Tout nombre ayant un facteur impair 2p+1 peut s'écrire
soit (2p+1)(p+q)=q+...+(q+2p) somme de 2p+1 termes consécutifs (q entier positif ou nul)
soit (2p+1)(p-q-1)=(q+2)+...+(2p-q-1) somme de 2(p-q-1) termes consécutifs (q entier compris entre 0 et p-2)
Les seuls nombres qui ne peuvent s'écrire comme somme d'au moins deux entiers consécutifs sont les puissances de 2; on doit en dénombrer 10 inférieures à 1000:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.

Bonsoir
10

bonjour

Réponse proposée : 11

En le constatant sur les petits chiffres (jusqu'à 65) que seuls les puissances de 2 ne pouvaient pas être décomposées en somme de nombres consécutifs, j'en ai déduis, sans le démontrer proprement (d'autres s'en chargeront ), que seuls :

0 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 répondaient à la question

Peut-être le cas du zéro me vaudra-t-il un

Philoux

La réponse est 11.
Ce sont toutes les puissances de 2, plus zéro qui est un entier naturel : 0,1,2,4,8,16,32,64,128,256,512.

J'ai conjecturé que seules les puissances de 2 ne peuvent pas s'écrire comme somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs.
de plus, 0 ne pouvant s'écrire comme somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs je l'ai compté dedans.
donc nous avons comme possibilités 0, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. soit 10 nombres possibles.

En éspèrant ne pas m'être trompé car j'ai fait ça un peu rapidement ...

34

Si un entier peut s'écrire comme la somme d'entiers consécutifs il existe un couple d'entiers naturels avec vérifiant


L'ensemble que l'on cherche est donc constitué des entiers que ne peuvent pas s'écrire sous la forme précédente.

En écrivant avec impair et éventuellement nul, on recherche tels que c'est-à-dire
    

Deux cas se présentent alors.

Dans ce cas le couple vérifie et de plus comme spécifié au début.

Aucun entier admettant un diviseur impair supérieur strictement à 1 n'appartient à l'ensemble recherché.

c'est à dire que est une puissance de .
Dans ce cas, comme ,   divise . Cela implique impair donc impair .
Comme divise , on a nécessairement   est donc ce qui correspond à .

La seule puissance de 2 qui peut s'écrire comme la somme d'entiers naturels est 1 (=0+1)


Les seuls entiers  naturels   qui ne peuvent pas s'écrire comme somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs sont donc et sont au nombre de
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J'en trouve 10, à savoir :

0, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, et 512.

J'ai répondu trop vite.
J'ai oublié 0 dans mon décompte. Ma réponse finale (qui ne sert à rien) est donc

Il y en a 10

qui sont 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512.

Merci pour l'énigme.

Bonsoir,
On cherche une décomposition d'un nombre a () comme somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs, ainsi en notant n le premier entier naturel et n+k () le dernier, on a :

puis
et enfin
ou encore

Si k=1, , donc tout nombre impair est à exclure
Si k=2, , donc tout nombre multiple de 3 est à exclure...
Les critères de divisibilité permettent certainement, avec une sorte de cribble, de conclure mais j'ai préféré la solution de facilité (via programmation).
On montre aisément que et (pour réduire la recherche).
On trouve alors que seul les puissances de 2 répondent au problème posé (en excluant le cas particulier somme de deux entiers consécutifs).
Conclusion :Je dénombre ainsi nombres inférieurs à 1000 ne pouvant s'écrire somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs (2,4,8,16,32,64,128,256 et 512).

Merci pour l'énigme.

J'en trouve 10.
Ce sont les puissances de 2
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512.
A+

999

Autre méthode, plus mathématique.

- Ces nombres ne peuvent pas être multiples de 3.
car si n = 3k, alors n=(k-1)+k+(k+1)
- Ces nombres ne peuvent pas être multiples de 5.
car si n = 5k, alors n=(k-2)+(k-1)+k+(k+1)+(k+2) (attention aux petits nombres on vérifie que 5=3+2 ) ;
- Ces nombres ne peuvent pas être multiples de 7.
car si n = 7k, alors n=(k-3)+(k-2)+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)+(k+3).
etc…

On vérifie ainsi que le nombre ne peut être multiple d'aucun facteur impair.
Il ne reste donc que les puissances de 2 !!!

Suite et fin de mon raisonnement.
Je viens de démontrer que les multiples de nombres impairs correspondent à une somme d'un nombre impair de termes consécutifs.

Si le nombre de termes consécutifs est pair :
- si 2 termes n=k+(k+1) = 2k+1 (impair)
- si 4 termes n = (k-1)+(k)+(k+1)+(k+2) = 2*(2k+1)
- si 6 termes n = 3*(2k+1)…etc…
Donc, si le nombre de termes est pair, le nombre sera bien multiple d'un nombre impair.

Les puissances de 2 ne sont donc jamais « atteintes » par une somme de termes consécutifs

bonjour,

j'ai considéré que 0 faisait parti des entiers naturels.
donc dans ce cas 1 = 0+1 n'est pas candidat.

je trouve 9 nombres :
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512

La somme de deux entiers consécutifs est un nombre impair donc on ne va s'occuper que des nombres pairs.
La somme de 2n+1 nombres consécutifs est un multiple de 2n+1 donc tous les nombres pairs qui ne sont pas des puissances de 2 sont atteints.
En conséquence de quoi, je pense que les nombres recherchés sont les puissances de 2 comprises entre 2 et 1000 (de 2¹ à 2⁹) ainsi que l'entier naturel 0.
Ma réponse sera donc 10 nombres.

Faire une si grosse erreur en utilisant l'informatique, alors que la logique permettait de s'en sortir aussi bien et aussi vite !!!

Eh oui, les nombres impairs s'écrivent sous la forme k+(k+1)... et si k=0, on trouve 0+1=1 qui n'est donc pas à compter ... donc 10 nombres entiers naturels seulement.
"small is not beautiful,...small is dangerous !"

501 (en comptant le zéro) et en écrivant 1=1+0

Salut d'apres moi je propose 30

La réponse est: 9 (les puissances de 2)
@+
boulga

je ne suis pas sûr que Kid Paddle aie raison

J'en trouve 10

TouT les Nombres Impaire

saluuuuuuuuut
bon,d'abord j'ai commencer par ecrire 3 equations qui m'ont permit de diminuer le champ de nombres enormement,ensuite j'ai ecris des equations secondaires et j'ai obtenu le résultat suivant :
il n'existe que 5nombrs entiers naturels<=1000 qui ne peuvent pas s'ecrir comme somme d'au moins deux nombres entiers naturelsconsécutifs.
c'est vraiment facile  .

501

Bonjour, pour moi, il y a 500 nombres qui ne peuvent pas s'écrire comme somme d'au moins deux entiers consécutifs.
A bientôt

Bonjour
Comme o appartient à l'ensemble des entiers naturels les nombres qui répondent à la question sont {0, 1 2 ,2², 2³, 2⁴, ... ,
2⁹}. Cet ensemble comprend 11 éléments.
La réponse est donc 11.
A plus.

Il y a 10 nombres entiers naturels 1000 qui ne peuvent pas s'écrire comme somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs :  0, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
(c'est à dire les puissances de 2)

1et2et1000

Bonjour, je dirai qu'il y en a 10

@+

1;2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26;28;30;32;34;36;38;40;42;44;46;48;50;52;54;56;58;60;62;64;66;68;70;72;
74;76;78;80;82;84;86;88;90;92;94;96;98;100;102;104;106;108;110;112;114;116;118;120;122;124;126;128;130;
132;134;136;138;...

******1 et tous les nombbres divisibles par 2*****

Enigme clôturée.

La réponse attendue était 10.

Dommage que je n'avais pas demandé d'énumérer les nombres concernés, cela aurait fait plusieurs poissons supplémentaires.

En effet, le nombre 1 n'était pas à prendre en considération (car on a 0 + 1 = 1 et que 0 fait bien partie des entiers naturels).

Par contre, 0 était du lot.

Et donc coup de bol pour ceux qui en faisant 2 erreurs (0 exclus et 1 inclus) ont quant même le bon total 10, ce qui était la seule chose demandée.
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Petite démo.

Soit S la somme de n entiers consécutifs dont le premier = x.

On a: S = x+(x+1) + ...+(x+n-1)
S = nx + n(n-1)/2  

Si n est pair différent de 0, on peut écrire n = 2k (k entier >= 1)
S = k.[2(x+k)-1]  (1)
et 2(x+k)-1 est un nombre impair >= 3

Si n est impair >= 3, n = (2k+1) avec (k entier >= 1)
S=(2k+1)(x+k)   (2)
avec (2k+1) impair >= 3

Donc S est toujours divisible par un nombre impair >= 3 --> les nombres du style 2^k' ne peuvent pas s'écrire comme somme de d'au moins 2 entiers consécutifs

Par contre, soit un nombre N qui n'est pas de la forme 2^k', on a : N = 2^k'(2m+1) avec m >= 1 (dans N).
On peut avoir S = N si on prend:
Dans le cas(1);  k = 2^k', n =2k et x+k=m+1 --> x = m+1-2^k'.
C'est possible si x >= 1, donc m >= 2^k'.

Dans le cas(2): k=m, n=2k+1, x+k=2^k' --> x = 2^k'-m
C'est possible si x >= 1, donc m <= 2^k'-1

Il est donc toujours possible d'écrire, pur m >= 1 et N = 2^k'(2m+1), N comme étant la somme d'au moins 2 entiers consécutifs.

Les nombres impossibles étaient donc: 0, 2 , 4 , 8, 16, 32 , 64, 128, 256 et 512
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M'enfin... zéro est un entier, et naturel en plus ? On en apprend tous les jours. Dans mon esprit, les entiers naturels sont des objets concrets qu'on peut compter, comme des grains de blé ou des moutons. c'est d'ailleurs ce qui a donné naissance à l'alphabet : à l'époque néolithique, les hommes ont eu besoin de comptabiliser leurs troupeaux et leurs récoltes.

Coup de bol, avec deux erreurs, on tombait juste.

bornéo,

0 fait bel et bien partie de l'ensembe des entiers naturels dans toutes des définitions de n'importe quel dictionnaire, mathématiques ou non. (Pour une fois que toutes les définitions concordent sur un sujet, il faut la conserver précieusement, c'est si rare).

Lire "les définitions" au lieu "des définitions" ...

Merci

>J-P
Quand tu dis que 0 fait partie de l'ensemble des entiers naturels dans toutes les définitions, c'est juste parce qu'on l'a décrété ainsi chez nous, mais en allemagne, par exemple, 0 n'est pas considéré comme un entier naturel. Enf ait, pour noter *, ils notent et pour noter , ils notent ₀...
Mais bon, si on commence à se soucier des définitions étrangères pour les énigmes...

bonjour,


zero etant un nombre entier naturel il y a

127 nombres entiers naturels <= 1000 qui ne peuvent pas s'ecrire comme somme d'au moins 2 entiers naturels consecutifs

ais-je bien compris la question?

le poisson me le dira

merci pour cette enigme

paulo

paulo, l'énigme a été cloturée avant ta réponse, heureusement.

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wiat,

Les anglo-Saxons ont changé plusieurs fois d'avis sur le sujet.

Les notations actuelles admises pour eux sont:  N pour {0 ; 1 ; 2 ...} et N* pour {1 ; 2 ; 3 ...} mais comme certaines habitudes ont la vie rude, ils notent souvent au lieu de N pour insister sur le fait que 0 est inclus dans cet ensemble.

On s'étonnera encore des méprises fréquentes dans l'échange de dossiers techniques dabs les multinationales ...

Vive la rigueur des mathématiciens qui n'arrivent même pas à s'entendre ne serait-ce que sur les définitions de ce qu'ils manipulent.
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Je ne pense pas qu'il s'agisse que de vielles habitudes car visiblement, dans leurs programmes actules, la notation du N0 pour N est certes toujours employée, mais quand il écrive N, c bel et bien pour dire N*. A part en Niedersachsen ou ils semblent avoir notre notation. En tout cas, à mon stage de cet été, seul venant de Niedersachsen considérait que O appartient à N. Les 14 autres n'étaient pas de cet avis, et les profs non plus (et les documents non plus). Alors peut-être qu'en théorie ils sont passés à notre notation, mais dans ce cas, ça doit être tout frais tout frais pour que même des élèves de 17-19 ans ne connaissent que l'ancienne...

Wiat,

Je parlais des Anglais et pas des Allemands.

Je ne connais pas la position majoritaire allemande sur le sujet et il est possible que celle des anglais ait encore changé ...

Mais quoi qu'il en soit, on remarque une fois de plus que le plus grand des désordres règne chez les mathématiciens qui se pensent rigoureux mais ne sont pas foutus de s'entendre sur les définitions des notions de bases qu'ils utilisent.

Le problème n'est malheureusement pas cantonné à la définition de l'ensemble des nombres naturels, ce serait trop beau.

C'est la foire intégrale sur pratiquement n'importe quelle notion.

"Je parlais des Anglais et pas des Allemands."
sisi :
"Les anglo-Saxons ont changé plusieurs fois d'avis sur le sujet."

est-ce que ces nombres ont un nom spécial ? ( ou spéciaux )