1. Justifier par récurrence que l'on a :

Pour tout n appartient à N, S(n) = i^(n+1) x (n+1).

2. a) Preciser la forme algébrique des nombres complexes suivants :
i^6 ; i^14 ; i^23 ; i^35 ; U(4) ; U(21) ; S(12) ; S(41)

b) Suivant que n est pair ou bien impair, donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : i^n ; i^(n+1) ; U(n) ; S(n).

c ) Démonter que la partie réelle de U(n) est toujours un entier relatif pair
Démontre que la partie réelle de S(n) est toujours un entier relatif pair.


Je vous remercie d'avance pour votre aide pour cet exo !

Bonne soirée!

Posté par patrice rabiller patrice rabiller

Bonjour,

Voici un début de piste pour la première question :

on a :
Donc :
Ou encore :
Donc :

Par conséquent :
La propriété est vraie pour n=0 :

Soit n un entier tel que :
On en déduit :
Donc :
Donc :
Et donc la propriété est vraie pour (n+1).

Bon courage pour la suite ...

Posté par jiju33 (invité)

ou encore pour éviter de faire une recurrence inutile ici :
posons V_k = ki^k
on a U_k = V_k+1 - V_k
somme Uk = (V1-V0) + (V2-V1) + ... + (Vn-V(n-1)) + (Vn+1-Vn)
         = Vn+1 - V0
         =(n+1)i⁽ⁿ⁺¹⁾

Posté par philoux (invité)

bonjour

pour la suite
i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1

=> i^(4k+p)=i^p

Un = (n+1)i^(n+1)-ni^n
Sn = (n+1)i^(n+1)

i^6 ; i^14 ; i^23 ; i^35 ; U(4) ; U(21) ; S(12) ; S(41)

6=4+2 => i^6=i^2=-1
14=3*4+1 => i^14=i^2=-1
23=5*4+3 => i^23=i^3=-i
35=8*4+3 => i^35=i^3=-i

U(4)=5i^5-4i^4=5i-4
U(21)=-22-21i
...

Philoux

Posté par philoux (invité)

b) Suivant que n est pair ou bien impair, donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : i^n ; i^(n+1) ; U(n) ; S(n).

n=2p

i^n=i^2p=(i²)^p=(-1)^p
i^(n+1)=i(i^n)=i(-1)^p

U(n)=(n+1)i^(n+1)-ni^n=( (-1)^p )( -n + (n+1)i )

S(n)=(n+1)i^(n+1)=( (n+1)(-1)^p )i

----------

n=2p+1

i^n=i^(2p+1)=i(i²)^p=i(-1)^p
i^(n+1)=i(i^n)=(-1)(-1)^p=(-1)^(p+1)

U(n)=(n+1)i^(n+1)-ni^n=( (-1)^p )( -(n+1)-ni ) = ( (-1)^(p+1) )( (n+1) + ni )

S(n)=(n+1)i^(n+1)= (n+1)(-1)^(p+1)

Vérifie...

Philoux

Posté par philoux (invité)


c ) Démonter que la partie réelle de U(n) est toujours un entier relatif pair
Démontre que la partie réelle de S(n) est toujours un entier relatif pair.

si n=2p alors
Re(Un)=( (-1)^p )( -n ) pair si n pair
Re(Sn)=0 pair

si n=2p+1 alors
Re(Un)=( (-1)^(p+1) )( n+1 ) pair si n impair
Re(Sn)=(n+1)(-1)^(p+1) pair si n impair

Vérifie, le cas Re(Sn)=0 me fait douter...

Philoux