Bonjour,

Pour le premier: la division par 19...

Bonjour,

c'est bien de vouloir faire des exos en avance, mais s'il manque des théorèmes et outils ça devient très dur !!
la division par 19 de Cailloux ne sort pas d'un chapeau, (2014 = 2×19×53)
mais encore faut-il l'utiliser ensuite, c'est à dire de prouver que une somme de deux carrés ne peut pas donner 0 modulo 19 ...
sauf s'ils sont tous deux 0 modulo 19, mais alors 2014 devrait être multiple de 19²

dans cet exo on utilise (ou met en évidence) en fait sous une forme ou une autre le résultat du théorème de Noel de Fermat (parce que écrit un 25 décembre) qui caractérise les nombres susceptibles d'être sommes de deux carrés.

dans un langage moderne on peut le traduire dans l'ensemble Z[i], entiers de Gauss, dont on montre que c'est un anneau qui a toutes les "bonnes propriétés" qu'il faut pour y définir des "nombres premiers" etc ...
on cherche donc à factoriser en nombres premiers dans Z[i] le nombre 2014 = (x+iy)(x-iy)
etc ...

pour décomposer 2017 qui est premier on montre que c'est possible car c'est un nombre premier de la forme 4k+1
trouver effectivement la décomposition peut ici se faire "par tatonnements"

ou par des algorithmes élaborés qu'il m'étonnerait fort de trouver dans un programme scolaire de MPSI
(l'algorithme par force brute est facile à programmer par contre)

salut

2014 est pair donc x et y ont même parité ...

x = 2m et y = 2n ==> 2014 est multiple de 4 a... bsurde

donc x = 2m + 1 et y = 2n + 1

==>

503 = m(m + 1) + n(n + 1)

or le produit de deux termes consécutifs est pairs .... absurde

donc 2014 n'est pas somme de deux carrés

2017 est impair donc

504 = m(m + 1) + n²

donc n est pair

504 = m(m + 1) + 4n²

donc m(m + 1) qui est multiple de 2 est en fait multiple de 4

or m et m + 1 n'ont pas même parité donc

deux cas

m = 4k donc ...

m + 1 = 4k donc ....

Certes... il y a deux bonnes raisons pour que 2014 ne soit pas somme de deux carrés
le fait que 2014 = 6 modulo 8, or une somme de deux carrés est = 0, 1, 2, 4 ou 5 mais jamais à 6 ou 7 modulo 8 (ça revient à tes considérations de parité)
preuve en dressant la table d'addition modulo 8

et le facteur 19 ...

avec 6042 ton raisonnement donnerait :
6042 pas multiple de 4 donc x et y ne peuvent pas être tous deux pairs
x et y tous deux impairs :
1510 = m(m+1) + n(n+1) pas impossible

or c'est impossible, 6042 ne peut pas être somme de deux carrés
on a du bol avec 2014 en fait... la considération de parité suffit.
bien vu.

1510 = m(m + 1) + n(n + 1) ... donc 4 cas ... fastidieux ... qui se résument en qq lignes avec la congruences modulo 8 ... comme tu le rappelles ....

dans tous les cas trouver la bonne congruence ... en particulier en décomposant en produit de facteur le nombre (2014 ou 6042 ou ....)

en fait 2014 est un coup de bol effectivement car la méthode "lycéenne" (avec leurs outils) suffit .... rapidement pour conclure .... alors que pour 2017 on le voit il faut pousser un cran plus loin ...

mais ça se termine toujours puisque N est minoré et à on divise par 2 ou 4 à chaque étape ...

c'est un peu comme pour Bézout où on descend puis on remonte pour trouver le "u" et le "v" de um + un = k .....

Merci à tous pour votre aide. C'est très intéressant.

@Carpediem,En effet le cas "2014" s'avère être assez translucide.

Cependant je ne comprends pas l'étape pour le cas 2017:
2017 est impair donc 504=m(m+1)+n².


1) Pourquoi 504 puisque 2017 est premier...
2) Je comprends bien qu'un nombre impair est la somme d'un nombre impair et d'un nombre pair mais pourquoi écrire m(m+1)+n². Je ne comprends pas d'où ça sort...

@mathafou, il est vrai qu'il n'est pas forcément conseillé de regarder de trop près les exercices du supérieur qui nécessitent d'autres outils. Cependant cela me permet de maîtriser des outils de bases assez intéressants.
Sommes doubles, Telescopage, analyse-synthèse... C'est maigre mais bon... En espérant que je sois pris en MPSI bien sûr...

Merci à tous

parce que j'ai sauté des étapes intermédiaires ...

une remarque 2014 en somme de carrés a été donné en rallye mathématique ou autre olympiades ... il me semble ....

c'est sûr qu'avec des données qui ressemblent à des années "proches" on peut s'y attendre.
il faudra attendre 2017 pour avoir la prochaine décomposition possible,
la seule de la décennie avec 2018 d'ailleurs.